（全国统考）2022版高考数学大一轮复习 第9章 直线和圆的方程 第1讲 直线方程与两直线的位置关系（1）备考试题（文含解析）.docx

1、第九章 直线和圆的方程 第一讲 直线方程与两直线的位置关系 练好题考点自测 1.改编题下列说法正确的是()A.直线的倾斜角越大,其斜率越大 B.若直线的斜率为 tan,则其倾斜角为 C.经过任意两个不同的点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示 D.直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离 2.2020 全国卷,8,5 分文若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线 2x-y-3=0 的距离为()A.B.C.D.3.2021 安徽示范高中联考已知点(1,-1)关于直线 l1:y=x 的对称点为 A,设直线

2、 l2经过点 A,则当点 B(2,-1)到直线l2的距离最大时,直线 l2的方程为()A.2x+3y+5=0 B.3x-2y+5=0 C.3x+2y+5=0 D.2x-3y+5=0 4.2016 浙江,4,5 分若平面区域 -,-,-夹在两条斜率为 1 的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.B.C.D.5.2016 四川,10,5 分文设直线 l1,l2分别是函数 f(x)=-,图象上点 P1,P2处的切线,l1与 l2垂直相交于点 P,且 l1,l2分别与 y 轴相交于点 A,B,则PAB 的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+)D.(1,+)6.

3、2020 四川五校联考过直线 x+y=0 上一点 P 作圆(x+1)2+(y-5)2=2 的两条切线 l1,l2,A,B 为切点,当直线 l1,l2关于直线 x+y=0 对称时,APB=()A.B.45 C.6 D.90 7.2021 上海模拟过点(2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 .8.2021 山西摸底测试已知 a0,b0,若直线(a-1)x+2y-1=0 与直线 x+by=0 互相垂直,则 ab 的最大值是 .拓展变式 1.(1)已知直线 l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0a2,但其对应斜率 k10),所以(2-a)2+(1-a)2=a2,

4、即 a2-6a+5=0,解得 a=1 或 a=5,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),所以圆心到直线 2x-y-3=0 的距离为 -)或 5-5-),故选 B.3.B 易知 A(-1,1).设点 B(2,-1)到直线 l2的距离为 d,当 d=|AB|时取得最大值,此时直线 l2垂直于直线 AB,又 ,所以直线 l2的方程为 y-1=(x+1),即 3x-2y+5=0.故选 B.4.B 不等式组 -,-,-表示的平面区域如图 D 9-1-1 中阴影部分所示,其中 A(1,2),B(2,1),当两条平行直线间的距离最小时,两平行直线分别过点 A,点 B,又两平行直线的斜率为 1,直线 AB

5、的斜率为-1,所以线段 AB 的长度就是分别过 A,B 两点的两平行直线间的距离,易得|AB|=,即两条平行直线间的距离的最小值是,故选 B.图 D 9-1-1 5.A 不妨设 P1(x1,ln x1),P2(x2,-ln x2),P(xP,yP),由于 l1l2,所以 ()=-1,则 x1=.又切线 l1:y-ln x1=(x-x1),l2:y+ln x2=(x-x2),于是 A(0,ln x1-1),B(0,1+ln x1),所以|AB|=2.由-(-),(-),解得xP=,所以 SPAB=xP=.因为 x11,所以 x1+2,所以 SPAB的取值范围是(0,1),故选 A.6.C 解法一

6、 如图 D 9-1-2,设圆(x+1)2+(y-5)2=2 的圆心为 C,则 C(-1,5),则点 C 不在直线 y=-x 上,要满足 l1,l2关于直线 y=-x 对称,则 PC 必然垂直于直线 y=-x,所以线段 PC 所在直线的斜率 kPC=1,则线段 PC 所在的直线 l:y-5=x+1,即 y=x+6,与 y=-x 联立,得 P(-3,3).所以|PC|=(-)=2.设APC=,则APB=2,在APC 中,sin=,故=30,所以APB=2=60.故选 C.图 D 9-1-2 解法二 如图 D 9-1-2,设圆(x+1)2+(y-5)2=2 的圆心为 C,则 C(-1,5),则点 C

7、 不在直线 y=-x 上,要满足 l1,l2关于直线 y=-x 对称,则 PC 必然垂直于直线 y=-x,所以|PC|=2,易知圆的半径 r=,si APC=,则APC=30,所以APB=60.故选 C.7.3x-2y=0 或 x-y+1=0 当直线过原点时,直线的斜率为 k=,此时直线方程为 y=x,即 3x-2y=0.当直线不过原点时,设直线方程为 -=1,把(2,3)代入可得 a=-1,此时直线方程为 x-y+1=0.故填 3x-2y=0 或 x-y+1=0.8.由两条直线互相垂直得(a-)b=0,即 a+2b=1,又 a0,b0,所以 ab=(a b)()2=,当且仅当a=,b=时取等

8、号.故 ab 的最大值是 .1.(1)由题意知直线 l1,l2恒过定点 P(2,2),直线 l1的纵截距为 2-a,因为 0a0,直线 l2的横截距为a2+2,所以四边形的面积 S=(-a)+(a2+2)=a2-a+4=(a )2+,所以当 a=时,面积最小.(2)21x-28y-13=0 或 x=1 因为 A,B 到直线 7x-21y-1=0 的距离不相等,所以可设所求直线方程为2x+7y-4+(7x-21y-1)=0,即(2+7)x+(7-21)y+(-4-)=0,由点 A(-3,1),B(5,7)到所求直线的距离相等,可得 ()(-)(-)-4-()=()5(-)-4-(),整理可得|4

9、3+3|=|113-55|,解得=或=,所以所求的直线方程为 21x-28y-13=0 或 x=1.2.(1)解法一 直线 l 的方程可化为 y=x+3,可知 l 的斜率为 ,因为 l与 l 平行,所以直线 l的斜率为 .又 l过点(-1,3),所以由点斜式得直线 l的方程为 y-3=(x+1),即 3x+4y-9=0.解法二 由 l与 l 平行,可设 l的方程为 3x+4y+m=0(m-12),将(-1,3)代入,得 m=-9,于是所求直线方程为 3x+4y-9=0.(2)解法一 直线 l 的方程可化为 y=x+3,可知 l 的斜率为 ,因为 l与 l 垂直,所以直线 l的斜率为 .又 l过

10、点(-1,3),所以由点斜式得直线方程为 y-3=(x+1),即 4x-3y+13=0.解法二 由 l与 l 垂直,可设 l的方程为 4x-3y+n=0,将(-1,3)代入,得 n=13,于是所求直线方程为 4x-3y+13=0.(3)由 l与 l 垂直,可设直线 l的方程为 4x-3y+p=0,则 l在 x 轴上的截距为 ,在 y 轴上的截距为 .由题意可知,l与两坐标轴围成的三角形的面积 S=|=4,求得 p=4.所以直线 l的方程为 4x-3y+4=0 或 4x-3y-4=0.3.(1)B 记点 A(0,-1),直线 y=k(x+1)恒过点 B(-1,0),当 AB 垂直于直线 y=k(x+1)时,点 A(0,-1)到直线 y=k(x+1)的距离最大,且最大值为|AB|=,故选 B.(2)C 过点 C 作直线 l,使 lAB,则点 P 在直线 l 上.由题意易知,A(,0),B(0,1),则|AB|=2,所以点 C 到直线 AB的距离 d=-.直线 AB 的方程可化为 x+3y-3=0,由ABP 和ABC 的面积相等,可知点 P 到直线 AB 的距离等于点 C 到直线 AB 的距离,即 -(),解得 m=或 m=.因为点 P 在第一象限,所以 m=.故选 C.