（北京专用）2022版高考数学总复习 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 第四节 基本不等式及其应用练习（含解析）.docx

1、 1 第四节 基本不等式及其应用 学习要求:1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.基本不等式(1)基本不等式 成立的条件:a0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时等号成立.(3)其中 称为正数 a,b 的算术平均数,称为正数 a,b 的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a2+b2 2ab(a,bR),当且仅当 a=b 时取等号.(2)ab()(a,bR),当且仅当 a=b 时取等号.(3)()(a,bR),当且仅当 a=b 时取等号.(4)+2(a,b 同号),当且仅当 a=b 时取等号.3.利用基本不等式求最值 已知 x0,y0,则

2、(1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最 小 值,是 2 .(简记:积定和最小)(2)如果和 x+y 是定值 s,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最 大 值,是 .(简记:和定积最大)知识拓展 利用基本不等式求最值的两个常用结论 2(1)已知实数 a,b,x,y0,若 ax+by=1,则有 +=(ax+by)()=a+b+a+b+2 =(+)2.(2)已知实数 a,b,x,y0,若 +=1,则有 x+y=(x+y)()=a+b+a+b+2 =(+)2.【微点提醒】1.应用基本不等式求最值要注意:“一正,二定,三相等”,忽略某个条件,就会出错.2.在利用基本不等式

3、求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)两个不等式 a2+b22ab 与 成立的条件是相同的.()(2)函数 f(x)=sinx+的最小值为 4.()(3)x0 且 y0 是 +2 的充要条件.()答案(1)(2)(3)2.(新教材人 A 必修第一册 P48T1 改编)已知 x2,则 x+-的最小值是()A.2 B.4 C.2 D.6 答案 D 3.(新教材人 A 必修第一册 P45 例 1 改编)若 xx0,且+-m 恒成立,求 m 的最小值.3 解析 易错原因:忽略使用基本不等式的前提

4、条件.由题意知,当 4yx0 时,m -恒成立.-=+-=(-)=(-)(-)=2(当且仅当 x=2y 时等号成立),m2,故 m 的最小值为 2.利用基本不等式证明 典例 1(2019 课标全国,23,10 分)已知 a,b,c 为正数,且满足 abc=1.证明:(1)+a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.证明(1)因为 a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,abc=1,所以有 a2+b2+c2ab+bc+ca=+,当且仅当 a=b=c 时,等号成立.所以 +a2+b2+c2.(2)因为 a,b,c 为正数且 abc=1,所以有(a+b)3+

5、(b+c)3+(c+a)33 )=3(a+b)(b+c)(a+c)=24,当且仅当 a=b=c 时,等号成立.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.名师点评 利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明的不等式的形式.若符合基本不等式的条件,则直接利用基本不等式或最值定理证明.若不符合基本不等式的条件,则对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之达到使用基本不等式的条件.已知 a0,b0,a3+b3=2.证明:4(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.证明(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(

6、a2-b2)24.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+)(a+b)=2+),当且仅当 a=b 时,等号成立,所以(a+b)38,因此 a+b2.利用基本不等式求最值 角度 1 利用配凑法求最值 典例 2 已知 0 x0,b0,+=1,所以 a+b=(a+b)()=10+10+2=16(当且仅当 a=4,b=12 时取等号).由题意,得 16-x2+4x+18-m 对任意实数 x 恒成立,即 x2-4x-2-m 对任意实数 x 恒成立,因为 x2-4x-2=(x-2)2-6,所以 x2-4x-2 的最小值为-6,所以-6-m,即 m6.故选 D.角度

7、3 利用消元法求最值 典例 4 已知 x0,y0,x+3y+xy=9,则 x+3y 的最小值为 .答案 6 解析 解法一(换元消元法):由已知得 x+3y=9-xy.因为 x0,y0,所以 x+3y2 ,所以 3xy(),当且仅当 x=3y,即 x=3,y=1 时取等号.3xy()可化为(x+3y)2+12(x+3y)-1080.5 令 x+3y=t,则 t0 且 t2+12t-1080,解得 t6,即 x+3y6.解法二(代入消元法):由 x+3y+xy=9,得 x=-,所以 x+3y=-+3y=-)=)-6 )=3(1+y)+-62 )-6=12-6=6,当且仅当 x=3,y=1 时取等号

8、.所以 x+3y 的最小值为 6.名师点评 1.利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式求最值的关键是构造和为定值或积为定值,主要思路有两种:对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.条件变形,进行“1”的代换求目标函数的最值.(2)有些题目虽然不具备直接应用基本不等式求最值的条件,但可以通过添项、分离常数、平方等方法使之能运用基本不等式.常用的方法还有拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法.另外,对于函数 f(x)=ax+(a0,b0)的定义域内不含实数 的类型的最值问题,要学会使用函数的单调性求解.2.求形如函数 y=在某个区间内的值域是解析几何解答题中

9、的常见题型,其一般的解题思路为:首先在分子中分离出 a1x2+b1x+c,简化分子将函数化为 y=+,再换元,令 t=mx+n,将 x=-代入化简得 y=+,进一步得到 y=+,然后借助基本不等式或函数 y=ax+的图象与性质求解.1.已知函数 y=x-4+(x-1),当 x=a 时,y 取得最小值 b,则 a+b 等于()A.-3 B.2 C.3 D.8 答案 C y=x-4+=x+1+-5,因为 x-1,所以 x+10,0,所以由基本不等式,得 y=x+1+-52 )-5=1,当且仅当 x+1=,即 x=2 时取等号,所以 a=2,b=1,则 a+b=3.故选 C.2.若两个正实数 x,y

10、 满足 +=1,并且 x+2ym2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是()6 A.(-,-2),+)B.(-,-4,+)C.-2,4)D.(-4,2)答案 D x+2y=(x+2y)()=2+28,当且仅当 =,即 x=4,y=2 时等号成立.因为 x+2ym2+2m 恒成立,所以 m2+2m8,即 m2+2m-80,解得-4m0,b0,c0,若点 P(a,b)在直线 x+y+c=2 上,则 +的最小值为 .答案 2+2 解析 P(a,b)在直线 x+y+c=2 上,a+b+c=2,a+b=2-c0,+=-+-=-+-1,设-,则 m+n=2,m0,n0,-+=+=()=3+3+2 =3+

11、2,当且仅当 m2=2n2,即 c=2-2 时,等号成立,-+-13+2-1=2+2,即 +的最小值为 2+2.基本不等式的实际应用 典例 5(1)某人准备在一块占地面积为 1800m2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为1m 的小路(如图所示),大棚总占地面积为 Sm2,其中 ab=,则 S 的最大值为 .(2)某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1(单位:万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费 y2(单位:万元)与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1和 y2分别为 2万元和 8 万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在

12、离车站 千米处.答案(1)1568(2)5 解析(1)由题意可得 xy=1800,b=2a,x3,y3,则 y=a+b+3=3a+3,所以 S=(x-2)a+(x-3)b=(3x-8)a=(3x-8)-=1808-3x-8 y=1808-3x-8 800=1808-(800)1808-2 800=1808-240=1568,当且仅当 3x=800,即 x=40,y=45 时等号成立,所以当 x=40,y=45 时,S 取得最大值 1568.7(2)由已知可得 y1=0,y2=0.8x,其中 x(单位:千米)为仓库与车站的距离,则费用之和 y=y1+y2=0+0.8x2 0 0.8=8,当且仅当

13、 0.8x=0,即 x=5 时取等号.所以仓库应建在离车站 5 千米处.名师点评 对实际问题,在审题和建模时一定不可忽略变量的范围,一般地,每个表示实际意义的代数式必须为正,由此可得变量的范围,然后利用基本不等式求最值.某工厂近期要生产一批化工试剂,经市场调查得知,生产这批试剂的成本分为以下三个部分:生产 1 单位试剂需要原料费 50 元;支付所有职工的工资总额由 7500 元的基本工资和每生产 1 单位试剂补贴 20 元组成;后续保养的费用是每单位(600-0)元(试剂的总产量为 x 单位,50 x200).设 P(x)是生产每单位试剂的成本,求 P(x)的最小值.解析 由题意知原料总费用为

14、 50 x 元,职工的工资总额为(7500+20 x)元,后续保养总费用为 x(600-0)元,则 P(x)=0 00 0 -0 600=x+8 00+40(50 x200).x+8 00 2 8 00=180,当且仅当 x=8 00,即 x=90 时取等号,P(x)220,即生产每单位试剂的成本最低为 220 元.数学运算转化与化归在基本不等式中的应用 1.若实数 a,b 满足 +=,则 ab 的最小值为()A.B.2 C.2 D.4 答案 C +=,a0,b0,=+2 =2 ,ab2(当且仅当 b=2a 时取等号),ab 的最小值为 2,故选 C.8 2.设 a0,b0,a+b=5,则 +

15、的最大值为 .答案 3 解析 由 2aba2+b2两边同时加上 a2+b2,得(a+b)22(a2+b2),两边同时开方得 a+b )(a0,b0且当且仅当 a=b 时取“=”),从而有 +)=3,当且仅当 a+1=b+3,即 a=,b=时,“=”成立.+的最大值为 3.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用于一些不等式的证明,还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中同时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解.1.已知 x+y=xy,且 x0,y0,则 x+y 的取值范围

16、是()A.(0,1 B.,+)C.(0,4 D.,+)答案 D 由 x+y=xy,且 x0,y0 得 +=1,所以 x+y=(x+y)()=2+2+2 =4,当且仅当x=y=2 时等号成立,所以 x+y 的取值范围是,+),故选 D.2.函数 y=0 (x-1)的值域为 .答案 ,+)解析 y=0 =)=(x+1)+5,当 x-1,即 x+10 时,y2 )+5=9(当且仅当 x=1 时取“=”).所以 y=0 (x-1)的值域为,+).A 组 基础达标 1.(2020 北京四中高二期中)若 a,bR,且 ab0,则下列不等式中恒成立的是()A.a2+b22ab B.a+b2 C.+D.+2

17、9 答案 D a2+b22ab,所以 A 错;ab0,只能说明两实数同号,所以当 a0,b0,y0,2x+y=2,则 xy 的最大值为()A.B.1 C.D.答案 A x0,y0,且 2x+y=,xy=(2xy)()=,当且仅当 x=,y=1 时取等号,故 xy 的最大值为 .故选 A.3.(2020 北京朝阳高二期末)已知 x1,则当 x+取得最小值时,x 的值为()A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B x,x+2 =4 当且仅当 x=,即 x=2 时取等号,当 x+取得最小值时,x=2.故选 B.4.(2020 北京昌平高三期末(文)x0,使得 +x-a0,则实数 a 的取值范围是()

18、A.a2 B.a2 C.a0,使得 +x-a0,所以 a().又 x+2 =2,当且仅当 x=1 时取等号,所以只需 a2,故选 B.5.(2020 北京朝阳高二期末)已知 mn0,2m+n=1,则 +的最小值是()A.4 B.6 C.8 D.16 答案 C +=()(2m+n)=4+4+2 =4+4=8 当且仅当 m=,n=时取等号,+的最小值为 8.故选 C.6.(2020 北京四中高三期末)已知 a0,b0,a+b=1,若=a+,=b+,则+的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C a0,b0,a+b=1,10+=a+b+=1+1+()=5,当且仅当 a=b=时取“=”.+

19、的最小值是 5.故选 C.7.(2020 北京朝阳高一期末)已知 a,b,cR,则“a=b=c”是“a2+b2+c2ab+ac+bc”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 D 设 p:a=b=c,q:a2+b2+c2ab+ac+bc.若 a=b=c,则 a2+b2+c2=ab+ac+bc,故“若 p,则 q”是假命题.因为 a2+b22ab,b2+c22bc,a2+c22ac,所以 a2+b2+c2ab+ac+bc,当且仅当 a=b=c 时等号成立,故当 a2+b2+c2ab+ac+bc 时,a=b=c 必定不成立,故“若 q,则

20、p”是假命题.故“a=b=c”是“a2+b2+c2ab+ac+bc”的既不充分也不必要条件,故选 D.8.(2020 北京人大附中高二期中)已知 RtABC 的斜边长为 2,则下列关于ABC 的说法中正确的是()A.周长的最大值为 2+2 B.周长的最小值为 2+2 C.面积的最大值为 2 D.面积的最小值为 1 答案 A 设 c 为斜边,a,b 为两直角边,则 a2+b2=c2=4,由 可得 =,当且仅当 a=b=时等号成立,据此可知 a+b2,故ABC 的周长 a+b+c2+2,所以周长的最大值为 2+2,所以 A 正确,B 错误;由基本不等式可知 4=a2+b22ab,所以 ab2,当且

21、仅当 a=b=时取等号,所以ABC 的面积 S=ab1,故面积的最大值为 1,所以 C,D 错误.故选 A.9.已知 x,yR+,且满足 x+2y=2xy,那么 x+4y 的最小值为()A.3-B.3+2 C.3+D.4 答案 B 由 x0,y0,x+2y=2xy,得 +=1,则 x+4y=(x+4y)()=+1+2+3+2 =3+2,当且仅当 =,即 x=2 y 时等号成立.所以 x+4y 的最小值为 3+2.故选 B.10.(2019 北京朝阳期中,6)已知函数 f(x)=|2x-2|.若 f(a)=f(b)(ab),则 a+b 的取值范围是()11 A.(-,)B.(-,)C.,+)D.

22、,+)答案 B 由 f(a)=f(b),得|2a-2|=|2b-2|,显然 a1,b1.当 a1,b1 或 a1,b1 时,整理得 2a=2b,即 a=b,此时不满足条件.当 a1b 或 b12 =2 ,所以 2 4,解得 a+b0,b0,O 为坐标原点),若 A,B,C 三点共线,则 +的最小值是()A.4 B.C.8 D.9 答案 D =-=(a-1,1),=-=(-b-1,2).若 A,B,C 三点共线,则有 ,a-)-b-)=0,a+b=1,又 a0,b0,+=()(2a+b)=5+5+2 =9,当且仅当 ,即 a=b=时等号成立,+的最小值是 9.故选 D.12.(2019 清华中学

23、生标准学术能力试卷(文),12)若实数 a,b,c 满足 2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,则 c 的最大值为()A.B.log2 C.D.log2 答案 D 由 2a+b=2a+2b2 =(当且仅当 a=b 时取等号),可得 a+b2,所以 2a+b4.令 t=2a+b,则t4.由 2a+2b+2c=2a+b+c得 2a+b+2c=2a+b2c,所以 2c=-=1+-.因为 t4,所以 11+-,即 12c ,因此 00),12 S7-S5=a7+a6=3(a4+a5),6 =q2=3.a3+=4a3+=4a3+2 =4,当且仅当 4a3=,即 a3=时等号成立.a3+的

24、最小值为 4.14.某厂家拟在明年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(万件)与年促销费用m(m0)(万元)满足 x=3-(k 为常数),若不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是 1 万件.已知明年生产该产品的固定投入为 8 万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将明年该产品的利润 y(万元)表示为年促销费用 m(万元)的函数;(2)该厂家明年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?解析(1)由题意知,当 m=0 时,x=,=-kk=,x=3-

25、,又易知每件产品的销售价格为 1.8 6 (元),y=1.5x8 6 -8-16x-m=-6 -m+28(m0).(2)由(1)可得 y=-(6 )+29(m0).当 m0 时,6 +m+12 6=8,当且仅当 6 =m+1,即 m=3 时取等号,y-8+29=21.故该厂家明年的促销费用投入 3 万元时,厂家的利润最大.C 组 思维拓展 15.(2020 新高考改编,11,5 分)已知 a0,b0,且 a+b=1,则下列不等式中错误的是()A.a2+b2 B.2a-b C.log2a+log2b-2 D.+答案 C a0,b0,a+b=,0a1,0b1,b=1-a,ab()=当且仅当 a=b

26、=时取等号.对于 A 选项,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1=2(-)+,当且仅当 a=b=时取等号,A 正确;对于 B 选项,a-b=a-(1-a)=2a-,0a,-12a-,22a-1 成立,B 正确;对于 C 选项,00,b0,log2a+log2b=log2(ab)log2 =-2,C 不正确;对于 D 选项,+)2=a+b+2 =1+2 1+a+b=2,当且仅当 a=b=时,等号成立,13 +成立,D 正确.故选 C.16.(2019 北京门头沟一模,13)已知 x,yR+,求 z=(x+2y)()的最值.甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法:甲:z=(x+2y)(

27、)=2+818.乙:z=(x+2y)()2 2 8 =16.(1)你认为甲、乙两人解法正确的是 ;(2)请你写出一个类似的利用基本不等式求最值的问题:,使甲、乙的解法都正确.答案(1)甲(2)已知 x,yR+,求 z=(x+y)()的最值 解析(1)甲同学的解法中取得最小值的条件是 =,即 x=y,而乙同学的解法中需要同时满足 x=2y 与 =才能取得最小值 16,显然不可能满足,故乙的解法错误.(2)给出的试题是“已知 x,yR+,求 z=(x+y)()的最值”.解法一:z=(x+y)()=2+2+2 =4(当且仅当 x=y 时取“=”).解法二:z=(x+y)()2 2 =4(当且仅当 x=y 时取“=”).