2021_2022学年高中数学第一章数列3.2.1等比数列的前n项和课时素养评价含解析北师大版必修5202103131263.doc

1、等比数列的前n项和 (20分钟35分)1.设数列(-1)n的前n项和为Sn,则Sn等于() A.B.C.D.【解析】选D.Sn=.2.等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.8【解析】选A.设等差数列的公差为d,d0, =a2a6(1+2d)2=(1+d)(1+5d),d2=-2d(d0),所以d=-2,所以S6=61+(-2)=-24.3.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和等于()A.31B.33C.35D.37【解析】选B.根据等比数列性质得=q5,所以=25,所以S10=33.4.(2020全

2、国卷)数列中,a1=2,am+n=aman,若ak+1+ak+2+ak+10=215-25,则k=()A.2B.3C.4D.5【命题意图】本题考查等比数列的判定、等比数列的通项公式及前n项和公式,意在考查学生的运算求解能力.【解析】选C.取m=1,则an+1=a1an,又a1=2,所以=2,所以是等比数列,则an=2n,所以ak+1+ak+2+ak+10=2k+11-2k+1=215-25,所以k=4.5.等比数列an的前n项和为Sn,S5=2,S10=6,则a16+a17+a18+a19+a20等于.【解析】设等比数列an的公比为q,因为S2n-Sn=qnSn,所以S10-S5=q5S5,所

3、以6-2=2q5,所以q5=2,所以a16+a17+a18+a19+a20=a1q15+a2q15+a3q15+a4q15+a5q15=q15(a1+a2+a3+a4+a5)=q15S5=232=16.答案:166.已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n,bn是等差数列,且an=bn+bn+1.(1)求数列bn的通项公式;(2)令cn=.求数列cn的前n项和Tn.【解析】(1)由题意知当n2时,an=Sn-Sn-1=6n+5,当n=1时,a1=S1=11,所以an=6n+5.设数列bn的公差为d,由即可解得b1=4,d=3,所以bn=3n+1.(2)由(1)知cn=3(n+1)2n+1,又T

4、n=c1+c2+c3+cn,得Tn=3222+323+424+(n+1)2n+1,2Tn=3223+324+425+(n+1)2n+2,两式作差,得-Tn=3222+23+24+2n+1-(n+1)2n+2=3=-3n2n+2所以Tn=3n2n+2.【补偿训练】 已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求an的通项公式;(2)求和:b1+b3+b5+b2n-1.【解析】(1)设等差数列an公差为d,因为a2+a4=2a3=10,所以a3=5=1+2d,所以d=2.所以an=2n-1.(2)设bn的公比为q,b2b4=a5qq3=9,所以q2=3

5、,所以b2n-1是以b1=1为首项,q=q2=3为公比的等比数列,所以b1+b3+b5+b2n-1=.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020三明高一检测)等比数列中,a1=1,公比q=2,当Sn=127时,n=()A.8B.7C.6D.5【解题指南】利用等比数列的前n项和公式Sn=即可求解.【解析】选B.由Sn=,a1=1,q=2,当Sn=127时,则127=,解得n=7.2.(2020重庆高二检测)等比数列的前n项和为Sn,且3a2,2a3,a4成等差数列,则=()A.B.3或C.3D.【解题指南】由等比数列通项公式可得4a1q2=3a1q+a1q3,可得q=1或

6、q=3,将q=1和q=3分别代入求解即可.【解析】选B.由已知4a1q2=3a1q+a1q3,整理得q2-4q+3=0,所以q=1或q=3,当q=1时,=3;当q=3时=,所以=3或.3.设等比数列an的前n项和为Sn,若=3,则=()A.2B.C.D.3【解析】选B.由题意知=1+q3=3,所以q3=2,所以=.【补偿训练】 (2020张家口高一检测)已知数列满足a2=2,2an+1=an,则数列的前6项和S6等于()A.B.C.D.【解析】选C.由2an+1=an得数列是以为公比的等比数列,所以a1=4,故S6=.4.(2020余姚高一检测)已知等比数列的公比是q,首项a1a1,则正整数k

7、的最大值是()A.4B.5C.14D.15【解析】选A.由已知可得2a4=a1+a3-a1q=Sk=a1 k5kmax=4.5.(2020全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则=()A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1【解析】选B.设等比数列的公比为q,由a5-a3=12,a6-a4=24可得:,所以an=a1qn-1=2n-1,Sn=2n-1,因此=2-21-n.二、填空题(每小题5分,共15分)6.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公

8、仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了.【解析】由题意,设等比数列an的首项为a1,公比为q=,依题意有=378,解得a1=192,则a2=192=96,即第二天走了96里.答案:96里7.在等比数列an中,a1+a2+a6=10,+=5,则a1a2a6=.【解析】由等比数列的前n项和公式,得a1+a2+a6=10,+=5,把a1-a6q=10(1-q)代入,得a1a6=2,又a1a2a6=(a1a6)3=23=8.答案:88.(2020岳阳高二检测)已知数列的前n项和为Sn,且满足a1+3a

9、2+3n-1an=n,则S4=.【解析】a1+3a2+3n-1an=n,可得n=1时,a1=1,n2时,a1+3a2+3n-2an-1=n-1,又a1+3a2+3n-1an=n,两式相减可得3n-1an=1,即an=,上式对n=1也成立,可得数列是首项为1,公比为的等比数列,可得S4=.答案:【光速解题】对题目所给等式进行赋值,由此猜想出an的表达式.三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020全国卷)设是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求的公比;(2)若a1=1,求数列nan的前n项和.【解析】(1)设的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a

10、1q2.因为a10,所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.故的公比为-2.(2)设Sn为nan的前n项和.由(1)及题设可得,an=(-2)n-1.所以Sn=1+2(-2)+n(-2)n-1,-2Sn=-2+2(-2)2+(n-1)(-2)n-1+n(-2)n.可得3Sn=1+(-2)+(-2)2+(-2)n-1-n(-2)n=-n(-2)n.所以Sn=-.10.设数列an(n=1,2,3)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式.(2)记数列的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|成立的n的最小值.【解析】(1)由已知Sn=

11、2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以数列an是首项为2,公比为2的等比数列.故an=2n.(2)由(1)得=,所以Tn=+=1-.由|Tn-1|,得1 000.因为29=5121 0001 024=210,所以n10.于是,使|Tn-1|成立的n的最小值为10.1.设数列an的前n项和为Sn,点(nN+)均在直线y=x+上.若bn=,则数列bn的前n项和Tn=.【解析】由已知=

12、n+,即Sn=n2+n.当n2时,an=Sn-Sn-1=-=2n-;当n=1时,a1=S1=,符合an=2n-,所以an=2n-(nN+),则bn=32n,由=32=9,可知bn为等比数列,b1=321=9,故Tn=.答案:2.已知数列an中,a1=1,anan+1=,记T2n为an的前2n项的和,bn=a2n+a2n-1,nN+.(1)判断数列bn是否为等比数列,并求出bn.(2)求T2n.【解析】(1)因为anan+1=,所以an+1an+2=,所以=,即an+2=an,因为bn=a2n+a2n-1,所以=,所以bn是公比为的等比数列.因为a1=1,a1a2=,所以a2=b1=a1+a2=,所以bn=.(2)由(1)可知an+2=an,所以a1,a3,a5,是以a1=1为首项,以为公比的等比数列;a2,a4,a6,是以a2=为首项,以为公比的等比数列,所以T2n=(a1+a3+a2n-1)+(a2+a4+a2n)=+=3-.