2021_2022学年高中数学第一章数列单元素养评价含解析北师大版必修5202103121159.doc

1、单元素养评价(一)(第一章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.数列an中,对任意m,nN+,恒有am+n=am+an,若a1=,则a7等于()A.B.C.D.【解析】选D.因为am+n=am+an,a1=,所以a2=2a1=,a4=2a2=,a3=a1+a2=,a7=a3+a4=.2.若数列xn满足lg xn+1=1+lg xn(nN+),且x1+x2+x3+x100=100,则lg(x101+x102+x200)的值为()A.102B.101C.100D.99【解析】选A.由lg xn+1=1+l

2、g xn,得=10,所以数列xn是公比为10的等比数列,又x101=x1q100,x102=x2q100,x200=x100q100,所以x101+x102+x200=q100(x1+x2+x100)=10100100=10102,所以lg(x101+x102+x200)=102.3.等比数列x,3x+3,6x+6,的第四项等于()A.-24B.0C.12D.24【解析】选A.由等比数列的前三项为x,3x+3,6x+6,可得(3x+3)2=x(6x+6),解得x=-3或x=-1(此时3x+3=0,不合题意,舍去),故该等比数列的首项x=-3,公比q=2,所以第四项为6(-3)+62=-24.4

3、.(2020南昌高一检测)已知数列的奇数项依次成等差数列,偶数项依次成等比数列,且a1=1,a2=2,a3+a4=7,a5+a6=13,则a7+a8=()A.4+B.19C.20D.23【解题指南】本题首先可以设出奇数项的公差以及偶数项的公比,然后对a3+a4=7, a5+a6=13进行化简,得出公差和公比的数值,然后对a7+a8进行化简即可得出结果.【解析】选D.设奇数项的公差为d,偶数项的公比为q,由a3+a4=7,a5+a6=13,得1+d+2q=7,1+2d+2q2=13,解得d=2,q=2,所以a7+a8=1+3d+2q3=7+16=23.5.(2020重庆高一检测)我国南宋数学家杨

4、辉1261年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中,第n行的所有数字之和为2n-1,若去除所有为1的项,依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,则此数列的前55项和为()A.4 072B.2 026C.4 096D.2 048【解题指南】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行,然后令x=1得到对应项的系数和,结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可.【解析】选A.由题意可知,每一行数字和为首项为1,公比为2的等比数列,则杨辉三角形的前n项和为Sn=2n-1,若去除所有的为1的项,则剩下的每一行的个数为1,2

5、,3,4,可以看成构成一个首项为1,公差为1的等差数列,则Tn=,可得当n=10,所有项的个数和为55,则杨辉三角形的前12项的和为S12=212-1,则此数列前55项的和为S12-23=4 072,故选A.6.(2020全国卷) 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3 699块B.3 474块C. 3 402块D.3 339块【解析】

6、选C.设每一层有n环,由题可知从内到外每环的扇面形石板数之间构成等差数列an,且公差d=9,首项a1=9,由等差数列的性质可知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,且-=n2d, 由题意得9n2=729,所以n=9,则三层共有扇面形石板为S3n=S27=27a1+9=3 402(块).7.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,且对任意的实数x,yR,都有f(x)f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(nN+),则数列an的前n项和Sn的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选C.依题意得f(n+1)=f(n)f(1),即an+1=ana1=an,所以数列an是以为首项,为公

7、比的等比数列,所以Sn=1-,所以Sn.8.在等比数列an中,a1=-512,公比q=-.用Tn表示它的前n项之积: Tn=a1a2an,则T1,T2,T3,中最大的是()A.T10B.T9C.T8,T11D.T9,T10【解析】选C.因为Tn=q1+2+(n-1)=,所以n=8或11时,T8,T11相等且最大.9.夏季高山上气温从山脚起每升高100 m,降低0.7 .已知山顶气温是14.1 ,山脚气温是26 ,那么此山相对于山脚的高度是()A.1 500 mB.1 600 mC.1 700 mD.1 800 m【解析】选C.依题意知14.1=26-(n-1)0.7,解得n=18.故山高应为1

8、 700 m.10.设Sn为数列an的前n项和,若Sn=an+1,nN+,则a5=()A.2B.-2C.1D.-1【解析】选A.Sn为数列an的前n项和且Sn=an+1(nN+),所以an=Sn-Sn-1= an+1-an-1-1=an-an-1,n2,所以an=-an-1,n2,又n=1时,S1=a1+1,所以a1=2,所以数列an是以2为首项,以-1为公比的等比数列,所以a5=2(-1)5-1=2.11.(2020太原高一检测)在等差数列中,a1=31,S10=S20,则数列的前n项和Sn的最大值为()A.S15B.S16C.S15或S16D.S17【解析】选A.因为等差数列中,S10=S

9、20,所以S20-S10=a11+a12+a20=5(a15+a16)=0,所以a15+a16=0又a1=310,所以a150,a160,2Sn=+an,nN*,bn=,对任意的nN*,kTn恒成立,则k的最小值是()A.1B.C.D.【解题指南】先由Sn与an的关系式求的通项公式,于是可得的通项公式,再由裂项相消法求出Tn,于是答案易得.【解析】选C.因为an0,2Sn=+an,nN*,所以当n=1时,2a1=2S1=+a1,解得a1=1;当n2时,2Sn-1=+an-1.所以2an=2Sn-2Sn-1=-.于是-=0.由an+an-10,可得an-an-1=1,所以an是首项为1,公差为1

10、的等差数列,即an=n.所以bn=-.所以Tn=b1+b2+bn=-+-+-=-Tn=-恒成立,所以k,即k的最小值是.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.正项等比数列an中,Sn为其前n项和,已知a3=,S3=,则S6=.【解析】由正项等比数列an中a3=,所以S3=a3=,又因为an0,所以q=,a1=1,所以S6=.答案:14.(2020全国卷)数列an满足an+2+(-1)nan=3n-1,前16项和为540,则a1=.【解析】an+2+(-1)nan=3n-1,当n为奇数时,an+2=an+3n-1;当n为偶数时,an+2+an=3n-1.

11、设数列的前n项和为Sn,S16=a1+a2+a3+a4+a16=a1+a3+a5+a15+(a2+a4)+(a14+a16)=a1+(a1+2)+(a1+10)+(a1+24)+(a1+44)+(a1+70)+(a1+102)+(a1+140)+(5+17+29+41)=8a1+392+92=8a1+484=540,所以a1=7.答案:715.在数列an中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(nN+),则a1+a2+a51=.【解析】利用分组求和法求解.当n为正奇数时,an+2-an=0,又a1=1,则所有奇数项都是1;当n为正偶数时,an+2-an=2,又a2=2,则所有偶

12、数项是首项和公差都是2的等差数列,所以a1+a2+a51=(a1+a3+a51)+(a2+a4+a50)=26a1+25a2+2=676.答案:67616.某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价:由于首层与顶层均为复式结构,因此首层价格为a1元/m2,顶层由于景观好价格为a2元/m2,第二层价格为a元/m2,从第三层开始每层在前一层价格上加价元/m2,则该商品房各层的平均价格为.【解析】设第二层的价格到第二十二层的价格构成数列bn,则bn是等差数列,b1=a,公差d=,共21项,所以其和为S21=21a+=23.1a,故平均价格为(a1+a2+23.1a)元/m2.答案:

13、(a1+a2+23.1a)元/m2三、解答题(共70分)17.(12分)(2020天水高二检测)已知数列的前n项和为Sn,且2Sn=3an-1.(1)求数列的通项公式;(2)若数列是等差数列,且b1=2,b3=14,求数列的前n项和Tn.【解题指南】(1)当n=1时,求得a1=1,当n2时,递推作差得an=3an-1,即=3,得到数列是首项为1,公比为3的等比数列,即可求解数列的通项公式;(2)由(1)求得cn=bn-an=2n-1,得到bn=cn+an=2n-1+3n-1,利用分组求和,即可求解.【解析】(1)当n=1时,2S1=2a1=3a1-1,所以a1=1,当n2时,因为2Sn=3an

14、-1,所以2Sn-1=3an-1-1,两式作差得an=3an-1,即=3,因为a1=1,所以数列是首项为1,公比为3的等比数列,故an=3n-1.(2)令cn=bn-an,则c1=b1-a1=1,c3=b3-a3=14-9=5,所以数列的公差d=2,故cn=2n-1,所以bn=cn+an=2n-1+3n-1,所以Tn=+=n2+.18.(12分)(2020全国卷)设等比数列an满足a1+a2=4,a3-a1=8.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为数列log3an的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.【命题意图】本题考查等比数列通项公式基本量的计算,以及等差数列求和公式的应用,考查计

15、算求解能力,属于基础题目.【解析】(1)设等比数列an的公比为q,根据题意,有,解得,所以an=3n-1;(2)令bn=log3an=log33n-1=n-1,所以Sn=,根据Sm+Sm+1=Sm+3,可得+=,整理得m2-5m-6=0,因为m0,所以m=6.19.(12分)在数列an中,a1=4,nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求证:数列是等差数列;(2)求数列的前n项和Sn.【解题指南】(1)根据数列通项公式的特征,我们对nan+1-(n+1)an=2n2+2n,两边同时除以n(n+1),得到-=2,利用等差数列的定义,就可以证明出数列是等差数列;(2)求出数列的通项公式,

16、利用裂项相消法,求出数列的前n项和Sn.【解析】(1)nan+1-(n+1)an=2n2+2n的两边同除以n(n+1),得-=2,又=4,所以数列是首项为4,公差为2的等差数列.(2)由(1)得=4+2(n-1),即=2n+2,所以an=2n2+2n,故=,所以Sn=+=.20.(12分)(2020石家庄高一检测)已知各项均为正数的数列的前n项和为Sn, 首项为a1,且,an,Sn成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)若=,设cn=,求数列的前n项和Tn.【解题指南】(1)由n2,an=Sn-Sn-1 ,根据等比数列定义可得结果;(2)先求出数列的通项公式,再根据数列的通项特点,利用错位相

17、减法求和.【解析】(1)由题意知2an=Sn+,an0,当n=1时,2a1=a1+,所以a1=,当n2时,Sn=2an-,Sn-1=2an-1-,两式相减得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,整理得=2,所以数列an是以为首项,2为公比的等比数列,an=a12n-1=2n-1=2n-2.(2)=22n-4,所以bn=4-2n,cn=,Tn=+,Tn=+,-得Tn=4-8-=4-8-,4-4-=,所以Tn=.21.(10分)已知数列an满足a1=1,an+1=1-,其中nN*.(1)设bn=,求证:数列bn是等差数列,并求出an的通项公式.(2)设cn=,数列cncn+2的前n项和为Tn,

18、是否存在正整数m,使得Tn对于nN*,恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.【解题指南】(1)结合递推关系可证得bn+1-bn=2,且b1=2,即数列bn是首项为2,公差为2的等差数列,据此可得数列的通项公式为an=.(2)结合通项公式裂项有cncn+2=2,求和有Tn=23.据此结合单调性讨论可得正整数m的最小值为3.【解析】(1)-bn=-=-=-=2.又由a1=1,得b1=2,所以数列bn是首项为2,公差为2的等差数列,所以bn=2+(n-1)2=2n,由bn=,得an=.(2)cn=,cncn+2=2,所以Tn=23.依题意,要使Tn0,所以m3,所以正整数m的最小值为

19、3.22.(12分)(2020重庆高一检测)已知数列为等比数列,其前n项和为Sn,且S1,S2的等差中项为S3,若8=-5.(1)求数列的通项公式;(2)记Rn=+,对于任意的n2,nN*,不等式m(n-1)2恒成立,求实数m的取值范围.【解题指南】(1)根据等差数列的性质,以及等比数列的通项公式,可得结果.(2)根据(1)的结论,可得Rn,然后分离参数,并构造新的函数,研究新函数的值域与m的大小关系,可得结果.【解析】(1)依题意可得a1=q=-,an=.(2)Rn=121+222+323+n2n,2Rn=122+223+(n-1)2n+n2n+1,-Rn=21+22+2n-n2n+1,Rn

20、=n2n+1-2n+1+2,由任意n2,nN*,所以不等式m(n-1)2恒成立,即m(n-1)2,即m恒成立,记f=,f(n+1)-f(n)=-,即f(n+1)-f(n)=0,所以f单调递减.所以f(n)f(2)=,m,所以不等式m(n-1)2对任意n2,nN*恒成立的实数m的取值范围为.【补偿训练】(2020哈尔滨高一检测)已知等差数列,等比数列,满足a1=b1=1,a2+b2=,且a3=-10b2,(1)求数列及数列的通项公式;(2)设cn=,求数列的前n项和Tn.【解题指南】(1)将已知条件化为基本量的形式,分别求得公差d和公比q,从而根据等差、等比数列通项公式求得结果;(2)由(1)可得cn,从而可根据错位相减法求得Tn.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,由题意知:所以d=2.所以an=a1+d=1+2=2n-1.又b2=-a2=-3=-,所以q=-,bn=b1qn-1=.(2)由(1)得cn=,所以Tn=1+3+5+(2n-3)+(2n-1).则Tn=1+3+5+(2n-3)+(2n-1).两式作差得:Tn=1+2-,即Tn=1-+2=1-(2n-1)+2-.整理可得Tn=6-.