广东省深圳中学2013届高三数学二模试卷 理（含解析）新人教A版.doc

1、广东省深圳中学2013年高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求1（5分）（2012韶关一模）已知全集U=1，2，3，4，5，6，集合A=1，3，5，B=1，2，则A（UB）（）AB5C3D3，5考点：交、并、补集的混合运算专题：计算题分析：先由补集的定义求出UB，再利用交集的定义求AUB解答：解：U=1，2，3，4，5，6，B=1，2，UB3，4，5，6，又集合A=1，3，5，AUB=3，5，故选D点评：本题考查交、并补集的混合运算，解题的关键是熟练掌握交集与补集的定义，计算出所求的集合2（5分）设直线l1与l2的

2、方程分别为a1x+b1y+c1=0与a2x+b2y+c2=0，则“a1b2a2b1=0”是“l1l2”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题：探究型分析：两条直线平行时，一定可以得到a1b2a2b1=0成立，反过来不一定成立，由此确定两者之间的关系解答：解：若a1b2a2b1=0，不妨设a1=0，b1=1，a2=0，b2=1，c1=c2，此时两直线重合，所以不充分若l1l2，则必有a1b2a2b1=0成立所以“a1b2a2b1=0”是“l1l2”的必要不充分条件故选B点评：本题考查充分条件和必要条件的判断，要

3、求掌握判断充分条件和必要条件的方法：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件3（5分）已知a，b，c满足cba且ac0，则下列选项中一定成立的是（）AabacBc（ba）0Ccb2ab2Dac（ac）0考点：不等关系与不等式.专题：阅读型分析：先研究a，b，c满足cba且ac0结构，再由不等式的运算性质结合题设中的条件对四个选项逐一验证得出正确选项即可解答：解：a，b，c满足cba且

4、ac0，c0a由此知A选项abac正确，由于c（ba）0知B选项不正确，由于b2可能为0，故C选项不正确，由于ac0，ac0，故ac（ac）0，所以D不正确故选A点评：本题考查不等式与不等关系，主要考查了不等式的性质及运算，解决本题的关键就是熟练掌握不等式的性质与运算，对基本概念及运算的灵活运用是快捷解题的保证4（5分）（2010南宁二模）设数列an是等差数列，且a2=8，a15=5，Sn是数列an的前n项和，则（）AS10=S11BS10S11CS9=S10DS9S10考点：等差数列的性质.专题：计算题分析：根据等差数列的两项的值，求出数列的公差，写出数列的通项，根据通项可以看出第十项的值等

5、于0，得到前十项和前九项的和相等解答：解：a2=8，a15=5，设公差为d，则d=，an=n10，因此S9=S10是前n项和中的最小值，选择C点评：本题考查等差数列的性质，本题解题的关键是看出第十项等于0，本题也可以根据前n项之和的公式求解5（5分）（2010青岛模拟）设（其中e为自然对数的底数），则的值为（）ABCD考点：定积分.专题：计算题分析：因为f（x）为分段函数，分别在各区间对f（x）积分，相加可得所求的值解答：解：0ef（x）dx=01x2dx+1edx=x3|01+lnx|1e=0+lneln1=+1=故选A点评：本题为基础题，要求学生会进行积分运算做题时学生应注意f（x）是分段

6、函数，所以要分两部分积分6（5分）在四边形ABCD中，ABCD，=3，E为BC的中点则A=（）ABCD考点：向量的线性运算性质及几何意义.专题：平面向量及应用分析：根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，化简 =+=+（）化简可得2=+，由此求得解答：解：在四边形ABCD中，ABCD，AB=3DC，E为BC的中点，则 =+=+=+（）化简可得 2=+，=，故选A点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题7（5分）（2012东莞一模）点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A（0，1）的距离与到直线x=1的距离和的最小值是（）ABC2D考点：抛物线的简单性质.专题

7、：计算题分析：由抛物线的性质，我们可得P点到直线x=1的距离等于P点到抛物线y2=4x焦点F的距离，根据平面上两点之间的距离线段最短，即可得到点P到点A（0，1）的距离与到直线x=1的距离和的最小值解答：解：P点到直线x=1的距离等于P点到抛物线y2=4x焦点F的距离故当P点位于AF上时，点P到点A（0，1）的距离与到直线x=1的距离和最小此时|PA|+|PF|=|AF|=故选D点评：本题考查的知识点是抛物线的简单性质，其中根据抛物线的性质，将点P到点A（0，1）的距离与到直线x=1的距离和，转化为P点到A，F两点的距离和，是解答本题的关键8（5分）（2012无为县模拟）已知定义在R上的函数f

8、（x）、g（x）满足，且f（x）g（x）f（x）g（x），若有穷数列（nN*）的前n项和等于，则n等于 （）A4B5C6D7考点：导数的运算；数列的求和.专题：压轴题分析：利用导数研究函数的单调性得到a的范围，再利用等比数列前n项和公式即可得出解答：解：=，f（x）g（x）f（x）g（x），=0，即函数单调递减，0a1又，即，即，解得a=2（舍去）或，即数列是首项为，公比的等比数列，=，由解得n=5，故选B点评：熟练掌握导数研究函数的单调性、等比数列前n项和公式是解题的关键二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案填在答卷指定位置上9（5分）若双曲线的一个焦点为（4，0），则双曲

9、线的渐近线方程为y=x考点：双曲线的简单性质.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线方程算出c=，结合一个焦点为（4，0）解关于a的方程得a=4，再由双曲线渐近线方程的公式即可求出该双曲线的渐近线方程解答：解：双曲线的方程为，c=又双曲线的一个焦点为（4，0），c=4，即=4，解之得a=4（2舍负）因此双曲线方程为，得a=b=4双曲线的渐近线方程为y=，即y=x故答案为：y=x点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程，在已知焦点坐标的情况下求双曲线的渐近线，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题10（5分）如果执行右侧的程序框图，那么输出的S=420考点：循

10、环结构.分析：按照框图的流程，写出前几次循环的结果，得到框图的功能是求前n个偶数的和；由框图得到k=21时输出s；利用等差数列的前n项和公式求出输出的s解答：解：经过第一次循环得到s=2，k=2；经过第二次循环得到s=2+4，k=3；经过第三次循环得到s=2+4+6，k=4；经过第20次循环得到s=2+4+6+.220，k=21；此时不满足判断框中的条件，执行输出s而s=2+4+6+220=420故答案为420点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律11（5分）若函数f（x）=lnx+2x6的零点x0k，k+1）则整数k的值为2考点：利用导数研究函数的极值.

11、专题：证明题分析：分别求出f（2）和f（3）并判断符号，再由函数的单调性判断出函数唯一零点所在的区间，即可求出k解答：解：f（2）=ln220，f（3）=ln30，f（x）=lnx+2x6的存在零点x0（2，3）f（x）=lnx+2x6在定义域（0，+）上单调递增，f（x）=lnx+2x6的存在唯一的零点x0（2，3）则整数k=2故答案为2点评：本题主要考查函数零点存在性的判断方法的应用，要判断个数需要判断函数的单调性，属于基础题12（5分）已知函数f（x）在定义域0，+）单调递增，则满足f（x1）f（）的x取值范围是1，）考点：函数单调性的性质.专题：函数的性质及应用分析：由函数定义域为0，

12、+），得x10，又f（x）单调递增，所以f（x1）f（）x1，从而可得x的取值范围解答：解：由题意得，解得1x即满足f（x1）f（）的x 取值范围是1，）故答案为：1，）点评：本题考查函数单调性的应用，用单调性解不等式，解决本题时要注意函数定义域13（5分）（2008浙江）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（bc）cosA=acosC，则cosA=考点：正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数.专题：计算题分析：先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，再运用两角和与差的正弦公式化简可得到sinBcosA=sinB，进而可求得cosA的值解答：解：由正弦定理，知由（bc）c

13、osA=acosC可得（sinBsinC）cosA=sinAcosC，sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，cosA=故答案为：点评：本题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦公式的应用考查对三角函数公式的记忆能力和综合运用能力14（5分）如图，阴影部分区域是由线段AC，线段CB及半圆所围成的图形（含边界），其中边界点的坐标为A（1，1），B（3，3），C（1，3）当动点P（X，Y）在区域上运动时，的取值范围是，3考点：简单线性规划的应用.专题：数形结合分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出

14、的取值范围解答：解：平面区域如下图示，表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=C（1，3）时取最大值3，又半圆的圆心为（2，2），半径为，设过原点且与半圆相切的切线方程为y=kx，则圆心到切线的距离d=，解得k=2，最小值2，故的取值范围是，3故答案为：，3点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（12分）已知函数f（x）=asinxcosx

15、a（1）求函数的单调递减区间；（2）设x0，f（x）的最小值是2，最大值是，求实数a，b的值考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；三角函数的最值.专题：计算题分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式等于asin（2x）+b，由 2k+2x2k+，kz，求得x的范围即得函数的单调递减区间（2）根据 x0，可得 2x的范围，sin（2x）的范围，根据f（x）的最小值是2，最大值是，求得实数a，b的值解答：解：（1）f（x）=asinxcosxa =+=+b=asin（2x）+b由 2k+2x2k+，kz，解得 k+xk+，kz，故函数的单调递减区间为k+，k+，kz（2）

16、x0，2x，sin（2x）1f（x）min =2，f（x）max =a+b=，解得 a=2，b=2+点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性和值域，化简f（x）的解析式等于asin（2x）+b，是解题的关键16（12分）已知数列an满足递推式an=2an1+1（n2），其中a3=7（1）求数列an的通项公式；（2）已知数列（bn满足bn=，求数列bn的前n项和Sn考点：数列递推式；数列的求和.分析：（1）an=2an1+1两边同时加上1，构造出数列an+1是以2为公比的等比数列，通过数列an+1的通项公式求出an的通项公式（2）由（1）求得bn=，利用错位相消法求和即可

17、解答：解：（1）由已知，a3=2a2+1，得a2=3，同理得a1=1 在an=2an1+1两边同时加上1，得出an+1=2（an1+1），所以数列an+1是以2为公比的等比数列， 首项为a1+1=2故an+1=22n1=2n化简得数列an的通项公式为an=2n1（2）bn=Sn=Sn=得Sn=故Sn=2点评：本题考查数列的递推公式和通项公式，错位相消法求和计算，考查转化计算，构造能力17（14分）设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比一天购票人数为25人时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100人时，该旅游景点需另交保险费

18、200元设每天的购票人数为x人，赢利额为y元（1）求y与x之间的函数关系；（2）该旅游景点希望在人数达到20人时即不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元（取整数）？注：利润=门票收入固定成本变动成本；可选用数据：，考点：函数模型的选择与应用.专题：应用题；综合题；数学模型法分析：（1）由题意设出可变成本的解析式，用门票收入减去固定成本与可变成本，即得所求的y与x之间的函数关系；（2）设每张门票至少需要a元，代入不超过100人时的解析式，令其大于0，解出参数a的取值范围，得出其最小值解答：解：（1）依题意有可设变动成本当x=25时，有k=50故（0x100，xN*）当x100

19、时，（2）设每张门票至少需要a元，则有又a取整数，故取a=37答：每张门票至少需要37元点评：本题考查函数模型的选择与应用，根据实际问题选择合适的模型是解决实际问题的变化关系常用的方法，其步骤是，建立函数模型，求解函数，得出结论，再反馈回实际问题中去18（14分）设函数，其中常数aR，e为自然对数的底数（1）若a=2求函数f（x）的图象在x=1处的切线的方程；（2）若函数f（x）的极大值为3，求a的值及f（x）的极小值考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程.专题：导数的综合应用分析：先由求导公式和法则对函数求导，整理可得f（x）=（1）把a=2代入，求得切线斜率及切点的坐

20、标，代入点斜式化简得切线方程；（2）令f（x）=0可得临界点，结合2a 与0的大小，分三种情况的讨论研究函数的单调区间，由单调区间求出函数的极大值和极小值，结合条件求a的值，再求出函数的极小值解答：解：由题意得，=，（1）当a=2时，则，且，在x=1处的切线的方程为：ye=e（x+1），即ex+y=0（2）令f（x）=0解得x=0或x=2a，当a=2时，0，函数f（x）在区间（，+）上是增函数，f（x）无极值，不合题意； 当02a，即a2时，x、f（x）和f（x）的取值变化情况如下：f（x）的极大值为f（0）=a=3，f（x）的极小值为f（2a）=f（1）=，当02a，即a2时，x、f（x）和

21、f（x）的取值变化情况如下：f（x）的极大值为f（2a）=（2a）2+a（2a）+aea2=（4a）ea2，令h（a）=（4a）ea2，则h（a）=（4a）ea2+（4a）（ea2）=（3a）ea20，h（a）在（，2）上递增，h（a）h（2）=23，不符合题意，综上，a=3，f（x）的极小值为f（1）=e点评：本题考查用导数的方法研究函数的单调性、极值，导数的几何意义和切线方程，解题中渗透了分类讨论、方程与函数的思想及转化的思想，是一道综合性较强的试题19（14分）（2012辽宁模拟）如图，已知抛物线C：y2=2px和M：（x4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）（y01）作两条

22、直线与M相切于A、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为（）求抛物线C的方程；（）当AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；（）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值考点：圆与圆锥曲线的综合；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；抛物线的标准方程.专题：综合题分析：（）利用点M到抛物线准线的距离为，可得，从而可求抛物线C的方程；（）法一：根据当AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），可得kHE=kHF，设E（x1，y1），F（x2，y2），可得y1+y2=2yH=4，从而可求直线EF的斜率；法二：求得直线HA的方程为，与抛物线方程联立，求出

23、E，F的坐标，从而可求直线EF的斜率；（）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），求出直线HA的方程，直线HB的方程，从而可得直线AB的方程，令x=0，可得，再利用导数法，即可求得t的最小值法二：求以H为圆心，HA为半径的圆方程，M方程，两方程相减，可得直线AB的方程，当x=0时，直线AB在y轴上的截距（m1），再利用导数法，即可求得t的最小值解答：解：（）点M到抛物线准线的距离为=，抛物线C的方程为y2=x（2分）（）法一：当AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），kHE=kHF，设E（x1，y1），F（x2，y2），y1+y2=2yH=4（5分）（7分）法二：当AHB的角平分线垂直

24、x轴时，点H（4，2），AHB=60，可得，直线HA的方程为，联立方程组，得，（5分）同理可得，（7分）（）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线HA的方程为（4x1）xy1y+4x115=0，同理，直线HB的方程为（4x2）xy2y+4x215=0，（9分）直线AB的方程为，令x=0，可得，t关于y0的函数在1，+）上单调递增，当y0=1时，tmin=11（12分）法二：设点H（m2，m）（m1），HM2=m47m2+16，HA2=m47m2+15以H为圆心，HA为半径的圆方程为（xm2）2+（ym）2=m47m2+15，M方程：（x4）2+y2=1得：直线AB的方程为（2xm24

25、）（4m2）（2ym）m=m47m2+14（9分）当x=0时，直线AB在y轴上的截距（m1），t关于m的函数在1，+）上单调递增，当m=1时，tmin=11（12分）点评：本题以抛物线与圆的方程为载体，考查抛物线的标准方程，考查直线方程，同时考查利用导数法解决函数的最值问题，综合性较强20（14分）（2011广东模拟）已知二次函数f（x）=ax2+bx的图象过点（4n，0），且f（0）=2n，nN*（1）若数列an 满足，且a1=4，求数列an 的通项公式；（2）若数列bn满足：b1=1，当n3，nN*时，求证：；考点：数列与不等式的综合；二次函数的性质；数列与函数的综合.专题：综合题分析：（

26、1）求导函数，根据二次函数f（x）=ax2+bx的图象过点（4n，0），且f（0）=2n，可得b=2n，16n2a4nb=0，从而可得函数的解析式，利用数列an 满足，f（x）=x+2n，结合叠加法，即可求得结论；（2）先证明，从而有，可得b2n+1b2n1；又，从而结论成立；由得，相减得，再叠加，利用放缩法，即可证得结论解答：（1）解：求导函数可得f（x）=2ax+b，由题意知b=2n，16n2a4nb=0a=，b=2n，则f（x）=x2+2nx，nN* （2分）数列an 满足，f（x）=x+2n，a1=4，= （6分）（2）证明：由b1=1得，由得即，b2n+1b2n1由及b1=1，可得：，b2nb2n+1（10分）由得相减得由知：bnbn+1所以=（14分）点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项，考查放缩法的运用，确定数列的通项，正确放缩是关键