广东省深圳中学高中数学必修二导学案4.平面的基本性质.doc

1、4平面的基本性质陈丽萍学习目标1了解平面的定义，理解平面的基本性质2理解三条公理和三条推论，并能运用它找出两个平面的交线，解决“三线共点”和“三点共线”的问题一、夯实基础基础梳理1点、线、面的位置关系填空文字语言符号语言点在直线上点不在直线上点在平面内直线在平面内直线与直线相交于点直线与平面相交点2平面的基本性质公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。符号表示：公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条_的直线。符号表示：，且，且。公理3：经过_三点，有且只有一个平面。符号表示：点、不共线，存在唯一平面，使基础达

2、标1两个平面的公共点可能是（ ）A1个B2个C3个D0或无数个2点在直线上，而直线在平面内，用符号表示为（ ）ABCD3下列命题：空间不同三点确定一个平面；两个平面有三个公共点，它们必然重合；三条直线两两相交，它们必在同一平面内；一条直线与两条平行直线都相交，这三条直线必在同一平面内；一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；三角形是平面图形；四边表是平面图形；平行四边形、梯形都是平面图形；两组对边相等的四边形是平行四边形。其中正确的命题是_（填序号）4下面是四个命题的叙述语（其中、表示点，表示直线，表示平面）；。其中叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是_。5求证：三角形是平面图形。

3、二、学习指引自主探究1请谈谈三个公理的作用公理1作用：_来源:学|科|网Z|X|X|K公理2作用：_公理3作用：_。2（1）一个平面把空间分成_两部分，两个平面把空间最多分成_部分，三个平面把空间最多分成_部分。（2）用一个平面去截一个正方体得到的截面是多边形，其中边数最多的是_边形。3如图，在正方体中，、分别是棱，中点。研究：（1）直线与在直线是否相交？如果相交，请画出交点。（2）平面与平面是否有公共直线？如果有，请说明理由，作出这条直线并判断该直线是否经过点（3）画出平面截这个正方体所得的截面并判断该截面的形状案例分析1经过空间中3个点的平面（ ）A有且只有1个B有且只有3个C1个或无数个

4、D有0个【答案】C2直线上有一个点不在平面内，这条直线与这个平面的公共点有_个【解析】考虑直线与平面平行或相交，答案为0或1个3如图，在正方体中。来源:Zxxk.Com（1）在图l中作出平面与平面的交线；（2）分别是相应棱的中点，试在图2中过这三点作截面。【解析】（1）如图，即为所作（2）如图，向两边延长线段，交上底面的棱所在直线于点，依此方法作图，最终可得一个六边形。说明：作几何体的截面，根据直线与平面特征，遵循“能连则连，能延则延”的原则4求证：两两平行的三直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面【解析】已知：求证：、共面。证明：因为，由推论3可知直线可确定一个平面，设为。由公理1可

5、知：。，由推论有可知直线可确定一个平面，设为。同理可知：。平面和平面都包含直线和，且，所以由推论2可知：经过两条相交直线，有且只有一个平面。平面和平面重合。所以、共面。5点平面分别是上的点，若与交于，求证：在直线上。【解析】证明：，分别属于直线，平面平面，同理：平面，又平面平面，在直线上。三、能力提升1空间四条直线，其中每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（ ）A一个B四个C六个D八个2平行六面体中既与共面又与共面的棱的条数为_。（底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体）3如图所示，正方体中，与截面交于点，交于点，求证：三点共线。拓展迁移4在三棱锥中，作截面，若的延长线交于的延长线交于点的延长

6、线交于点。求证：三点共线。5如图，空间四边形中，、分别在、上，且满足，过、的平面交于。连接。（1）求；（2）求证：、三条直线交于同一点。挑战极限6在棱长为的正方体中，分别是棱的中点，画出过这三点的截面，并求这个截面的周长。课程小结利用平面基本性质证明“线共点”或“点共线”问题：1证明共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上2要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线3证明点或线共面问题一般有以下两种途径：首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余线（或点）均在这个平面内：

7、将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合。平面的基本性质一、夯实基础基础梳理文字语言符号语言点在直线上点不在直线上点在平面内平面直线在平面内直线与直线相较于点来源:Zxxk.Com直线与平面相较于点公理：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内符号表示：，且，公理：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条经过这个公共点的直线符号表示：，且，且来源:Z。xx。k.Com公理：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面符号表示：点、不共线，存在唯一平面，使，基础达标已知：三角形，求证：三角形是平面图形证明：三角形的顶

8、点、不共线由公理知，存在平面使得、再由公理知，、三角形上的每一个点都在同一个平面内三角形是平面图形二、学习指引（）公理的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内（）公理的作用：判定两平面相交；作两相交平面的交线；证明多点共线（）公理的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件（）,（）六（）不相交实际上，延长，它与直线相交（）延长、，分别与、相交于两点，连接这两点，可证直线过点（）由（），改截面经过，于是连接，四点，得到截面，它是一个平行四边形三、能力提升.如图，与和都相交的棱有；与相交且与平行的棱有，；与平行且与相交的棱有，故符合条件的棱共有条易知截面与平面有公共点、截面与平面有公共直线为与截面的交点，平面，平面，即也是两平面的公共点，直线，即，三点共线证明：，在平面内，面，面，点在平面与平面的交线上，同理可证：、也在平面与平面的交线上，、三点共线（）平面而平面，且平面平面，而，即（）证明，且，四边形为梯形令，则，而平面，平面，平面平面，来源:学科网、三线共点如图所示，连接并延长，分别与，的延长线交于，两点连接交于点，连接交于点再连接，则五边形为过三点，的截面由，分别是边，的中点，知，由，知，（分），同理，易求，五边形的周长