《优教通同步备课》高中数学（北师大版）必修五教案：3.4 知识精讲：不等式的平面区域问题和基本不等式.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家不等式的平面区域问题和基本不等式【知识精讲】理解不等式所表示的区域，并能做出不等式组表示的区域，同时要学习会求线性规划的最优解。掌握基本不等式的成立条件，运用其求最值问题。【基础梳理】二元一次不等式1、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是的不等式2、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组3、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合4、在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点若，则点在直线的上方若，则点在直线的下方5、在平面直角坐标系中，已知直线若，则表示直线上方的区域；表

2、示直线下方的区域若，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域6、线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条件目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式线性目标函数：目标函数为，的一次解析式线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解7.几个重要不等式（1）（2）（当仅当a=b时取等号）（3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）极值定理：若则：如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； 如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最

3、大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. （当仅当a=b=c时取等号）（当仅当a=b时取等号）（7）4.几个著名不等式 （1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）即：平方平均算术平均几何平均调和平均（a、b为正数）：特别地，（当a = b时，）幂平均不等式：注：例如：.【要点解读】要点三 线性区域问题【例3】设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+2y的最大值为（A）12 （B）10 （C）8 （D）2【命题立意】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题【标准解析】做出可行域，如图由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时

4、z取得最大值10.【误区警示】【答案】B【变式训练】设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于( )A B4 C D2【标准解析】由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为，所以选B。【技巧点拨】作图要求准确，这样就可以借助于图像得到结果。【答案】B要点四 基本不等式的运用【例4】已知x0，y0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是A. 3 B. 4 C. D. 【命题立意】考察均值不等式的运用【标准解析】先根据

5、已知表达式，把所求的化为关于变量的不等式【误区警示】【答案】C，整理得 即，又，【变式训练】设，则的最小值是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4w_w w. k#s5_u.c o*m【标准解析】【原创题探讨】【原创精典1】（2010上海文）15.满足线性约束条件的目标函数的最大值是 （ ）（A）1. （B）. （C）2. （D）3.【答案】 C【解析】：当直线过点B(1,1)时，z最大值为2【原创精典2】（2010浙江理）（7）若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数（A） （B） （C）1 （D）2【答案】 C【解析】：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选

6、C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题【原创精典3】（2010重庆理数）已知x0，y0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是A. 3 B. 4 C. D. 【答案】 B【解析】：考察均值不等式，整理得 即，又，【原创精典4】（2010四川理）设，则的最小值是（A）2 （B）4 （C） （D）5新动向前瞻【样题1】若对任意，恒成立，则的取值范围是_【答案】【解析】因为，所以（当且仅当时取等号），所以有，即的最大值为，故。【样题2】已知,则函数的最小值为_【答案】-2【解析】，当且仅当时，.【样题4】设x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是( )（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8【答案】：C【解析】：不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是，目标函数在取最大值6。- 7 - 版权所有高考资源网