2021届浙江省高考数学一轮学案：第六章第4节　复　数 WORD版含解析.doc

1、第4节复数考试要求1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.知 识 梳 理1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如abi(aR，bR)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b若b0，则abi为实数；若a0且b0，则abi为纯虚数复数相等abicdiac且bd(a，b，c，dR)共轭复数abi与cdi共轭ac且bd(a，b，c，dR)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的

2、点都表示虚数复数的模设对应的复数为zabi(a，bR)，则向量的长度叫做复数zabi的模|z|abi|2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR).(2)复数zabi(a，bR)平面向量.3.复数的运算设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：(cdi0).常用结论与易

3、错提醒1.(1i)22i；i；i.2.baii(abi).3.i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN).4.i4ni4n1i4n2i4n30(nN).诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()(3)原点是实轴与虚轴的交点.()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()解析(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小.答案(1)(2)(3)(4)2.(2019全国卷)设zi(2i)，则()A.12i B.12iC.12i D.12i解析zi(

4、2i)12i，12i.故选D.答案D3.(2019全国卷)设z，则|z|()A.2 B. C. D.1解析z，|z|.故选C.答案C4.(选修22P112A2改编)在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A.48i B.82iC.24i D.4i解析A(6，5)，B(2，3)，线段AB的中点C(2，4)，则点C对应的复数为z24i.答案C5.(2019江苏卷)已知复数(a2i)(1i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是_.解析(a2i)(1i)a2(a2)i，因为其实部为0，故a2.答案26.设aR，若复数(i为虚数单位)的实部

5、和虚部相等，则a_，|_.解析复数，由于复数(i为虚数单位)的实部和虚部相等，则a11a，解得a0，则zi，i，则|.答案0考点一复数的有关概念【例1】 (1)已知i为虚数单位，则i607的共轭复数为()A.i B.i C.1 D.1(2)(2020北京通州区三模)设复数abi(a，bR)，则ab()A.0 B.1 C.2 D.1解析(1)因为i607(i2)303ii，i的共轭复数为i.所以应选A.(2)因为1i，又abi(a，bR)，所以a1，b1，因此ab0.答案(1)A(2)A规律方法(1)复数的分类、复数相等及复数对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数

6、化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部.【训练1】 (1)(2020杭州质检)设复数z满足z(12i)2i(其中i是虚数单位)，则|z|()A. B. C. D.1(2)(2019温州适应性测试)若复数z满足2z3i，其中i为虚数单位，是z的共轭复数，则z_，|z|_.解析(1)由题意得zi，则|z|1，故选D.(2)设zabi(a，bR)，则abi(a，bR)，2z2(abi)abi3abi3i，则ab1，所以z1i，|z|.答案(1)D(2)1i考点二复数的几何意义【例2】 (1)在复平面内，复数z

7、1i对应的向量为，复数z2对应的向量为，那么向量对应的复数为()A.1i B.1i C.1i D.1i(2)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A.(，1) B.(，1)C.(1，) D.(1，)解析(1)因为z22i，而，故向量对应的复数为2i(1i)1i，故选D.(2)(1i)(ai)a1(1a)i的对应点在第二象限，则a1，故选B.答案(1)D(2)B规律方法因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.【训练2】 (1)(2019全国卷)设z32i，则在

8、复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)(2019全国卷)设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A.(x1)2y21 B.(x1)2y21C.x2(y1)21 D.x2(y1)21解析(1)32i，故对应的点(3，2)位于第三象限.(2)由已知条件，可得zxyi(x，yR).|zi|1，|xyii|1，x2(y1)21.故选C.答案(1)C(2)C考点三复数的运算【例3】 (1)(2019北京卷)已知复数z2i，则z()A. B. C.3 D.5(2)(2019全国卷)若z(1i)2i，则z()A.1i B.1i C.1i D

9、.1i解析(1)z2i，2i，z(2i)(2i)5.故选D.(2)由z(1i)2i，得zi(1i)1i.故选D.答案(1)D(2)D规律方法(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.(2)记住以下结论，可提高运算速度：(1i)22i；i；i；bai；i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN).【训练3】 (1)(2019绍兴适应性考试)已知i为虚数单位，则()A.1 B.1 C.1i D.1i(2)_.解析(1)1，故选B.(2)原式i61i.答案(1)B(2)1i基础巩固题组一、选择题1.(2019嘉兴测

10、试)已知复数z112i，z22i(i是虚数单位)，则z1z2()A.3i B.43iC.43i D.43i解析z1z2(12i)(2i)43i，故选C.答案C2.下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1i)2 B.i2(1i)C.(1i)2 D.i(1i)解析由(1i)22i为纯虚数知选C.答案C3.已知i是虚数单位，若abi(2i)2(a，bR)，则()A.a3，b4 B.a4，b4C.a2，b1 D.a2，b2解析由题得abi34i，则a3，b4，故选A.答案A4.(2020台州期末评估)设复数z满足iz2i，其中i为虚数单位，则复数z对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三

11、象限 D.第四象限解析由iz2i，得z12i，复数z对应的点的坐标为(1，2)，位于第四象限，故选D.答案D5.已知aR，i是虚数单位.若zai，z4，则a()A.1或1 B.或C. D.解析由已知得(ai)(ai)4，a234，解得a1.答案A6.(2019宁波模拟)已知复数z满足z(1i)1i(i为虚数单位)，则z的虚部为()A.i B.i C.1 D.1解析由复数的运算得zi，故z的虚部为1，故选D.答案D7.(2020杭州学军中学模拟)i为虚数单位，若复数(1mi)(1i)是纯虚数，则实数m()A.1 B.0 C.1 D.0或1解析因为复数(1mi)(1i)1m(1m)i是纯虚数，所以

12、解得m1，故选C.答案C8.若复数za在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是()A.4 B.3 C.1 D.2解析因为za(3a)ai在复平面上对应的点在第二象限，所以a0，可得z1z2R；但z1z2R，可以有z2k1，z1，z2不互为共轭复数，故选B.答案B11.设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|()A.1 B. C. D.2解析由(1i)x1yi，得xxi1yi所以|xyi|，故选B.答案B12.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A.若|z1z2|0，则12B.若z12，则1z2C.若|z1|z2|，则z11z22D.若|z1|z2|，则zz解析A中，|z

13、1z2|0，则z1z2，故12，成立.B中，z12，则1z2成立.C中，|z1|z2|，则|z1|2|z2|2，即z11z22，C正确.D不一定成立，如z11i，z22，则|z1|2|z2|，但z22i，z4，zz.答案D二、填空题13.(2019浙江卷)复数z(i为虚数单位)，则|z|_.解析zi，易得|z|.答案14.(2020上海静安区质检)若复数(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a_.解析，且复数是纯虚数，0且0，即a4.答案415.(2017浙江卷)已知a，bR，(abi)234i(i是虚数单位)，则a2b2_，ab_.解析由已知(abi)234i.即a2b22abi34i.从而有解得

14、则a2b25，ab2.答案5216.(2020金华十校期末调研)已知复数z的共轭复数，则复数z的虚部是_，|z|_.解析由i，得zi，则复数z的虚部是，|z|.答案能力提升题组17.(一题多解)设z是复数，|zi|2(i是虚数单位)，则|z|的最大值是()A.1 B.2 C.3 D.4解析法一|zi|2表示复数z在复平面上的对应的点在以(0，1)为圆心，2为半径的圆内(含边界)，而|z|表示此圆内(含边界)的点到原点的距离，其最大值为123.法二因为2|zi|z|i|z|1，即|z|3.答案C18.已知复数z(cos isin )(1i)，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是()A. B.

15、C. D.解析因为z(cos sin )(cos sin )i，所以当时，zi为纯虚数，当z为纯虚数时，k(kZ).故选C.答案C19.若1i(i是虚数单位)是关于x的方程x22pxq0(p，qR)的一个解，则pq()A.3 B.1 C.1 D.3解析依题意得(1i)22p(1i)q(2pq)2(p1)i0，即解得p1，q2，所以pq1，故选C.答案C20.(2020七彩阳光联盟三联)复数z满足|zi|z3i|，则|z|()A.最小值为1，无最大值 B.最大值为1，无最小值C.恒等于1 D.无最大值，也无最小值解析设zxyi(x，yR)，因为|zi|z3i|，所以x2(y1)2x2(y3)2，

16、解得y1，所以复数z在复平面内对应的点在直线y1上运动，|z|可以理解为直线y1上的点到坐标原点的距离，所以当zi时，距离最短，|z|min1，无最大值，故选A.答案A21.(2020七彩阳光联盟三联)欧拉公式eixcos xisin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，若复数zei，则z的实部为_，z2_.解析由题可得zeicos isin i，所以该复数的实部为；z2(1i)2(2i)i.答案i22.已知复数zxyi，且|z2|，则的最大值为_；最小值为_.解析|z2|，(x2)2y23.由图可知，.答案