广东省潮州市2015届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题 WORD版含解析.doc

1、第卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则集合（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：集合， .考点：集合的并集补集运算.2.复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）A B C D【答案】B【解析】考点：复数的乘法运算、复数与复平面的点的对应关系.3.若向量，则以下向量中与垂直的是（ ）A B C D【答案】A【解析】考点：向量垂直的充要条件.4.已知函数（，）的部分图象如图所示，则（ ）A B C D【答案】D【解析】考点：由图象确定函数解析式.5.设，则（ ）A B C D【答案】B【解析

2、】考点：利用函数的性质比较大小.6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A B C D【答案】D【解析】考点：三视图.7.已知数列为等比数列，且，则的值为（ ）A B C D【答案】A【解析】考点：积分的运算、等比中项.8.若函数（）满足，且时，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：分别作出函数与的图象，由图象可知函数在区间内的零点的个数为8个.考点：函数图象、函数零点.第卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.若不等式恒成立，则实数的取值范围为 【答案】【解析】考点：绝对值的几何意义.10.曲

3、线在点处的切线方程为 【答案】【解析】考点：利用导数求函数的切线.11.已知抛物线（）的准线与圆相切，则的值为 【答案】2【解析】考点：抛物线与圆的位置关系.12.已知变量，满足约束条件，则的最大值是 【答案】9【解析】试题分析：画出满足条件的可行域如图，向上平移直线，经过点时取得最大值为9.考点：线性规划.13.二项式的展开式中常数项为，则的值为 【答案】2【解析】考点：二项式定理.14.现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张从中任取张，要求这张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张不同取法的种数为 【答案】472【解析】考点：排列组合.三、解答题 （本大题共6小题，共80分.

4、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分12分）已知函数，求的值；若，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】代入到和中，利用倍角公式求值，最后将用两角差的余弦公式展开，将和代入即可.试题解析：（1）由已知得4分（2）因为，又，故，即 6分考点：诱导公式、平方关系、倍角公式、两角和与差的余弦公式.16.（本小题满分13分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况从全体学生中，随机抽取名进行体制健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体制健康标准，成绩不低于的为优良将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选人进行体制健康测试，求至少有人成

5、绩是“优良”的概率；从抽取的人中随机选取人，记表示成绩“优良”的学生人数，求的分布列及期望【答案】（1）；（2）分布列详见解析，.【解析】优良的概率；第二问，先分析出的4种情况，再利用超几何分布的计算公式分别计算，列出分布列，用计算出数学期望.答：至少有1人成绩是“优良”的概率为6分（2）由题意可得，的可能取值为0，1，2，37分，11分考点：茎叶图、超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）如图，三棱柱中，证明：；若，求二面角的余弦值【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】平面，最后利用线面垂直的性质得；第二问，在等边三角形中，先解出边CO和的长，再利用分析

6、出是直角三角形，得到线段的两两垂直关系，从而建立空间直角坐标系，得到平面和平面ACB的法向量，再利用夹角公式计算二面角的余弦值.为等边三角形，.3分又因为平面，平面，平面5分又平面，因此6分在等边中 在中是直角三角形，且，故8分、平面，平面. 又平面，故、平面， ，故平面在中，所以二面角的余弦值13分分别以，为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，由已知得，.设为平面的法向量，则，又，.取，则，故11分又是平面的法向量，二面角的大小等于或其补角考点：线线垂直、线面垂直、二面角.18.（本小题满分14分）已知数列为等差数列，为其前项和，且（）求，；若，（）是等比数列的前三项，设，求【答案】（1），；

7、（2）.【解析】从而得到公差d，即代入到和的公式中即可得到；第二问，先利用等比中项解出k的值，而，得到数列的第一项和公比，从而得到的通项公式，代入中，利用错位相减法求，计算过程中利用求和.试题解析：（1） ，又，故；又，故，得；等差数列的公差.3分所以, .5分等比数列的公比为，首项为所以.9分12分.14分考点：等差数列等比数列的通项公式、等差数列等比数列的前n项和公式、错位相减法.19.（本小题满分14分）已知椭圆（）经过点，离心率为，动点（）求椭圆的标准方程；求以（为坐标原点）为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，证明线段的长为定值，并

8、求出这个定值【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】从而先设出圆的方程，利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，再构造三角形解出t，即得到了圆的方程；第三问，可以利用直线的参数方程，利用两点间距离公式证明等于定值，也可以利用向量法证明.由解得，所以椭圆的方程为4分（2）以OM为直径的圆的圆心为，半径，故圆的方程为5分因为以为直径的圆被直线截得的弦长为，所以圆心到直线的距离7分所以，即，故，或，（3）方法一：过点作的垂线，垂足设为直线的方程为，直线的方程为由，解得，故11分；12分又.所以线段的长为定值14分为定值14分考点：椭圆的标准方程、圆的标准方程、点到直线的距离、参数方程、向量垂直的

9、充要条件.20.（本小题满分14分）已知函数，（）若，求函数的极值；设函数，求函数的单调区间；若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围【答案】（1）当时，函数取得极小值1；（2）当时，的递减区间为；递增区间为，当时，只有递增区间为；（3）.【解析】义域范围内，解不等式，得到函数的单调区间，从而得到函数的极值；第二问，先求出表达式，对求导，需讨论的根与0的大小，分情况讨论；第三问，将在（）上存在一点，使得成立转化为，构造函数，结合第二问的结论，讨论求的最小值.当时，单调递减；当时，单调递增；所以当时，函数取得极小值，极小值为；4分（2），其定义域为又5分当，即时，在上，所以，函数在上单调递增.6分当，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增；7分综上所述：当时，的递减区间为；递增区间为 当时，只有递增区间为8分故在上的最小值为，由，可得因为所以； 10分当，即时，由（2）可知可得在上最小值为 实数的取值范围为14分考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调区间、利用导数求函数的极值和最值.