山东省济南大学城实验高级中学2021届高三数学下学期2月份模拟考试试题.doc

1、山东省济南大学城实验高级中学2021届高三数学下学期2月份模拟考试试题考试范围：高考范围；考试时间：120分钟注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求） 1已知集合，则（ ）ABCD2已知复数（其中为虚数单位），则的值为（ ）A1BC2D3下列命题中错误的是（ ）A命题“若，则”的逆否命题是真命题B命题“”的否定是“”C若为真命题，则为真命题D已知，则“”是“”的必要不充分条件4甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站

2、2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（ ）A90B120C210D2165已知向量，若，则与的夹角为（ ）ABCD6算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层灯的盏数是（ ）A24B48C12D607点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，若函数的图象恒过定点，则的最小值为（ ）ABC3D8已知定义在上的函数是奇函数，当时，则不等式的解集为（ ）A B C D二、多选题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.

3、全部选对得 5 分，有选错的得 0 分， 部分选对得 3 分） 9某大型电子商务平台每年都会举行“双11”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2011年到2019年共9年“双11”当天的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y看成以年份序号x（2011年作为第1年）的函数.运用excel软件，分别选择回归直线和三次多项式回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法错误的是（ ）A销售额y与年份序号x呈正相关关系B根据三次多项式函数可以预测2020年“双11”当天的销售额约为8454亿元C销售额y与年份序号x线性相关不显著D三次多项式回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果10已知函数在区间上至少

4、存在两个不同的满足，且在区间上具有单调性，点和直线分别为图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）A在区间上的单调性无法判断B图象的一个对称中心为C在区间上的最大值与最小值的和为D将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位得到的图象，则11如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为，的中点，则（ ）A直线与直线垂直 B直线与平面平行C点C与点G到平面的距离相等 D平面截正方体所得的截面面积为12甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；

5、再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（ ）ABC事件与事件不相互独立D，是两两互斥的事件第II卷（非选择题）三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知角，的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边经过点，且，则_.14甲乙两人在我校举行的“传承红色经典，纪念抗美援朝70周年”演讲比赛中，6位评委的评分情况如下方茎叶图所示，其中甲的成绩的中位数是82，乙的成绩的平均数是84，若正实数a，b满足：x，y成等差数列，则的最小值为_.15定义函数，则函数在区间内的所有的零点之和为_.16设是椭圆的两个焦点，为椭圆上任

6、意一点，当 取最大值时的余弦值为则（）椭圆的离心率为_；（）若椭圆上存在一点，使(为坐标原点)，且，则的值为_五、解答题17在锐角中，内角，所对的边分别为，且直线为函数图象的一条对称轴.（1）求；（2）若，求面积的最大值.18已知等比数列的公比为q.（1）试问数列一定是等比数列吗？说明你的理由；（2）在，这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中并解答.问题：若，求的通项公式及数列的前n项和.注：如果选择多种情况解答，则按第一种情况计分.19如图，四棱柱中，底面为矩形，平面，分别是，的中点，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20教育是阻断贫困代际传递的根本之策.补齐贫困地区义

7、务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在.治贫先治愚扶贫先扶智.为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，郑州市教育局拟从名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动.支教活动共分批次进行，每次支教需要同时派送名教师，且每次派送人员均从人中随机抽选.已知这名优秀教师中，人有支教经验，人没有支教经验.（1）求名优秀教师中的“甲”，在这批次活动中有且只有一次被抽选到的概率（2）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人请说明理由；（3）现在需要名支教教师完成某项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位教师一定时间内不能完成教学任

8、务，则再派另一位教师.若有两个教师可派，他们各自完成任务的概率分别为，假设，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.若按某种指定顺序派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，试分析以怎样的顺序派出教师，可使所需派出教师的人员数目的数学期望达到最小.21在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为6，且经过点，为左顶点，为下顶点，椭圆上的点在第一象限，交轴于点，交轴于点.（1）求椭圆的标准方程（2）若，求线段的长（3）试问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由22已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围2020-2021学年度济南

9、大学城实验高级中学2月份模拟考试参考答案1C【分析】先求得集合，由此求得两个集合的交集.【详解】由题意得，故.故选：C【点睛】本题考查一元二次不等式的解法及集合的交集运算易忽略集合中是自然数2D【分析】解法一:对进行化简,然后计算.解法二:利用复数模的性质,若,则【详解】解法一:解法二: 【点睛】本题考查复数模的求法,复数模的性质,属于简单题.3C【分析】对于A，根据逆否命题的等价性进行判断；对于B，根据含有量词的命题的否定进行判断；对于C，根据复合命题的真假关系 进行判断；对于D，利用必要不充分条件进行判断.【详解】对于A，若x=y，则sinx=siny，显然原命题正确，则逆否命题也为真命题

10、故A正确；对于B，命题“”的否定是“”，故B正确；对于C，若为真命题，则至少有一个是真命题，故不一定为真命题，故C错误；对于D，充分性：当时，显然不成立，即充分性不具备；必要性：因为，根据幂函数的单调性，显然，即必要性具备，故D正确.故选C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题的真假关系，含有量词的命题的否定，充要条件以及幂函数的性质，比较基础4C【分析】根据题意：分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上；第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，算出每类的站法数，然后再利用分类计数原理求解.【详解】因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，

11、所以分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上，共有：种站法；第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，共有：种站法；所以每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是.故选：C【点睛】本题主要考查排列组合的应用以及分类计数原理的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.5B【分析】由可得出的值，求出的坐标，根据向量夹角公式即可得结果.【详解】，设与的夹角为，解得，由于，可得，故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，考查向量夹角余弦值的求法，属于基础题.6A【解析】由题意可知宝塔从上至下每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设等比数列的首

12、项为，则有，解得该塔中间一层（即第4层）的灯盏数为选A7A【分析】计算，则，计算得到答案.【详解】函数的图象恒过定点，故.，即，焦点为，准线为，即.，当共线时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了对数函数过定点问题，抛物线的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.8D【分析】本题首先可根据题意得出函数的图像关于点中心对称且，然后根据基本不等式得出，则函数在上单调递增，最后将不等式转化为或，通过计算即可得出结果.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以函数的图像关于点中心对称，且，当时，则，当且仅当时取等号，故，函数在上单调递增，因为函数的图像关于点中心对称，所以函数在上单调递增，不等式可化为

13、或，即，解得，即，解得，故不等式的解集为，故选：D.【点睛】关键点点睛：若函数是偶函数，则函数的图像关于直线对称；若函数是奇函数，则函数的图像关于点中心对称，考查通过基本不等式求最值，考查根据导函数判断函数单调性，是难题.9BC【分析】采用验证法，通过散点图，根据相关系数以及图形的增长情况，简单判断即可.【详解】对于A，散点从左下到右上分布，所以销售额y与年份序号x呈正相关关系，故A正确，不符合题意；对于B，令，由三次多项式函数得，所以2020年“双11”当天的销售额约为2684.54亿元，故B错误，符合题意；对于C，因为相关系数，非常接近1，故销售额y与年份序号x线性相关显著，故C错误，符合

14、题意；对于D，用三次多项式回归曲线拟合的相关指数，而回归直线拟合的相关指数，相关指数越大，拟合效果越好，故D正确，不符合题意.故选：BC.【点睛】本题考查散点图的应用以及相关系数的应用，熟记概念，考查观察能力，属于基础题.10BC【分析】根据条件求出，然后利用正弦型函数的图象及其性质逐一判断即可.【详解】由题意得，即，又在区间上至少存在两个最大值或最小值，且在区间上具有单调性，所以，所以所以只有时满足，此时，即，因为，所以，所以在区间上单调递减，故A错误；由，所以为图象的一个对称中心，故B正确；因为，所以，所以最大值与最小值之和为，故C正确；将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，

15、再向左平移个单位，得到的图象，即，故D错误.综上，BC正确故选：BC【点睛】关键点睛：解答本题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质，细心计算即可得解.11BD【分析】取中点M，通过与不垂直可判断选项A；取中点N，连接，通过平面平面可判断选项B；利用反证法可判断选项C；根据平面性质得出截面图形，计算出面积可判断选项D.【详解】对于A，取中点M，则为在平面上的射影，与不垂直，与不垂直，故A错；对于B，取中点N，连接，在正方体中，平面，平面，所以平面，同理可证平面， ，所以平面平面，平面，所以平面，故B正确；对于C，假设C与G到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于H，而H不是中点

16、，则假设不成立，故C错；对于D，在正方体中，把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积，故D正确.故选：BD.【点睛】本题考查空间中的位置关系的判断，考查平面的性质，属于中档题.12BCD【分析】根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念，逐一分析四个选项的真假，可得答案【详解】解：甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以、和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，对A，故A错误；对B，故B正确；对C，当发生时，当不发生时，事件与事件不相互独立，故C正确；对D，不可

17、能同时发生，故是两两互斥的事件，故D正确；故选：BCD【点睛】本题考查概率的基本概念及条件概率，互斥事件概率加法公式，考查运算求解能力.13【分析】根据角的终边经过点，求得，确定的范围，再根据的范围求得的范围，再由求解.【详解】因为角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，所以，又，所以，因为，所以，因为，所以，所以，.故答案为：【点睛】关键点点睛：一是活用定义，即会利用任意角的三角函数的定义求出三角函数值；二是判断范围，即会判断角的取值范围，注意估值法在解题中的应用；三是会“凑角”，即会根据所求角的特征与已知角的特征，合理“凑角”.14【分析】由中位数和平均数的定义求和，根据等

18、差数列的定义，得到，再利用“1”的变形，利用基本不等式求最值.【详解】由茎叶图可知：，.正实数a，b满足：x，a，b，y成等差数列；.当且仅当，时等号成立.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键是“1”的妙用，将变形为，最后利用基本不等式求最值.15【分析】函数f（x）是分段函数，要分区间进行讨论，当1x2，f（x）是二次函数，当x2时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后利用等比数列求和即可【详解】当1x时，f（x）12x12，所以，此时当x时，g（x）max0；当x2时，f（x）2412x，所以0；由此可得1x2时，g（x）max0下面考虑2n1x2n且n2时，g（x）的最大值的情况

19、当2n1x32n2且n2时，由函数f（x）的定义知f（x）f（）f（），因为1，所以，此时当x32n2时，g（x）max0；当32n2x2n时，同理可知，0由此可得2n1x2n且n2时，g（x）max0综上可得：对于一切的nN*，函数g（x）在区间(2n1，2n上有1个零点，从而g（x）在区间1，2n上有n个零点，且这些零点为xn32n2，因此，所有这些零点成等比数列，所有零点的和为故答案为：【点睛】解决本题的关键是先求得1x2时，g（x）max，再利用伸缩且平移的特点考虑2n1x2n且n2时，g（x）的最大值的情况.16 或 【分析】（）利用基本不等式知点位于短轴端点时，的余弦值最大，计算得

20、，进而求出离心率；（）取中点，由已知得，可得，利用中位线性质可得，可得焦点为直角三角形，再由椭圆定义及勾股定理结合椭圆离心率，即可求出，进而求得【详解】设分别为椭圆的长轴长，虚轴长，（）在中，,，当且仅当时，等号成立，即当点位于短轴端点时，的余弦值最大，即，则离心率（）取中点，由，即，可得，利用中位线性质可得，设，则解得，或，或故答案为：；或【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出；构造的齐次式，求出；采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；根据圆锥曲线的统一定义求解17（1）；（2）.【分析】（

21、1）根据降幂公式和辅助角公式，将函数的解析式进行化简、变形，然后再求出对称轴，确定的值.（2）根据的值，再结合余弦定理，找到的关系式，再根据不等式确定的最大值，然后可根据求出面积的最大值.【详解】（1），直线为函数图像的一条对称轴，()，即()，又，当时，.（2），由余弦定理得，即，当且仅当b=c=4时等号成立，故面积的最大值为.【点睛】本题的关键点为：通过降幂公式和辅助角公式，将函数变形为的形式，即可求出对称轴.三角形的面积公式18（1）不一定，时，不是等比数列；（2）答案见解析【分析】（1）时，从而确定数列是否为等比数列；（2）选，由得，求得后可得通项公式，然后用分组求和法求得，对分偶数和

22、奇数分别求和化简选，由得，由得，然后求得后得通项公式，然后用分组求和法求得，对分偶数和奇数分别求和化简选，由得，从而得，从而可得，然后用分组求和法求得，对分偶数和奇数分别求和化简【详解】（1）数列不一定是等比数列，理由如下：时，不是等比数列，时，是等比数列，故数列不一定是等比数列；（2）选，由，得，为偶数时，为奇数时，选，由，得，又，当为偶数时，当为奇数时，；选，由，得，又，为偶数时，为奇数时，【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的判断，考查求等比数列的通项公式和分组求和法求和涉及到，因此求和时按的奇数和偶数分类讨论，偶数时正好相邻两项合并求和数列求和的几种方法一定要掌握：公式法、错位相减法、

23、裂项相消法、分组（并项）求和法，倒序相加法19（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形是平行四边形得出即可证明；（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，利用向量关系即可求出.【详解】解：（1）证明：取的中点，连接，.因为是的中点，所以，.因为是的中点，所以，.所以，.所以四边形是平行四边形.所以.因为平面，平面，所以平面.（2）因为底面为矩形，平面，所以，.以点为坐标原点，分别以直线，为，轴建立空间直角坐标系.因为，所以，.所以，.设平面的法向量为，所以，即，令，则.所以.所以.所以直线与平面所成角的正弦值.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键

24、在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20（1）；（2）第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是人，理由见解析；（3）按照先后的顺序所需人数期望最小.【分析】（1）在每轮抽取中，甲被抽中的概率为，则三次抽取中，“甲”恰有一次被抽取到的概率为（2）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有，分别求出各种情况的概率，从而得出答案.（3）设表示先后完成任务所需人员数目，求出的期望，设表示先后完成任务所需人员数目，求出的期望，从而得出结论.【详解】（1）名

25、优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到概率为，则三次抽取中，“甲”恰有一次被抽取到的概率为(2)第二次抽取到的没有支教经验的教师人数最有可能是人.设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有，则有:因为，故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是人.（3）按照先后的顺序所需人数期望最小.设表示先后完成任务所需人员数目，则设表示先后完成任务所需人员数目，则.故按照先后的顺序所需人数期望最小.【点睛】关键点睛：本题考查求概率和求离散型随机变量的数学期望，解答本题的关键是设表示先后完成任务所需人员数目，得出，设表示先后完成任务所需人员数目，则，相减得出大小，属于中档题.21（1）；（

26、2）；（3）是定值，6.【分析】（1）已知得，代入点的坐标求得后得椭圆方程；（2）由向量运算求得点坐标，写出直线方程，与椭圆方程联立方程组求得点坐标，可得线段长；（3）设直线方程为.得，点坐标，点坐标，计算四边形的面积即得【详解】（1）解：由题意得，解得.把点的坐标代入椭圆C的方程，得由于，解得所以所求的椭圆的标准方程为.（2）解：因为，则得，即，又因为，所以直线的方程为.由解得(舍去)或，即得所以即线段的长为（3）由题意知，直线的斜率存在，可设直线.令，得，由得，解得(舍去)或所以，即于是直线的方程为，即令，得，即，所以四边形的面积等于即四边形的面积为定值.【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆

27、标准方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方法：写出直线方程求出交点坐标，得出线段长度对定值问题，设出直线方程得出各交点坐标，计算出四边形面积即可得22（1）答案见解析；（2）【分析】（1）求出函数的导函数，分，讨论即可得出函数的单调性；（2）分离参数，借助导数，判定函数的单调性，求函数最值即可.【详解】解：（1）因为，所以当时，令，得在上单调递减；令，得，在上单调递增当时，令，得 在上单调递减；令，得或在和上单调递增当时，在时恒成立，在单调递增当时，令，得在上单调递减；令，得或在和上单调递增综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增（2）不等式，等价于时，设函数，则当时，此时单调递减；当时，此时单调递增，综上，的取值范围为【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.