2021新高考数学一轮复习（山东专用）学案：2-11-2 导数与函数的极值、最值 WORD版含解析.doc

1、第2课时导数与函数的极值、最值考点一函数的极值命题方向1根据函数图象判断函数极值【例1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)【解析】由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值【答案】D命题方向2已知函数求极值【例2】(1)若x2是函数f

2、(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A1 B2e3C5e3 D1(2)已知函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值【解析】(1)f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1x2(a2)xa1ex1.x2是f(x)的极值点，f(2)0，即(42a4a1)e30，得a1.f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1.由f(x)0，得x1；由f(x)0，得2x0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0，得exa，即xlna，当x(，lna)时，f(x)0，所以函数f(x)在(，lna)上单调递减，在(lna

3、，)上单调递增，故函数f(x)在xlna处取得极小值且极小值为f(lna)lna，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xlna处取得极小值lna，无极大值【答案】(1)A(2)见解析命题方向3已知函数的极值求参数【例3】设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x2处取得极小值，求a的取值范围【解】(1)因为f(x)ax2(4a1)x4a3ex，所以f(x)ax2(2a1)x2ex.所以f(1)(1a)e.由题设知f(1)0，即(1a)e0，解得a1.此时f(1)3e0.所以a

4、的值为1.(2)由(1)得f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若a，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值若a时，则当x(0,2)时，x20，ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是.方法技巧函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号.(2)根据函数极值情况求参数的两个要领列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.验证：求解后验证根的合理性.1(方向1)函数y

5、f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是(C)A(1,3)为函数yf(x)的单调递增区间B(3,5)为函数yf(x)的单调递减区间C函数yf(x)在x0处取得极大值D函数yf(x)在x5处取得极小值解析：由函数yf(x)的导函数的图象可知，当x1或3x5时，f(x)5或1x0，yf(x)单调递增所以函数yf(x)的单调递减区间为(，1)，(3,5)，单调递增区间为(1,3)，(5，)函数yf(x)在x1,5处取得极小值，在x3处取得极大值，故选项C错误，故选C.2(方向2)设函数f(x)x3xm的极大值为1，则函数f(x)的极小值为(A)A B1C. D1解析：f(x)x21，由f(

6、x)0得x11，x21.所以f(x)在区间(，1)上单调递增，在区间(1,1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，所以函数f(x)在x1处取得极大值，且f(1)1，即m，函数f(x)在x1处取得极小值，且f(1)131.故选A.3(方向3)若函数f(x)x2xalnx在1，)上有极值点，则实数a的取值范围为(，1解析：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x1，由题意知2x2xa0在R上有两个不同的实数解，且在1，)上有解，所以18a0，且2121a0，所以a(，1考点二函数的最值【例4】(1)函数f(x)，x0,4的最小值是()A0B. C.D.(2)(2019全国卷)已知函数f(x)

7、2x3ax2b.讨论f(x)的单调性；是否存在a，b，使得f(x)在区间0,1的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由【解析】(1)f(x)，当x0,1)时，f(x)0，f(x)是增函数；当x(1,4时，f(x)0，所以f(0)0最小(2)f(x)6x22ax2x(3xa)令f(x)0，得x0或x.若a0，则当x(，0)(，)时，f(x)0；当x(0，)时，f(x)0.故f(x)在(，0)，(，)单调递增，在(0，)单调递减；若a0，f(x)0，f(x)在(，)单调递增；若a0；当x(，0)时，f(x)0.故f(x)在(，)，(0，)单调递增，在(，0)单调递减

8、满足题设条件的a，b存在()当a0时，由(1)知，f(x)在0,1单调递增，所以f(x)在区间0,1的最小值为f(0)b，最大值为f(1)2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当b1,2ab1，即a0，b1.()当a3时，由(1)知，f(x)在0,1单调递减，所以f(x)在区间0,1的最大值为f(0)b，最小值为f(1)2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当2ab1，b1，即a4，b1.()当0a3时，由(1)知，f(x)在0,1的最小值为f()b，最大值为b或2ab.若b1，b1，则a3，与0a3矛盾若b1,2ab1，则a3或a3或a0，与0a3矛盾综上，当且仅当a0，b1或a4，b1时，f(

9、x)在0,1的最小值为1，最大值为1.【答案】(1)A(2)见解析方法技巧求函数f(x)在闭区间a，b内的最值的思路(1)若所给的闭区间a，b不含有参数，则只需对函数f(x)求导，并求f(x)0在区间a，b内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.(2)若所给的闭区间a，b含有参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.1已知函数f(x)2sinxsin2x，则f(x)的最小值是.解析：f(x)2cosx2cos2x2cosx2(2cos2x1)2(2cos2xco

10、sx1)2(2cosx1)(cosx1)cosx10，当cosx时，f(x)时，f(x)0，f(x)单调递增当cosx，f(x)有最小值又f(x)2sinxsin2x2sinx(1cosx)，当sinx时，f(x)有最小值，即f(x)min2.2已知函数f(x)ax2(a2)xlnx.(1)当a1时，求yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)当a0时，若f(x)在区间1，e上的最小值为2，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)x23xlnx，f(x)2x3.因为f(1)0，f(1)2，所以曲线yf(x)在点(1，2)处的切线方程是y2.(2)函数f(x)ax2(a2)xlnx的定义域是(0，)当a0时，f(x)2ax(a2)，令f(x)0，得x或x.当01，即a1时，f(x)在1，e上单调递增，所以f(x)在1，e上的最小值是f(1)2；当1e时，f(x)在1，e上的最小值ff(1)2，不合题意；当e时，f(x)在1，e上单调递减，此时f(x)在1，e上的最小值f(e)f(1)2，不合题意综上，实数a的取值范围为1，)