（新教材）2020-2021学年高中苏教版数学必修2课件：9-2-3 向量的数量积 .ppt

1、9.2.3 向量的数量积必备知识自主学习1.向量的数量积(1)定义:导思1.向量数量积的定义是什么?2.投影、投影向量的定义分别是什么?3.向量数量积满足哪些性质和运算律?条件两个_向量a与b,它们的夹角是结论把数量_叫作向量a和b的数量积(或内积)记法记作ab,即ab=_规定零向量与任一向量的数量积为_非零|a|b|cos|a|b|cos 0(2)本质:数量积是两个向量之间的一种运算,其运算结果是一个数量,其大小与两个向量的长度及其夹角都有关,符号由夹角的余弦值的符号决定.(3)应用:求向量的夹角;研究向量的垂直问题;求向量的模.2.投影与投影向量(1)变换:变换图示设a,b是两个非零向量,

2、过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到(2)结论:称上述变换为向量a向向量b投影,_叫作向量a在向量b上的投影向量.(3)计算:设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为,则向量a在向量b上的投影向量为_.cose3.向量数量积的性质(1)条件:设a,b是非零向量,它们的夹角是,e是与b方向相同的单位向量.(2)性质:ae=ea=_.ab_.当a与b同向时,ab=_;当a与b反向时,ab=_.特别地,aa=_或_=.|ab|_.cosab=0|a|b|-|a|b|a|2|a|a|b|4.向量数量积的运算律(1)ab=_.(2)(a)b=(ab)=_.(3)(a+

3、b)c=_.baa(b)ac+bc【思考】(1)对于向量a,b,c,等式(ab)c=a(bc)一定成立吗?提示:不一定成立,因为若(ab)c0,其方向与c相同或相反,而a(bc)0时其方向与a相同或相反,而a与c方向不一定相同,故该等式不一定成立.(2)若ab=ac(a0),则b=c一定成立吗?提示:不一定成立.在向量数量积的运算中,若ab=ac(a0),则a(b-c)=0(a0),于是有b=c或a(b-c).因此,由ab=ac(a0)不一定能得到b=c.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)向量a,b的数量积也可记作ab或ab.()(2)对于向量a,b,若ab=0,则a=0

4、或b=0.()(3)若ab0,则a和b的夹角为锐角.()(4)向量a在b上的投影向量是一个模等于|acos|(是a与b的夹角),且与b共线的一个向量.()2.(教材二次开发:练习改编)若向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为30,则ab等于()A.B.C.2D.3【解析】选D.当a与b的夹角为30时,ab=|a|b|cos 30=32=3.3.已知e为一单位向量,a与e之间的夹角是120,而a在e方向上的投影向量的模为2,则|a|=_.【解析】因为|a|cos 120e|=2,所以|a|=2,所以|a|=4.答案:4关键能力合作学习类型一 向量数量积和投影向量(数学运算)【题组训

5、练】1.(2020昆明高一检测)在ABC中,A=60,则的值为()A.-1B.-C.D.12.已知等边ABC的边长为2,则向量在向量方向上的投影向量为()A.-B.C.2 D.2 3.已知向量a与b的夹角为120,且|a|=4,|b|=2,求:(1)ab;(2)(a+b)(a-2b).【解题策略】1.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及两个向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键.(2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.2.求投影向量的方法(1)依据投影的定义和平面几何知识作出恰当的垂线,直接得到投影向量.(2)

6、首先根据题意确定向量a的模,与b同向的单位向量e,及两向量a与b的夹角,然后依据公式cose计算.【补偿训练】1.若|a|=2,|b|=3,a与b的夹角=120,则a(a-b)=()A.1B.-1C.7D.-7【解析】选C.a(a-b)=a2-ab=4-23=7.2.已知|a|=3,|b|=5,且a与b的夹角为45,则向量a在向量b上的投影为_.【解析】由已知得向量a在向量b上的投影|a|cos=3=.答案:类型二 向量的模(数学运算)【典例】如图,在ABC中,E是AD的中点,设=a,=b.(1)试用a,b表示;(2)若|a|=1,|b|=1,且a与b的夹角为60,求.【解题策略】1.求向量的

7、模的依据和基本策略(1)依据:aa=a2=|a|2或|a|=,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.(2)基本策略:求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方.2.拓展公式(1)(ab)2=|a|22ab+|b|2.(2)(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2.【跟踪训练】1.(2020临沂高一检测)已知向量a,b满足|b|=5,|2a+b|=5,|a-b|=5,则|a|=_.【解析】由已知有将b2=|b|2=25代入方程组,解得|a|=.答案:2.已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为,求|a+b|,|a-b|.【解析】因为|a|=|b|=5,

8、夹角=,所以|a+b|2=a2+2ab+b2=52+255cos+52=75,|a-b|2=a2-2ab+b2=52-255cos+52=25,所以|a+b|=5,|a-b|=5.【拓展延伸】关于向量模的最值问题解答此类问题通常分以下两步(1)依据数量积及其运算性质,建立所求量关于某个变量的函数;(2)利用有关函数的图象和性质求最值.【拓展训练】已知与的夹角为60,若+=2,则的最小值为_.类型三 向量夹角与垂直问题(数学运算、逻辑推理)角度1 两向量夹角问题【典例】已知|a|=1,ab=,(a+b)(a-b)=.(1)求|b|的值;(2)求向量a-b与a+b夹角的余弦值.【思路导引】(1)利

9、用|a|2=a2,|b|2=b2和数量积的运算律求值;(2)根据数量积定义可得两个向量夹角余弦值的计算方法.【变式探究】本例的条件改为“|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为45”,试求a+b与a-b的夹角的余弦值.【解析】设a+b,a-b的夹角为,因为|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为45,所以ab=12cos 45=,所以 角度2 两向量垂直问题【典例】(2020嘉兴高一检测)已知向量a,b的夹角为,|a|=1,|b|=2.(1)求ab的值;(2)若2a-b和ta+b垂直,求实数t的值.【思路导引】(1)依据数量积的定义求值;(2)依据(2a-b)(ta+b)=0求t.【解题策略】

10、1.求向量夹角的基本步骤2.向量垂直问题的处理思路解决与垂直相关题目的依据是abab=0,利用数量积的运算代入,结合与向量的模、夹角相关的知识解题.【题组训练】1.(2020济宁高一检测)已知e1,e2是单位向量,若|e1-4e2|=,则e1与e2的夹角为()A.30B.60C.90D.1202.已知非零向量a,b满足2|a|=3|b|,|a-2b|=|a+b|,则a与b的夹角的余弦值为()A.B.C.D.3.已知ab,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与a-b垂直,则等于()A.B.-C.D.1【解析】选A.因为(3a+2b)(a-b)=3a2+(2-3)ab-2b2=3a2-2b2=12

11、-18=0.所以=.【补偿训练】已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)(a-b).1.已知向量a和b满足ab=-12,|a|=4,a和b的夹角为135,则|b|为()A.12B.3C.6D.3【解析】选C.因为ab=|a|b|cos 135=-2|b|=-12,所以|b|=6.课堂检测素养达标2.已知正方形ABCD的边长为2,则=()A.2B.3C.4D.33.已知向量a,b满足ab,|a|=1,|b|=1,则|a-2b|=_.【解析】因为ab,所以ab=0,所以|a-2b|2=a2-4ab+4b2=5,所以|a-2b|=.答案:4.已知向量a,b满足(a+2b)(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为_.【解析】设a与b的夹角为,依题意有(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2=-7+2cos=-6,所以cos=,因为0,故=.答案:5.(教材二次开发:练习改编)已知=3,e为单位向量,当向量a,e的夹角分别等于60,90,120时,求向量a在向量e上的投影向量.