（新教材）2020-2021高中数学人教B版选择性必修三课件： 5-2-2-1 等差数列的前N项和 .ppt

1、第1课时 等差数列的前n项和必备知识素养奠基 等差数列前n项和公式公式一适用条件Sn=_知首项、末项、项数公式二适用条件Sn=_知首项、公差、项数【思考】(1)对于公式二,若将Sn看成关于n的函数,试判断此函数是什么函数?其解析式具有什么特点?提示:公式二可变形为Sn=,当d0时可以看作不含常数项的关于n的一元二次式,反之,若一个数列的前n项和是不含常数项的一元二次式,则此数列是等差数列.(2)等差数列的前n项和公式中的意义是什么?提示:,即等差数列前n项的平均数.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)对于an=Sn-Sn-1成立的条件是nN+.()(2)等差数列前n项和公式

2、的推导方法我们称为“倒序相加法”.()(3)若数列an的前n项和为Sn,则a3+a4+a5=S5-S2.()(4)1+3+5+7+9=.()提示:(1).n1且nN+.(2).等差数列具有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=特征,可用倒序相加法.(3).由数列的前n项和的定义可知此说法正确.(4).1+3+5+7+9=.2.在数列an中,Sn=2n2-3n(nN+),则a4等于()A.11B.15C.17D.20【解析】选A.a4=S4-S3=242-34-(232-33)=11.3.设an是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列an的前8项和为()A.128B.80C.64D.56

3、【解析】选C.设数列an的前n项和为Sn,则S8=64.4.平均数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 019,则该数列的首项为_.【解析】设该数列的首项为x,由题意可得:1 010=,解得x=1.答案:1关键能力素养形成类型一 有关等差数列前n项和的计算【典例】1.设Sn是等差数列an的前n项和,若a1=-2 017,S6-2S3=18,则S2 019=()A.-2 017B.2 017C.2 018D.2 0192.在等差数列an中:(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;(2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.【思维引】1.根据等差数列前n项和

4、公式,解方程,求出公差,即可得到相应的值.2.根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组,解方程组,可得到相应的值.【解析】1.选D.设等差数列an的公差为d,因为a1=-2 017,S6-2S3=18,所以6a1+=18,化为:9d=18,解得d=2.则S2 019=2 019(-2 017)+2=2 019.2.(1)方法一:由已知条件得解得所以S10=10a1+d=103+4=210.方法二:由已知条件得所以a1+a10=42,所以S10=542=210.(2)S7=7a4=42,所以a4=6.所以Sn=510.所以n=20.【内化悟】解与等差数列前n项和有关的问题时,常用到哪些公式?

5、体现了什么数学思想方法的应用?提示:常用到等差数列的通项公式和前n项和公式,体现了方程思想的运用.【类题通】等差数列前n项和公式的运算方法与技巧类型“知三求二型”基本量a1,d,n,an,Sn方法运用等差数列的通项公式和前n项和公式建立方程(组),通过解方程(组)求出未知量思想方程的思想注意利用等差数列的性质简化计算;注意已知与未知条件的联系;有时运用整体代换的思想【习练破】1.(2020新高考全国卷)将数列2n-1与3n-2的公共项从小到大排列得到数列an,则an的前n项和为_.【解析】由题意知数列2n-1为1,3,5,7,9,11,13,3n-2为1,4,7,10,13,16,19,所以数

6、列为1,7,13,19,即an=1+6(n-1)=6n-5,所以数列的前n项和为=3n2-2n.答案:3n2-2n2.已知等差数列an中,(1)a1=,S4=20,求S6;(2)a1=,d=-,Sn=-15,求n及an;(3)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d.【解析】(1)S4=4a1+d=4a1+6d=2+6d=20,所以d=3.故S6=6a1+d=6a1+15d=3+15d=48.(2)因为Sn=n =-15,整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去),所以a12=-4.(3)由Sn=-1 022,解得n=4.又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+

7、(4-1)d,解得d=-171.【加练固】1.将含有k项的等差数列插入4和67之间,结果仍成一新的等差数列,并且新的等差数列所有项的和是781,则k的值为()A.20B.21C.22D.24【解析】选A.由数列前n项和公式可得:=781,解得k=20.2.已知等差数列an.(1)a1=,a15=-,Sn=-5,求d和n.(2)a1=4,S8=172,求a8和d.【解析】(1)因为a15=+(15-1)d=-,所以d=-.又Sn=na1+d=-5,解得n=15或n=-4(舍).(2)由已知,得S8=172,解得a8=39,又因为a8=4+(8-1)d=39,所以d=5.类型二 等差数列前n项和的

8、性质【典例】1.(2020扬州高二检测)已知数列an,bn都是等差数列,Sn,Tn分别是它们的前n项和,并且,则=()2.在项数为2n+1的等差数列an中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n等于()A.9B.10C.11D.123.已知等差数列an的前n项和为Sn,且S10=100,S100=10,试求S110.【思维引】1.用等差数列前n项和公式(含首项、末项、项数)和等差数列的性质求解.2.综合利用等差数列的性质及其前n项和公式推出与n的关系.3.方法一:依据S10,S20-S10,S30-S20,S100-S90,S110-S100成等差数列解答;方法二:依据数列是等差

9、数列解答;方法三:直接分析S110,S100,S10之间的关系.【解析】1.选C.数列an,bn都是等差数列,Sn,Tn分别是它们的前n项和,并且则2.选B.因为等差数列有2n+1项,所以S奇=,S偶=.又a1+a2n+1=a2+a2n,所以 ,所以n=10.3.方法一:因为S10,S20-S10,S30-S20,S100-S90,S110-S100成等差数列,设公差为d,前10项的和为:10100+d=10,所以d=-22,所以前11项的和S110=11100+d=11100+(-22)=-110.方法二:设等差数列an的公差为d,则(n-1)+a1,所以数列成等差数列.所以,即所以S110

10、=-110.方法三:设等差数列an的公差为d,S110=a1+a2+a10+a11+a12+a110=(a1+a2+a10)+(a1+10d)+(a2+10d)+(a100+10d)=S10+S100+10010d,又S100-10S10=d-d=10-10100,即100d=-22,所以S110=-110.【类题通】等差数列前n项和的性质(1)等差数列an中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也构成等差数列.(2)若an与bn均为等差数列,且前n项和分别为Sn与Sn,则(3)若等差数列an的前n项和为Sn,则数列是等差数列,且首项为a1,公差为.(4)项的个数的“奇偶”性质.an为等差数列,

11、公差为d.若共有2n项,则S2n=n(an+an+1);S偶-S奇=nd;若共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)an+1;S偶-S奇=-an+1;(5)等差数列an中,若Sn=m,Sm=n(mn),则Sm+n=-(m+n).(6)等差数列an中,若Sn=Sm(mn),则Sm+n=0.【习练破】1.等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和是()A.130B.170C.210D.260【解析】选C.因为Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,所以Sm+S3m-S2m=2(S2m-Sm),所以30+S3m-100=2(100-30),所以S3m=210.2.在等

12、差数列an中,a2+a4+a6=-3,a3+a5+a7=6,则an的前8项和为()A.3B.4C.5D.6【解析】选B.由a2+a4+a6=-3,a3+a5+a7=6,则3(a2+a7)=3,解得a2+a7=1,an的前8项和=4.【加练固】1.已知等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若对于任意的自然数n,都有,则=()【解析】选A.因为等差数列中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq;等差数列的前n项和为:Sn=.所以所以2.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于()A.63B.45C.36D.27【解析】选B.因为a7+a8+a9=S

13、9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列,所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即S9-S6=2S6-3S3=236-39=45.类型三 等差数列前n项和的最值【典例】1.设an是等差数列,Sn是其前n项和,且S5S8,则下列结论错误的是()A.dS5D.S6和S7均为Sn的最大值2.(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.【思维引】1.由已知条件分析a6,a7,a8的符号,求Sn的最大值,作差比较S9与S5的大小.2.(1)解方程组即可求出首项、公差,进而得

14、到an的通项公式;(2)可以把Sn看作关于n的二次函数从函数角度求最值;也可以分析等差数列的项从哪一项开始由负变正,推出Sn的最小值.【解析】1.选C.因为S5S8,所以a60,a7=0,a80,可得d0,S6和S7均为Sn的最大值,S9=9a5,S5=5a3.S9-S5=9(a1+4d)-5(a1+2d)=4a1+26d=4a7+2d0,所以S90,d0时,由不等式组可求得Sn取最大值时的n值.当a10时,由不等式组可求得Sn取最小值时的n值.(2)利用二次函数求Sn的最值.知道公差不为0的等差数列的前n项和Sn可以表示成Sn=an2+bn(a0)的形式,我们可将其变形为Sn=若a0,则当最

15、小时,Sn有最小值;若a0,a2+a2 018=0,则S2 019=_;当Sn取得最大值时,n=_.【解析】因为a2+a2 018=a1+a2 019=0,所以S2 019=0.因为a10,a1+a2 019=2a1+2 018d=0,所以a1+1 009d=0,所以a1 010=0,所以当Sn取得最大值时,n=1 009或1 010.答案:01 009或1 0102.在等差数列an中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.【解析】方法一:利用前n项和公式和二次函数的性质.由S17=S9,得2517+(17-1)d=259+(9-1)d,解得d=-2.所以Sn=25n+(n-1)(-2)=

16、-(n-13)2+169.所以由二次函数的性质,得当n=13时,Sn有最大值169.方法二:由方法一,得d=-2.因为a1=250,由得所以当n=13时,Sn有最大值,最大值为S13=1325+(-2)=169.方法三:由S17=S9,得a10+a11+a17=0,而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,故a13+a14=0.由方法一,得d=-20,所以a130,a140,S2 0170,则当n=_时,Sn最大.【解析】由等差数列的性质知,S2 017=2 017a1 0090,所以a1 0090,所以a1 008+a1 0090,而a1 0090.因此当n=1 00

17、8时,Sn最大.答案:1 0081.(2020南阳高二检测)设等差数列an的前n项和为Sn,若S2=4,S3=9,则S5的值是()A.15B.30C.13D.25【解析】选D.已知等差数列an中S2=4.S3=9,则a3=S3-S2=9-4=5,则S5=5a3=25.课堂检测素养达标2.已知数列an的前n项和公式是Sn=2n2+3n,则()A.是公差为2的等差数列B.是公差为3的等差数列C.是公差为4的等差数列D.不是等差数列【解析】选A.因为Sn=2n2+3n,所以=2n+3,当n2时,=2n+3-2(n-1)-3=2,故是公差为2的等差数列.3.已知等差数列an的前n项和为Sn,若a3=-

18、4,a7=4,则()A.S4S6B.S4=S5C.S60,则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是_.【解析】由|a5|=|a9|且d0得,a50且a5+a9=02a1+12d=0a1+6d=0,即a7=0,故S6=S7,且最小.答案:6或7【新情境新思维】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,记为数列an,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn,可以推测:b2019是数列an中的第_项.【解析】由前四组可以推知an=1+2+n=,从而b1=a4=10,b2=a5=15,b3=a9=45

19、,b4=a10=55,依次可知,当n=4,5,9,10,14,15,19,20,24,25,时,由此知可被5整除的三角形数每五个数中出现两个,即每五个数分为一组,则该组的后两个数可被5整除,由于b2019是第2019个可被5整除的数,故它出现在数列an按五个一段分组的第1 010组的第4个数字,由此知,b2 019是数列an中的第1 0095+4=5 049个数.答案:5 049课时素养评价五 等差数列的前n项和【基础练】(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.

20、10D.12【解析】选B.设等差数列an的公差为d,由3S3=S2+S4,得3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即3a1+2d=0.将a1=2代入上式,解得d=-3,故a5=a1+(5-1)d=2+4(-3)=-10.2.等差数列an的前n项和为Sn,S5=12,S10=48,则S15为()A.84B.108C.144D.156【解析】选B.由等差数列的性质知S5,S10-S5,S15-S10也构成等差数列,所以2(S10-S5)=S5+S15-S10,所以2(48-12)=12+S15-48,解得S15=108.【加练固】在等差数列an中,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a

21、19+a20的值为()A.9B.12C.16D.17【解析】选A.由等差数列的性质知S4,S8-S4,S12-S8,也构成等差数列,不妨设为bn,且b1=S4=1,b2=S8-S4=3,于是求得b3=5,b4=7,b5=9,即a17+a18+a19+a20=b5=9.3.(2020徐州高二检测)等差数列an的前n项和为Sn,若a14=-8,S9=-9,则S18=()A.-162 B.-1C.3D.-81【解析】选D.根据题意,等差数列an中,S9=9a5=-9,解可得a5=-1,又由a14=-8,则S18=-81.4.若等差数列an满足a5=11,a12=-3,an的前n项和Sn的最大值为M,

22、则lg M=()A.1B.2C.10D.100【解析】选B.设等差数列an的公差为d,则7d=a12-a5=-3-11=-14,故d=-2,所以an=a12+(n-12)d=-3-2(n-12)=21-2n,所以当1n10时,an0;当n11时,anS7S5,则下列结论中不正确的是()A.d0C.S120D.S13S7S5,则d0且a70,S13=S5,所以a6+a70,所以S120,故选项C错误.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020全国卷)记Sn为等差数列的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=_.【解析】设等差数列的公差为d.因为是等差数列,且a1=-2,a2+a6

23、=2,根据等差数列通项公式:an=a1+(n-1)d,可得a1+d+a1+5d=2,即-2+d+(-2)+5d=2,整理可得:6d=6,解得:d=1.根据等差数列前n项和公式:Sn=na1+d,nN+,可得:S10=10 =-20+45=25,所以S10=25.答案:256.(2020南京高二检测)已知等差数列an中,a3-2a4=-1,a3=0,则an的前10项和是_.【解析】设等差数列an的公差为d,因为a3-2a4=-1,a3=0,所以0-2(0+d)=-1,a1+2d=0,解得d=,a1=-1,则an的前10项和S10=-10+答案:三、解答题(每小题10分,共20分)7.等差数列an

24、中,已知a1+a2=5,S4=14.(1)求an的通项公式.(2)求an的前n项和Sn.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,则由a1+a2=5,S4=14得,解得a1=2,d=1,所以an=2+(n-1)=n+1.(2)由(1)可知,Sn=a1+a2+an=na1+8.已知数列an是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.(1)求an的通项an.(2)求an前n项和Sn的最大值及相应的n的值.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,因为a2=1,a5=-5,所以an=3-2(n-1)=5-2n.(2)由an0,解得n2.5,数列an的前2项和最大,且最大值为3+1=4.【能力练】(15分钟3

25、0分)1.(5分)在等差数列an中,前四项之和为20,最后四项之和为60,前n项之和是100,则项数n为()A.9B.10C.11D.12【解析】选B.因为a1+a2+a3+a4=20,an+an-1+an-2+an-3=60,又因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,所以+得4(a1+an)=80,所以a1+an=20.Sn=100.将代入中得n=10.2.(5分)(多选题)设等差数列an的前n项和为Sn,公差为d.已知a3=12,S120,a70B.-d-3C.Sn0,即S12=6(a6+a7)0,又a70,A正确;已知a3=12,且a60,a70,则有解可得-d-

26、3,B正确;根据题意,S13=13a70,故Sn0时,n的最小值为13,C正确;数列中,由上面分析可知d0;当n7时,an0;当n13时,Sn0;当7n12时,0,故数列中的最小项不是第六项,D错误.3.(5分)(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和,a10,a2=3a1,则=_.【解析】设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,故d=2a1(a10,d0),所以答案:4【加练固】设等差数列an的前n项和为Sn,且Sm=-2,Sm+1=0,Sm+2=3,则m=_.【解析】因为Sn是等差数列an的前n项和,所以数列是等差数列,所以解得m=4.答案:44.(5分)若

27、等差数列an的前n项和为Sn,且S10=4S5=100,则数列an的通项公式为_.【解析】设公差为d,由S10=4S5=100,可得解得a1=1,d=2,故an=2n-1(nN+).答案:an=2n-1(nN+)5.(10分)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a3=10,S6=72,bn=an-30.(1)求通项an.(2)求数列bn的前n项和Tn的最小值.【解析】(1)由a3=10,S6=72,得所以an=4n-2.(2)由(1)得bn=an-30=2n-31.因为nN+,所以n=15.所以bn的前15项为负值,所以T15最小,可知b1=-29,d=2,所以T15=-225.【培优练】1.

28、已知数列an是等差数列,且an0,若a1+a2+a100=500,则a50a51的最大值为_.【解析】a1+a2+a100=500=a50+a51=10.又an0.则a50a51=25,当且仅当a50=a51=5时取等号.答案:252.已知Sn是等差数列an的前n项和,S2=2,S3=-6.(1)求数列an的通项公式和前n项和Sn;(2)是否存在正整数n,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设数列an的公差为d,所以an=4-6(n-1)=10-6n,Sn=na1+d=7n-3n2.(2)由(1)知Sn+Sn+3=7n-3n2+7(n+3)-3(n+3)2=-6n2-4n-6,2(Sn+2+2n)=2(-3n2-5n+2+2n)=-6n2-6n+4,若存在正整数n使得Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列,则-6n2-4n-6=-6n2-6n+4,解得n=5,所以存在n=5,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列.本课结束