河北春晖中学2013-2014学年高中数学人教B版必修5学案 3.1 不等关系与不等式.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家第三章不等式3.1不等关系与不等式1不等式的基本性质对于任意的实数a，b，有以下事实：abab0；abab0；ababb0，m0，要比较与的大小，就可以采用以下方法：.m0，ab0，ba0，0，b，bcac.(2)ab，cdacbd.(3)ab，c0acbc.(4)ab，c0acb0，cd0acbd.(6)ab0，n为正实数anbn.双向性：(1)ab0ab；ab0ab；ab0abbbacbc.单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础(当然也可用于证明不等式)若把c0作为大前提，则abacbc，若把cbacbc.这两条性质也经常用于解不等式例如，下面这个

2、简单的一元一次不等式也需要在上述性质下才能完成解不等式：xx.解xx2x98x1 (不等式两边都乘以12，等式方向不改变)2x8x10 (不等式两边都加上9)10x1 (不等式两边都乘以，不等式方向改变！)3正分数的一个有趣性质在ab0，m0的条件下，我们可以利用比较法证明下列事实：1.由可知：一个正的真分数，分子、分母加上同一个正数，分数值将增大例如：.由.从函数的观点看：当ab0时，函数f(x)在xminf(n)f(n1)0，f(n)为增函数，故minf(2)，loga(a1)，由此可解得1a，所以满足本题的实数a存在，其取值范围是.误用不等式的性质而致错例已知：1ab2且2ab4，求4a

3、2b的范围由于1ab22ab4得32a6a3(1)得02b30b4(2)得34a2b12.上面的解法看上去似乎每一步都是合情合理的，但实际上答案是错误的那到底是为什么呢？我们先看不等式4a2b3什么时候取等号，由上述解题过程可知，当a且b时，才取等号，而此时ab0，不满足式，因此4a2b是不能等于3的同理可验证4a2b也不能等于12，出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来做变形，是非同解变形因此结论是错误的换元法令ab，abv，则24,1v2.由解得.4a2b4222vv3v.而24,33v6，则53v10.54a2b10.例设0x0，a

4、1，试比较|loga(1x)|和|loga(1x)|的大小解方法一首先判断对数式loga(1x)和loga(1x)的符号，以便去掉绝对值符号，然后作差比较解题过程必须注意对数函数的单调性0x1，01x1,11x1时，loga(1x)0P|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1x2)01x20.故P0，得|loga(1x)|loga(1x)|.(2)当0a0，loga(1x)0P|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1x2)01x20.即P0.故|loga(1x)|loga(1x)|综上所述，当a0，a1时，均有

5、|loga(1x)|loga(1x)|.方法二将两数平方去绝对值后作差比较，由于对数函数的底数取值范围对对数式正负取值有影响，故需分类讨论Plog(1x)log(1x)loga(1x2)loga由已知0x1，得01x21,01x1,11x2，01x1x，01时，loga(1x2)0，loga 0；(2)当0a0，loga 0，P0综合(1)、(2)知，当a0，a1时总有log(1x)log(1x)故|loga(1x)|loga(1x)|.方法三将两式用作商法进行比较，根据对数换底公式|log(1x)(1x)|0x1，01x1,11x2.01x21，1xlog(1x)(1x)1，|loga(1x)|loga(1x)|.1如果xy0，那么()Ayx1 Bxy1C1xy D1yx解析不等式转化为1yx.答案D2若0a1a2,0b1，最大的数应是a1b1a2b2.方法二作差法a1a21b1b2且0a1a2,0b1a1，b21b1b1，0a1，0b10，a1b1a2b2a1b2a2b1.(a1b1a2b2)2a1b1a1b1b1(2a11)(2a11)(2a11)20，a1b1a2b2.综上可知，最大的数应为a1b1a2b2.答案A- 5 - 版权所有高考资源网