2021版高考数学一轮复习核心素养测评六十五圆锥曲线与其他知识的交汇问题理北师大版.doc

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上传时间：2025-12-09

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资源描述：: 1、核心素养测评六十五圆锥曲线与其他知识的交汇问题1. 已知椭圆C:+=1(ab0)的一个焦点为F(1,0),点P在C上.(1)求椭圆C的方程.(2)若直线l:y=x+m与椭圆C相交于A,B两点,问y轴上是否存在点M,使得ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求点M的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)由题意可得c=1,点P在C上,所以+=1,又a2=b2+c2=b2+1,解得a2=4,b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)假设y轴上存在点M,使ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形,设A,B,线段AB的中点为N,由 ,消去y可得7x2+8mx+4m2-12=0,=64m2-2
2、8=480,解得m20)的左焦点F与抛物线C2:y2=-2px(p0)的焦点重合,M是C1与C2在第二象限内的交点,抛物线的准线与x轴交于点E,且|ME|=. (1)求椭圆C1及抛物线C2的方程.(2)过E作直线l交椭圆C1于A,B两点,则在椭圆的长轴上是否存在点N,使得为定值?若存在,求出点N的坐标及定值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由两曲线焦点重合,知=,由椭圆的对称性,知E为椭圆的右焦点,连接MF,由椭圆的定义知|MF|+|ME|=4,则|MF|=4-=.设M(xM,yM),过点M作准线的垂线,垂足为H,由抛物线的定义知|MF|=|MH|=,因而yM=,xM=-,代入+=1中,得
3、+=1,与=联立,得p=2,b2=3,所以椭圆的方程为+=1,抛物线的方程为y2=-4x.(2)由(1)知E(1,0),若直线l的斜率存在,设直线方程为y=k(x-1),由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,x1x2=.假设点N存在,其坐标为(m,0),其中-2m2,=(x1-m,y1)(x2-m,y2)=(x1-m)(x2-m)+k(x1-1)k(x2-1)=(1+k2)x1x2-(m+k2)(x1+x2)+m2+k2=(1+k2)-(m+k2)+m2+k2=.若为定值,则满足=,得m=,定值为-.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,不妨设其与椭圆+=1的交点为A1,B1,-,又N,0,则=-,-,-=-,综上,在椭圆的长轴上存在点N,0,使得=-,为定值.

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