2021版高考数学（人教A版理科）一轮复习攻略核心考点·精准研析 10-5　曲线与方程 WORD版含解析.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心考点精准研析考点一直接法求轨迹方程【典例】已知ABC的三个顶点分别为A(-1,0),B(2,3),C(1,2),定点P(1,1).(1)求ABC外接圆的标准方程;(2)若过定点P的直线与ABC的外接圆交于E,F两点,求弦EF中点的轨迹方程.【解析】(1)由题意得AC的中点坐标为(0,),AB的中点坐标为,kAC=,kAB=1,故AC中垂线的斜率为-,AB中垂线的斜率为-1,则AC的中垂线的方程为y-=-x,AB的中垂线的方程为y-=-.由得所以ABC的外接圆圆心为(2

2、,0),半径r=2+1=3,故ABC外接圆的标准方程为(x-2)2+y2=9.(2)设弦EF的中点为M(x,y),ABC外接圆的圆心为N,则N(2,0),由MNMP,得=0,所以(x-2,y)(x-1,y-1)=0,整理得x2+y2-3x-y+2=0,故弦EF中点的轨迹方程为+=.直接法求轨迹方程的思路直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这六个步骤,但最后的证明可以省略,如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.(1)已知点F(0,1),直线l:y

3、=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且=,则动点P的轨迹C的方程为()A.x2=4yB.y2=3xC.x2=2yD.y2=4x(2)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-.则动点P的轨迹方程为_.【解析】(1)选A.设点P(x,y),则Q(x,-1).因为=,所以(0,y+1)(-x,2)=(x,y-1)(x,-2),即2(y+1)=x2-2(y-1),整理得x2=4y,所以动点P的轨迹C的方程为x2=4y.(2)因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以点B的坐标为(1,-1).设点P的坐标为(x,

4、y),由题意得=-,化简得x2+3y2=4(x1).故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x1).答案:x2+3y2=4(x1)考点二定义法求轨迹方程【典例】1.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.2.如图,已知ABC的两顶点坐标A(-1,0),B(1,0),圆E是ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等),动点C的轨迹为曲线M,求曲线M的方程.【解析】1.如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B,则有|MC1|-|AC1|

5、=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.又|MA|=|MB|,所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2,即动点M到两定点C2,C1的距离的差是常数2,且2|MC1|,故动圆圆心M的轨迹为以定点C2,C1为焦点的双曲线的左支,则2a=2,所以a=1.又c=3,则b2=c2-a2=8.设动圆圆心M的坐标为(x,y),则动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x-1).2.由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4|AB|,所以曲线M是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点).设曲线M:+=1(ab0,y0),则a2=

6、4,b2=a2-=3,所以曲线M的方程为+=1(y0).1.定义法的适用范围若动点运动的规律满足某种曲线的定义,则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.此法一般用于求圆锥曲线的方程.2.注意2个易误点(1)因对圆锥曲线定义中的某些特定条件理解不透或忽视某些限制条件而失误.在利用定义法求轨迹方程时一定要正确应用圆锥曲线的定义.(如典例1中,动点M的轨迹是双曲线的一支,故应限制条件x-1)(2)不会迁移应用已知条件,而找不到解题思路,而无法解题.(如典例2中,若不能正确转化|CA|+|CB|,则很难求出曲线M的轨迹方程)ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),ABC的内切圆圆心在直线x=3上,

7、则顶点C的轨迹方程是_.【解析】如图,令内切圆与三边的切点分别为D,E,F,可知|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=|AE|-|BE|=8-2=63).答案:-=1(x3)考点三相关点法求轨迹方程【典例】如图,已知P是椭圆+y2=1上一点,PMx轴于M.若=.(1)求点N的轨迹方程.(2)当点N的轨迹为圆时,求的值.【解析】(1)设点P,点N的坐标分别为P(x1,y1),N(x,y),则M的坐标为(x1,0),且x=x1,所以=(x-x1,y-y1)=(0,y-y1),=(x1-x,-y)=(0,-y),由=得(0,y-y1)=(0,-y

8、).所以y-y1=-y,即y1=(1+)y.因为P(x1,y1)在椭圆+y2=1上,则+=1,所以+(1+)2y2=1,故+(1+)2y2=1为所求的点N的轨迹方程.(2)要使点N的轨迹为圆,则(1+)2=,解得=-或=-.故当=-或=-时,N点的轨迹是圆.相关点法求曲线方程的四个步骤:(2020济南模拟)已知Q为圆x2+y2=1上一动点,Q在x轴,y轴上的射影分别为点A,B,动点P满足=,记动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程.(2)过点的直线与曲线C交于M,N两点,判断以MN为直径的圆是否过定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.【解析】(1)设Q(x0,y0),P(x,y)

9、,则+=1,由=得代入+=1,得+y2=1,故曲线C的方程为:+y2=1.(2)假设存在满足条件的定点,由对称性可知,该定点在y轴上,设定点为H(0,m),当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-,由,得(1+4k2)x2-kx-=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,所以y1+y2=k(x1+x2)-=-,y1y2=k2x1x2-k(x1+x2)+=,因为=(x1,y1-m),=(x2,y2-m),所以=x1x2+y1y2-m(y1+y2)+m2=0,对任意的k恒成立,所以 解得m=1,即定点为H(0,1),当直线l的斜率不存在时,以MN为直径的圆也

10、过定点(0,1),综上,以MN为直径的圆过定点(0,1).【变式备选】1.已知方程ax2-ay2=b,且ab0,则它表示的曲线是()A.焦点在x轴上的双曲线B.焦点在y轴上的双曲线C.圆D.椭圆【解析】选B.当ab|AB|=6,又因为P,A,B三点不共线,故点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆的一部分.4.已知直线y=mx+3m和曲线y=有两个不同的交点,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选A.因为直线y=mx+3m=m(x+3)经过定点P(-3,0),m为斜率;曲线y=是以原点为圆心,半径r=2的圆的上半圆,所以同一坐标系内作出它们的图象,如图,当直线与半圆切于A点时,它们有唯一公共点,此时,直线的倾斜角满足sin =,所以cos =,可得直线的斜率m=tan =,当直线y=mx+3m的倾斜角由此位置变小时,两图象有两个不同的交点,直到直线斜率m变成0为止,由此可得当0m时,直线y=mx+3m和曲线y=有两个不同的交点.关闭Word文档返回原板块