上海华东师大二附中2022届高三月考数学试卷.docx

1、2022-2022学年上海市华东师大二附中高三（上）12月月考数学试卷一、填空题（前6题每小题6分，后6题每小题6分，共54分）1计算： =（i是虚数单位）2双曲线的渐近线的夹角为3在二项式的展开式中，常数项等于4设全集U=R，已知，则AB=5函数的定义域是6幂函数f（x）=（m2m1）xm在x（0，+）时为减函数，则m的值为7已知等比数列an满足a2=2，a3=1，则=8若x，y满足，则z=x+2y的最大值为9点P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是10已知关于x的不等式（4kxk212k9）（2x11）0，其中kR，对于不等式的解集A，记B

2、=AZ（其中Z为整数集），若集合B是有限集，则使得集合B中元素个数最少时的实数k的取值范围是11设三角形ABC的内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且，若ABC不是钝角三角形，则的取值范围是12数列2n1的前n项1，3，7，2n1组成集合（nN*），从集合An中任取k（k=1，2，3，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记Sn=T1+T2+Tn，例如当n=1时，A1=1，T1=1，S1=1；当n=2时，A2=1，3，T1=1+3，T2=13，S2=1+3+13=7，试写出Sn=二、选择题（每小题5分，共20分）13如果ab0，那么下列不等式成

3、立的是（）Aa2abBabb2CD14已知函数y=f（x），xR是奇函数，其部分图象如图所示，则在（1，0）上与函数f（x）的单调性相同的是（）ABy=log2|x|CDy=cos（2x）15将一个圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示设正八角星的中心为O，并且 =， =，若将点O到正八角星16个顶点的向量，都写成为+，R的形式，则+的最大值为（）AB2C1+D216直线l：ax+y1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：a1，SAOB=；a1，|AB|CD

4、|；a1，SCOD其中，所有正确结论的序号是（）ABCD三、解答题（14分+14分+14分+16分+18分，共76分）17已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示（）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（）求函数f（x）在区间，上的最大值与最小值18如图，在RtAOB中，OAB=，斜边AB=4，D是AB的中点现将RtAOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且BOC=（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）19已知命题P：函数且|f（a）|2，命题Q：集合A=x|x2+（a+2）x+1=0

5、，xR，B=x|x0且AB=，（1）分别求命题P、Q为真命题时的实数a的取值范围；（2）当实数a取何范围时，命题P、Q中有且仅有一个为真命题；（3）设P、Q皆为真时a的取值范围为集合S，若RTS，求m的取值范围20定义maxx1，x2，x3，xn表示x1，x2，x3，xn中的最大值已知数列an=，bn=，cn=，其中n+m+p=200，m=kn，n，m，p，kN*记dn=maxan，bn，cn（）求maxan，bn（）当k=2时，求dn的最小值；（）kN*，求dn的最小值21已知点P到圆（x+2）2+y2=1的切线长与到y轴的距离之比为t（t0，t1）；（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）当时

6、，将轨迹C的图形沿着x轴向左移动1个单位，得到曲线G，过曲线G上一点Q作两条渐近线的垂线，垂足分别是P1和P2，求的值；（3）设曲线C的两焦点为F1，F2，求t的取值范围，使得曲线C上不存在点Q，使F1QF2=（0）2022-2022学年上海市华东师大二附中高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（前6题每小题6分，后6题每小题6分，共54分）1计算： =i（i是虚数单位）【考点】复数代数形式的混合运算【分析】i2022=（i4）504i=i，可得原式=，再利用复数的运算法则即可得出【解答】解：i2022=（i4）504i=i，原式=i，故答案为：i2双曲线的渐近线的夹角为【考

7、点】双曲线的简单性质【分析】根据题意，由双曲线的方程可得渐近线方程，求出渐近线的倾斜角，结合图形分析可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，则其渐近线方程为：y=x，直线y=x的倾斜角为，直线y=x的倾斜角为，则其渐近线的夹角为，故答案为：3在二项式的展开式中，常数项等于160【考点】二项式定理【分析】展开式的通项为=，要求常数项，只要令62r=0可得r，代入即可求【解答】解：展开式的通项为=令62r=0可得r=3常数项为=160故答案为：1604设全集U=R，已知，则AB=x|2x3【考点】交集及其运算【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出AB【解答】解：，A=x|x或x2，B=x

8、|1x3，AB=x|2x3故答案为：x|2x35函数的定义域是（，3）（3，0）【考点】函数的定义域及其求法【分析】由0指数幂的底数不为0，分母中根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解【解答】解：由，解得x0且x3函数的定义域是：（，3）（3，0）故答案为：（，3）（3，0）6幂函数f（x）=（m2m1）xm在x（0，+）时为减函数，则m的值为2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】利用幂函数的定义和单调性即可求出【解答】解：幂函数y=（m2m1）xm在x（0，+）时为减函数，m必满足，解得m=2，即y=x2故答案为：27已知等比数列an满足a2=2，a3=1，则=【考点】数列

9、的极限【分析】利用a2=2，a3=1，两式相除可求得q，根据a2=2进而可求得a1再根据数列anan+1为以q2为公比，8为首项等比数列，根据等比数列的求和公式可得a1a2+a2a3+anan+1，进而答案可得【解答】解：a2=2，a3=1，解得q=，得a1=4，a1a2，a2a3，anan+1，是公比为的等比数列，首项为：8a1a2+a2a3+anan+1=则=故答案为：8若x，y满足，则z=x+2y的最大值为2【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可

10、知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大由，得，即A（，），此时z的最大值为z=1+2=1+1=2，故答案为：29点P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是，0【考点】平面向量数量积的运算【分析】建立空间直角坐标系，设出点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0x1，0y1，z=1，计算=x2x，利用二次函数的性质求得它的值域即可【解答】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示；则点A（1，0，0），C1 （0，1，1），设点P的坐标为（x，y，z），由

11、题意可得 0x1，0y1，z=1；=（1x，y，1），=（x，1y，0），=x（1x）y（1y）+0=x2x+y2y=+，由二次函数的性质可得，当x=y=时， 取得最小值为；当x=0或1，且y=0或1时， 取得最大值为0，则的取值范围是，0故答案为：，010已知关于x的不等式（4kxk212k9）（2x11）0，其中kR，对于不等式的解集A，记B=AZ（其中Z为整数集），若集合B是有限集，则使得集合B中元素个数最少时的实数k的取值范围是2，3，4，5【考点】交集及其运算【分析】对k分类讨论，利用一元二次不等式的解法求出已知不等式的解集确定出A，根据B=AZ（其中Z为整数集），集合B为有限集，即

12、可得出【解答】解：分情况考虑：当k0，A=x|+3x；当k=0，A=x|x；当0k1或k9，A=x|x，或x+3；当1k9，A=x|x+3，或x；B=AZ（其中Z为整数集），集合B为有限集，只有k0，B=2，3，4，5故答案为：2，3，4，511设三角形ABC的内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且，若ABC不是钝角三角形，则的取值范围是（1，4【考点】余弦定理【分析】先求得C的范围，由正弦定理及两角和的正弦函数公式化简为1+，由角C越大，越小，求得的取值范围【解答】解：三角形ABC中，若ABC不是钝角三角形，由A+C=，可得C利用正弦定理可得=1+，显然，角C越大，越小当C=时，cos

13、C=0，则=1；当C时， =1+（1，4）综上可得，（1，4，故答案为：（1，412数列2n1的前n项1，3，7，2n1组成集合（nN*），从集合An中任取k（k=1，2，3，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记Sn=T1+T2+Tn，例如当n=1时，A1=1，T1=1，S1=1；当n=2时，A2=1，3，T1=1+3，T2=13，S2=1+3+13=7，试写出Sn=1【考点】元素与集合关系的判断【分析】通过计算出S3，并找出S1、S2、S3的共同表示形式，进而利用归纳推理即可猜想结论【解答】解：当n=3时，A3=1，3，7，则T1=1+3+7=

14、11，T2=13+17+37=31，T3=137=21，S3=T1+T2+T3=11+31+21=63，由S1=1=211=1，S2=7=231=1，S3=63=261=1，猜想：Sn=1，故答案为：1二、选择题（每小题5分，共20分）13如果ab0，那么下列不等式成立的是（）Aa2abBabb2CD【考点】不等式的基本性质【分析】利用不等式的基本性质即可得出【解答】解：对于A：由ab0，得：a2ab，故A错误；对于B：若ab0，则ab0，b0，abb2，故B正确；对于C：由ab0，两边同除以ab得：，即，故C错误；对于D：01，1，故D错误；故选：B14已知函数y=f（x），xR是奇函数，其

15、部分图象如图所示，则在（1，0）上与函数f（x）的单调性相同的是（）ABy=log2|x|CDy=cos（2x）【考点】函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质分析可得y=f（x）在（1，0）上单调递增，据此依次分析选项中函数在区间（1，0）上的单调性，即可得答案【解答】解：根据图象可以判断出（0，1）单调递增，又由函数y=f（x）（xR）是奇函数，则函数y=f（x）在（1，0）上单调递增，依次分析选项：对于A、对于y=x+，y=1=，当1x0时，y0，则f（x）在（1，0）是减函数，不符合题意，对于B、当1x0时，y=log2|x|=log2（x），令t=x

16、，则y=log2t，t=x在（1，0）为减函数，而y=log2t为增函数，则y=log2|x|在（1，0）是减函数，不符合题意，对于C、当1x0时，y=ex=（）x，而01，则y=ex在（1，0）为减函数，不符合题意，对于D、y=cos（2x），当1x0，则有22x0，y=cos（2x）为增函数，符合题意；故选：D15将一个圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示设正八角星的中心为O，并且 =， =，若将点O到正八角星16个顶点的向量，都写成为+，R的形式，则+的最大值为（）AB2C1+D2【考点】向量在几何中的应用

17、【分析】根据题意找出使得+最大的顶点C，根据向量加法的平行四边形法则可作出平行四边形OBCD，这样结合图形及向量数乘的几何意义便可得出，这样由平面向量基本定理即可求出+的最大值【解答】解：如图，根据图形及向量加法的平行四边形法则可看出O到顶点C的向量，此时+最大；作平行四边形OBCD，设BC=a，根据题意得，OA=；=；又；即+的最大值为故选C16直线l：ax+y1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：a1，SAOB=；a1，|AB|CD|；a1，SCOD其中，所有正确结论的序号是（）ABCD【考点】直线与圆的位置关系【分析】当a1时，

18、分别可得直线的截距，由三角形的面积公式易得结论正确；当a1时，反证法可得结论错误；由三角形的面积公式可得SCOD=sinAOC，可得结论正确【解答】解：当a1时，把x=0代入直线方程可得y=a，把y=0代入直线方程可得x=，SAOB=a=，故结论正确；当a1时，|AB|=，故|AB|2=a2+，直线l可化为a2x+ya=0，圆心O到l的距离d=，故|CD|2=4（1d2）=41（a2+），假设|AB|CD|，则|AB|2|CD|2，即a2+4（1），整理可得（a2+）24（a2+）+40，即（a2+2）20，显然矛盾，故结论错误；SCOD=|OA|OC|sinAOC=sinAOC，故a1，使得

19、SCOD，结论正确故选：C三、解答题（14分+14分+14分+16分+18分，共76分）17已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示（）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（）求函数f（x）在区间，上的最大值与最小值【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值【分析】（I）由函数图象可知A，T=，利用周期公式可求，又函数过点（，2），结合范围|，解得，可求函数解析式，由函数图象可得2sin（2x0+）=，可解得x0=k，kZ，又结合范围x0，从而可求x0的值（II）由x，可求范围2x+，利用正弦函数的图象和性质即可求其最值【解答】（本小题满分

20、13分）解：（I）A0，0，由函数图象可知，A=2，T=2x0（x0）=，解得=2，又函数过点（，2），可得：2=2sin（2+），解得：2+=2k+，kZ，又|，可得：=，f（x）=2sin（2x+），由函数图象可得：2sin（2x0+）=，解得：2x0+=2k+，kZ，可得：x0=k，kZ，又x0，x0=，（II）由x，可得：2x+，当2x+=时，即x=，f（x）min=f（）=1，当2x+=时，即x=，f（x）max=f（）=2 18如图，在RtAOB中，OAB=，斜边AB=4，D是AB的中点现将RtAOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且BOC=（1）

21、求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】（1）求出圆锥底面半径，圆锥的侧面积S侧，然后求解圆锥的全面积（2）过D作DMAO交BO于M，连CM，说明CDM为异面直线AO与CD所成角，在RtCDM中，求解异面直线AO与CD所成角的大小【解答】解：（1）RtAOB中，OB=2即圆锥底面半径为2圆锥的侧面积S侧=rl=8.4故圆锥的全面积S全=S侧+S底=8+4=12.6（2）过D作DMAO交BO于M，连CM则CDM为异面直线AO与CD所成角.8AO平面OBCDM平面OBCDMMC在RtAO

22、B中，D是AB的中点M是OB的中点，OM=1在RtCDM中，.10，即异面直线AO与CD所成角的大小为.1219已知命题P：函数且|f（a）|2，命题Q：集合A=x|x2+（a+2）x+1=0，xR，B=x|x0且AB=，（1）分别求命题P、Q为真命题时的实数a的取值范围；（2）当实数a取何范围时，命题P、Q中有且仅有一个为真命题；（3）设P、Q皆为真时a的取值范围为集合S，若RTS，求m的取值范围【考点】集合关系中的参数取值问题【分析】（1）由题意可得，由|f（a）|=|2解不等式可得P：a（5，7）；由AB=，可得A有两种情况若A=，则=（a+2）（a+2）40，若A，则，解可得Q（2）当

23、P为真，则；当Q为真，则可求（3）当P，Q都为真时，可求S=（4，7），利用基本不等式可求T，进而可求RT，然后根据RTS，可求【解答】解：（1）由题意可得，由|f（a）|=|2可得6a16解可得，5a7P：a（5，7）集合A=x|x2+（a+2）x+1=0，xR，B=x|x0且AB=，若A=，则=（a+2）（a+2）40，即4a0若A，则，解可得，a0综上可得，a4Q：a（4，+）（2）当P为真，则，a（5，4；当Q为真，则，a7，+）所以a（5，47，+）（3）当P，Q都为真时，即S=（4，7）综上m（0，420定义maxx1，x2，x3，xn表示x1，x2，x3，xn中的最大值已知数列a

24、n=，bn=，cn=，其中n+m+p=200，m=kn，n，m，p，kN*记dn=maxan，bn，cn（）求maxan，bn（）当k=2时，求dn的最小值；（）kN*，求dn的最小值【考点】数列的应用【分析】（）由题意，maxan，bn=max， ，=，分别求得k=1、k=2及k3时，分别求得maxan，bn；（）当k=2时，由（）可得dn=maxan，cn=max， ，根据数列的单调性求得n=，dn取得最小值，4445，分别求得d44和d45，比较即可求得dn取得最小值；（）由（II）可知，当k=2时，dn的最小值为，当k=1及k3时，根据函数单调性，分别求得可能取最小值时，n的取值，比较

25、即可求得dn取得最小值；【解答】解：（ I）由题意，maxan，bn=max， ，因为=，所以，当k=1时，则maxan，bn=bn=，当k=2时， =，则maxan，bn=an=，当k3时，则maxan，bn=an=（ II）当k=2时，dn=maxan，bn，cn=maxan，cn=max， ，因为数列an为单调递减数列，数列cn为单调递增数列，所以当=时，dn取得最小值，此时n=又因为4445，而d44=maxa44，c44=a44=，d45=c45=，有d44d45所以dn的最小值为（ III）由（II）可知，当k=2时，dn的最小值为当k=1时，dn=maxan，bn，cn=maxb

26、n，cn=max， 因为数列bn为单调递减数列，数列cn为单调递增数列，所以当=时，dn取得最小值，此时n=又因为7273，而d72=b72=，d72=c72=，此时dn的最小值为，（2）k3时，=，anbn，所以dn=maxan，bn，cn=maxan，cnmax， 设hn=max， ，因为数列an为单调递减数列，数列为单调递增数列，所以当=时，hn取得最小值，此时n=又因为3637，而h36=a36=，h37=，此时dn的最小值为，综上，dn的最小值为d44=21已知点P到圆（x+2）2+y2=1的切线长与到y轴的距离之比为t（t0，t1）；（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）当时，将轨迹

27、C的图形沿着x轴向左移动1个单位，得到曲线G，过曲线G上一点Q作两条渐近线的垂线，垂足分别是P1和P2，求的值；（3）设曲线C的两焦点为F1，F2，求t的取值范围，使得曲线C上不存在点Q，使F1QF2=（0）【考点】轨迹方程【分析】（1）设P（x，y），则P到圆的切线长为，利用勾股定理列方程化简即可得出动点P的轨迹C的方程；（2）当t=时，轨迹C的方程化为：可得曲线G的方程为可得曲线G的渐近线方程为y=x，y=x设Q（x0，y0），P1（m， m），P2（n，n）， =可得m，n又y02=2x025，利用数量积运算性质即可得出；（3）对曲线C得类型进行讨论，得出F1QF2的最大值，利用三角恒等

28、变换列不等式解出t的范围【解答】解：（1）圆（x+2）2+y2=1的圆心为M（2，0），半径r=1，设P（x，y），则P到圆的切线长为，=t|x|，（x+2）2+y21=t2x2，整理得（1t2）x2+y2+4x+3=0则动点P的轨迹C的方程为：（1t2）x2+y2+4x+3=0（2）当t=时，轨迹C的方程为2x2+4x+3+y2=0，即曲线G的方程为曲线G的渐近线方程为y=x，y=x设Q（x0，y0），P1（m， m），P2（n，n）， =m=，n=，y02=2x025，=（mx0）（nx0）+（my0）（ny0）=（mx0）（nx0）（x0m）（x0n）=（mx0）（nx0），=（3）曲线C的方程可化为（1t2）（x+）2+y2=3，当0t1时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，椭圆标准方程为+=1当Q为短轴端点时，F1QF2取得最大值，设F1QF2的最大值为，则tan2=，cos=12t2，若曲线C上不存在点Q，使F1QF2=，则，cos12t2，解得0t当t1时，曲线C为焦点在x轴的双曲线，0F1QF2，当0时，曲线C上始终存在的Q使得F1QF2=综上，当0t时，曲线C上不存在点Q，使F1QF2=2022年5月16日23 / 23