专题11 二次函数与相似三角形的综合-2019年中考数学函数考点全突破学霸冲冲冲shop348121278.taobao.com.doc

1、一、考点分析：二次函数的综合题中在第二三小问比较常考到相似三角形的问题，这类题目出现在压轴题目中的概率比较高，难度系数也是偏大的，对于学生的计算和综合知识掌握要求比较高。我们要利用我们现学的相似的知识在平面直角坐标系中研究。二、解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住相似的两个目标三角形，找出已知条件（例如已知边、已知角度、已知点坐标等）2.找现成的等量关系，例如相等的角度从而确定下来对应关系3. 运用分类讨论思想，几种不同相似的可能性逐一讨论4. 充分运用相似的性质，相似比或者面积比等进行列式计算5.大胆设点坐标去做，充分利用点在函数图像上从而代入函数表达式.三、注意事项：1.相似三角形的字母对

2、应要注意2.分类讨论思想不要多讨论也不要漏掉，充分抓住已知条件分析3.运用相似比进行计算时，边之比千万不能比错了。4.求出有多个解时一定要去检验是否符合要求四、二次函数中相似三角形问题（一）例题演示已知抛物线yax2bxc，其中2ab0c，且abc0.(1)直接写出关于x的一元二次方程ax2bxc 0的一个根；(2)证明：抛物线yax2bxc的顶点A在第三象限；(3)直线y xm与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线yax2bxc相交于A，D两点设抛物线yax2bxc的对称轴与x轴相交于E，如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F，使得ADF与BOC相似，并且SADFSADE，求此时抛物线的表达式

3、【解答】(1)ax2bxc 0的一个根为1(或者3)；(2)证明：b 2a，对称轴x为1，将b2a代入abc0，得c3a.ab0c，b24ac0，45，这时BOC与ADF相似，顶点A只可能对应BOC中的直角顶点O，即ADF是以A为直角顶点的等腰直角三角形，且对称轴是x1，设对称轴x1与OF交于点G，直线yxm过顶点A，m14a，直线表达式为yx14a，解方程组解得这里的(1，4a)即为顶点A，点即为点D的坐标，D点到对称轴x1的距离为1(1)，AE|4a|4a，SADE4a2，即它的面积为定值这时等腰直角三角形ADF的面积为1，底边DF 2，而x1是它的对称轴，这时D，C重合且在y轴上，由10

4、，a1，此时抛物线的表达式yx22x3【试题精炼】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y= x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x= 且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B。（1）求抛物线解析式。（2）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。【解答】（1）y= 当x=0时 y=2 当y=0时 x=4C（0，2），A（4，0），由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x= 对称，点B的坐标为（1，0）抛物线y=ax2+bx+c过A（4，0），B（1，0）可设抛物

5、线解析式为y=a（x+4）（x1）又抛物线过点C（0，2）2=4a a= y=x2x+2（2）在RtAOC中，tanCAO= 在RtBOC中，tanBCO= CAO=BCO，BCO+OBC=90 CAO+OBC=90ACB=90 ABCACOCBO 如下图：当点M在第四象限时设M（n，n2 n+2） 则N（n，0）MN=n2+ n2 AN=n+4当 时 MN=AN 即 n2+ n2= （n+4）整理得：n2+2n8=0 解得：n1=4（舍） n2=2M（2，3）当 时 MN=2AN 即 n2+ n2=2（n+4）整理得：n2n20=0 解得：n1=4（舍） n2=5M（5，18）综上所述：存在

6、M1（0，2），M2（3，2），M3（2，3），M4（5，18）， 使得以点A、M、N为顶点的三角形与ABC相似【中考链接】如图，已知二次函数（其中0m1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC （1）ABC的度数为 ；（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由【解答】（1）令x=0，则y=m，C点坐标为：（0，m），令y=0，则x2+

7、（1m）xm=0，解得：x1=1，x2=m，0m1，点A在点B的左侧，B点坐标为：（m，0），OB=OC=m，BOC=90，BOC是等腰直角三角形，OBC=45；（2）如图1，作PDy轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，由题意得，抛物线的对称轴为：x=，设点P坐标为：（，n），PA=PC，PA2=PC2，即AE2+PE2=CD2+PD2，（+1）2+n2=（n+m）2+（）2，解得：n=，P点的坐标为：（，）；如图1，当Q点坐标为：（m，0）时，若PQ与x轴垂直，则=m，解得：m=，PQ=，若PQ与x轴不垂直，则PQ2=PE2+EQ2=（）2+（+m）2=m22m+=（m）2+0m1，当m=时，

8、PQ2取得最小值，PQ取得最小值，当m=，即Q点的坐标为：（，0）时，PQ的长度最小，如图2，当Q点的坐标为：（0，m）时，若PQ与y轴垂直，则=m，解得：m=，PQ=，若PQ与y轴不垂直，则PQ2=PD2+DQ2=（）2+（m）2=m22m+=（m）2+，0m1，当m=时，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，当m=，即Q点的坐标为：（0，）时，PQ的长度最小，综上所述：当Q点坐标为：（，0）或（0，）时，PQ的长度最小【巩固练习】1.如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tanBAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90，得到DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点

9、A、B、C（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当CEF与COD相似点P的坐标；【解答】1）在RtAOB中，OA=1，tanBAO=3，OB=3OA=3DOC是由AOB绕点O逆时针旋转90而得到的DOCAOB，OC=OB=3，OD=OA=1，A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（3，0）代入解析式为：，解得：抛物线的解析式为y=x22x+3；2.关于x的二次函数yax2bxc(a0，c0，a，b，c是常数)与x轴交于两个不同的点A(x1，0)，B(x2，0)(0x1x2)，与y轴交于点P，其图象顶点为M，点O为坐标原点(1)当x1c2，a时，求x2与b的值；(2)当x12c时，试问ABM能否等边三角形？判断并证明你的结论；(3)当x1mc(m0)时，记MAB，PAB的面积分别为S1，S2，若BPOPAO，且S1S2，求m的值(2)当x12c时，x2，此时ba(x1x2)，4ac2b1，M，当ABM为等边三角形时AB，即，b22b1(12b1)，解得b11，b221(舍去)，此时4ac2b1，即2c，A，B重合，ABM不可能为等边三角形；(3)BPOPAO，即x1x2c2，ac1，a，x1x2，x1mc，mc(1)c，m1.