2021高考数学（理）大一轮复习课时跟踪检测：阶段检测试题（二） WORD版含解析.doc

1、阶段检测试题(二)(时间:120分钟满分:150分)选题明细表知识点、方法题号三角函数的化简求值6,17三角函数的定义、图象与性质9,12,15解三角形4,18,20,21平面向量的概念及运算2,3,11平面向量的数量积及应用5,14,16复数1,10,13综合问题7,8,19,22一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设z=i3-,则z的虚部是(D)(A)-1 (B)- (C)-2i(D)-2解析:z=i3-=-i-=-i-=-i-i=-2i,则z的虚部为-2,故选D.2.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量

2、c满足(c+a)b,c(a+b),则c等于(D)(A)(,) (B)(-,-)(C)(,) (D)(-,-)解析:不妨设c=(m,n),则a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1),由(c+a)b,得-3(1+m)=2(2+n).对于c(a+b),则有3m-n=0,联立,解得所以c=(-,-).3.已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则|+|的最大值为(B)(A)6(B)7(C)8(D)9解析:法一因为A,B,C均在单位圆上,AC为直径,故+=2=(-4,0),|+|=|2+|2|+|,又|+1=3,所以|+|4+3=7,故其最大值为7,选B.

3、法二因为A,B,C均在单位圆上,AC为直径,不妨设A(cos x,sin x),B(cos(x+),sin(x+)(k,kZ),C(-cos x,-sin x),+=(cos(x+)-6,sin(x+),|+|=7,故选B.4.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC等于(B)(A)5 (B) (C)2 (D)1解析:由题意知SABC=ABBCsin B,即=1sin B,解得sin B=.所以B=45或B=135.当B=45时,AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=12+()2-21=1.此时AC2+AB2=BC2,ABC为直角三角形,不符合题意;当B=135时,AC2=A

4、B2+BC2-2ABBCcos B=12+()2-21(-)=5,解得AC=.符合题意.故选B.5.若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)(3a+2b),则a与b的夹角为(A)(A)(B)(C)(D)解析:由条件,得(a-b)(3a+2b)=3a2-2b2-ab=0,即ab=3a2-2b2.又|a|=|b|,所以ab=3(|b|)2-2b2=b2,所以cos=,所以=,故选A.6.若tan =2tan ,则等于(C)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:=3,故选C.7.如图,将含45直角三角板和含30直角三角板拼在一起,其中含45直角三角板的斜边与含30直角三角板的30角所对的直角

5、边重合.若=x+y,x0,y0,则x+y等于(B)(A)1+(B)1+2(C)2+ (D)2解析:如图,以D为坐标原点,DA,DC所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系.设AD=DC=1,则C(0,1),A(1,0).且AC=,AB=2.则xB=xA+ABcos 75=1+2cos 75=1+2=.yB=ABsin 75=2=+1.所以B(,1+).=x+y.所以(,1+)=x(0,1)+y(1,0).所以y=,x=1+.所以x+y=1+2.选B.8.如图,在同一个平面内,向量,的模分别为1,1,与 的夹角为,且tan =7,与的夹角为45.若=m+n(m,nR),则m+n等于(C)(A

6、)1(B)2(C)3(D)4解析:法一因为tan =7,所以cos =,sin =.过点C作CDOB交OA于点D,则=+,OCD=45.又因为=m+n,所以=m,=n,所以|=m,|=n.在COD中,由正弦定理得=,因为sinODC=sin(180-OCD)=sin(+OCD)=,即=,所以n=,m=,所以m+n=3.故选C.法二由tan =7可得cos =,sin =,则=,由cosBOC=可得=,cosAOB=cos(+45)=cos cos 45-sin sin 45=-=-,则=-,则m-n=,-m+n=1,则m+n=,则m+n=3.故选C.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,

7、共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.已知函数f(x)=Asin(x+)(A,均为正的常数)的最小正周期为,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论不正确的是( BCD )(A)f(2)f(-2)f(0)(B)f(0)f(2)f(-2)(C)f(-2)f(0)f(2)(D)f(2)f(0)f(-2)f(2).故选BCD.10.已知复数z1=-+i,z2=-i,则下列结论中正确的是(ABD)(A)=z2 (B)|z1|=|z2|(C)-=1 (D)z1,z2互为共轭复数解析:由题意得,=(-+i)2=-i-=-i

8、=z2,故A正确;|z1|=|-+i|=1,|z2|=|-i|=1,所以|z1|=|z2|,故B正确;=1,所以-=0,故C错误;因为z1,z2的实部相同、虚部互为相反数,所以z1,z2互为共轭复数,故D正确.故选ABD.11.下列命题,正确的是(BC)(A)若|a|=|b|,则a=b(B)若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件(C)若a=b,b=c,则a=c(D)a=b的充要条件是|a|=|b|且ab解析:A不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.B正确.因为=,所以|=|且,又因为A,B,C,D是不共线的四点,所以四边形ABCD为平行四边形;

9、反之,若四边形ABCD为平行四边形,则且|=|,因此,=.故“=”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件.C正确.因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同;又b=c,所以b,c的长度相等且方向相同,所以a,c的长度相等且方向相同,故a=c.D不正确.当ab且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故“|a|=|b|且ab”不是“a=b”的充要条件,而是必要不充分条件.故选BC.12.将函数f(x)=2sin x的图象向左平移个单位长度,然后纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到g(x)的图象,下列四个结论不正确的是(BCD)(A)函数g(x)在区间0,上为增函数(B)将函数g(

10、x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称(C)点(,0)是函数g(x)图象的一个对称中心(D)函数g(x)在,2上的最大值为1解析:将函数f(x)=2sin x的图象向左平移个单位长度,然后纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到的图象对应的函数是g(x)=2sin(+).由-+,得-x,所以g(x)在0,上为增函数,选项A正确;将函数g(x)=2sin(+)的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数是y=2sin(x-)+=2sin(x+),其图象不关于原点对称,选项B不正确;因为g()=2sin(+)=2sin =0,所以点(,0)不是函数g(x)图象的一个对称中心,选项C不正

11、确;当x2时,+,函数g(x)在,2上的最大值是2sin =,选项D不正确.故选BCD.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知复数z=x+yi,且|z-2|=,则的最大值为.解析:因为|z-2|=,所以(x-2)2+y2=3. 由图可知()max=.答案:14.已有正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为;的最大值为.解析:法一如图,=(+)=+=1,=(+)=+=|=1.故的最大值为1.法二以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(t,0),t0,1,则=(t,-1),=(0,

12、-1),所以=(t,-1)(0,-1)=1.因为=(1,0),所以=(t,-1)(1,0)=t1,故的最大值为1.15.函数f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+)的最大值为.解析:因为f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+)=sin (x+)+-2sin cos(x+)=sin(x+)cos +cos(x+)sin -2sin cos(x+)=sin(x+)cos -cos(x+)sin =sin (x+)-=sin x.所以f(x)max=1.解析:116.设G是ABC的重心,且sin A+3sin B+3sin C=0,则角B的大小为.解析:因为sin A+3si

13、n B+3sin C=0,设三角形的边长依次为a,b,c,由正弦定理得a+3b+3c=0,由点G为ABC的重心,根据中线的性质及向量加法法则得3=+,3=+,3=+,代入上式得a(+)+3b(+)+3c(+)=0,又=+,上式可化为a(2+)+3b(+)+3c(-+2)=0,即(2a-3b-3c)+(-a-3b+6c)=0,则有-得3a=9c,即ac=31,设a=3k,c=k,代入得b=k,所以cos B=,所以B=.答案:四、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知(,),sin =.(1)求sin(+)的值;(2)求cos(-2)的值.解:(1)因为(,),sin

14、=,所以cos =-=-.故sin(+)=sin cos +cos sin =(-)+=-.(2)由(1)知sin 2=2sin cos =2(-)=-,cos 2=1-2sin2=1-2()2=,所以cos(-2)=cos cos 2+sin sin 2=(-)+(-)=-.18.(本小题满分12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.解:(1)SABD=ABADsinBAD,SADC=ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC,由正弦定理可得=.(2)因为SABD

15、SADC=BDDC,所以BD=.在ABD和ADC中,由余弦定理知,AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=(,-),n=(sin x,cos x),x(0,).(1)若mn,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.解:(1)因为mn,所以mn=0.故sin x-cos x=0,所以tan x=1.(2)因为m与n的夹角为,所以cos =,故sin(x-)=.又x(0,),所以

16、x-(-,),x-=,即x=,故x的值为.20.(本小题满分12分)如图,在ABC中,ABC=90,AB=2,BC=2,P为ABC内一点,BPC=90.(1)若PB=1,求PA;(2)若APB=150,求tanPBA.解:(1)由已知得PBC=60,所以PBA=30,在PBA中,由余弦定理得PA2=(2)2+1-221cos 30=7,所以PA=.(2)设PBA=,由已知得PCB=,PB=2sin ,在PBA中,由正弦定理得=,化简得cos =4sin ,所以tan =,所以tanPBA=.21.(本小题满分12分)如图,已知在东西方向上有M,N两座小山,山顶各有一个发射塔A,B,塔顶A,B的

17、海拔高度分别为AM=100米和BN=200米,一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30,该测量车向北偏西60方向行驶了100米后到达点Q,在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为,且BQA=,经测量 tan =2,求两发射塔顶A,B之间的距离.解:在RtAMP中,APM=30,AM=100,所以PM=100,连接QM,在PQM中,QPM=60,又PQ=100,所以PQM为等边三角形,所以QM=100.在RtAMQ中,由AQ2=AM2+QM2,得AQ=200.在RtBNQ中,tan =2,BN=200,所以BQ=100,cos =.在BQA中,BA2=BQ2+AQ2-2BQAQcos

18、 =(100)2,所以BA=100.即两发射塔顶A,B之间的距离是100米.22.(本小题满分12分)设函数f(x)=sin 2x-cos2(x+).(1)若x(0,),求f(x)的单调递增区间;(2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f()=0,b=1,求ABC面积的最大值.解:(1)由题意可知,f(x)=sin 2x-=sin 2x-=sin 2x-,由2k-2x2k+,kZ,可解得k-xk+,kZ.又因为x(0,),所以f(x)的单调递增区间是(0,和,).(2)由f()=sin B-=0,可得sin B=,由题意知B为锐角,所以cos B=,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,可得1+ac=a2+c22ac,即ac2+,且当a=c时等号成立,因此SABC=acsin B,所以ABC面积的最大值为.