数学人教A版必修4导学案：1.2.1任意角的三角函数（第2课时） WORD版含解析.doc

1、第2课时三角函数线1.了解三角函数线的定义和意义.2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.掌握三角函数线的简单应用.三角函数线(1)有向线段：带有的线段叫做有向线段.(2)定义：如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角的终边交于点P(角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合).过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sin ，cos ，tan .单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角的线、线、线，统称为三角函数线.三角函数线的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位

2、圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外.三角函数线的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向单位圆与的终边(或反向延长线)的交点.三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x轴正方向或y轴正方向反向的为负值.三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后.三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值.【做一做11】 如图所示，P是角的终边与单位圆的交点，PMx轴于M，AT和AT均是单位圆的切线，则角的()A.正

3、弦线是PM，正切线是ATB.正弦线是MP，正切线是ATC.正弦线是MP，正切线是ATD.正弦线是PM，正切线是AT【做一做12】 不论角的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是()A.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线B.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条C.正弦线、余弦线、正切线都可能不存在D.正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在答案：(1)方向(2)MPOMAT正弦余弦正切【做一做11】 C【做一做12】 D三角函数线的应用剖析：三角函数线是三角函数值的直观表达形式，从三角函数线的方向可看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可看出三角函数值的绝对值大

4、小.三角函数线的主要作用是解三角方程和不等式、证明三角不等式、求函数定义域及比较大小，同时它也是以后画三角函数图象的基础.题型一 解三角方程【例1】 在单位圆中画出满足sin 的角的终边，并写出组成的集合.分析：先作出直线y与单位圆的交点P，Q，再连接OP，OQ即得.反思：形如sin m，cos n，tan t的等式，可借助于三角函数线写出组成的集合.其步骤是：在单位圆中画出的终边；在0,2)内找出满足条件的角；用终边相同的角的集合写出.题型二 解简单的三角不等式【例2】 解不等式sin .分析：由于sinsin，则在坐标系中画出和，确定的终边位置.反思：解简单的三角不等式时，常借助于三角函数

5、线，转化为终边在某区域内的角的范围.如本题转化为求终边在优弧对应的扇形区域内角的范围.题型三 易错辨析易错点错解函数的定义域【例3】 求函数ylg(2sin x)的定义域.错解：要使函数有意义，则需满足12cos x0且2sin x0，即cos x，且sin x.所以2kx2k且2kx2k，其中kZ.其交集为空集，故无定义域.错因分析：因两个不等式中的k各自独立，因此上述两集合是有公共部分的，如图所示.反思：解三角不等式组时，先解每个三角不等式，再取它们的交集.取交集时，要注意各自解集中k的独立性.答案：【例1】 解：如图，作直线y交单位圆于点P，Q，连接OP，OQ，则射线OP，OQ为角的终边

6、由于sin，sin，则OP是的终边，OQ是的终边所以2k或2k，kZ.则组成的集合为S.【例2】 解：如图所示，作直线y交单位圆于A，B两点，则xOA，xOB.过在直线AB上方的圆弧上任一点P作PMx轴于M，则MPsin .则的终边不能与直线AB下方的圆弧有交点，则有2k2k(kZ)即原不等式的解集是.【例3】 正解：要使函数有意义，则需同时满足12cos x0且2sin x0，即cos x，且sin x.由cos x，知2kx2k，kZ.由sin x，知2nx2n，nZ，x的取值范围是x|2kx2k，kZ1下列各式正确的是()A.sin 1 B.sin 1C.sin 1 D.sin 12已知

7、tan x1，则x_.3不等式cos x0的解集是_.4在单位圆中画出满足cos 的角的终边，并写出组成的集合.5求函数y的定义域.答案：1B1和的终边均在第一象限，且的正弦线大于1的正弦线，则sin 1.2xk(kZ)3x|2kx2k，kZ如图所示，OM是角x的余弦线，则有cos xOM0，OM的方向向右角x的终边在y轴的右方2kx2kx，kZ.4. 解：如图所示，作直线x交单位圆于M，N，连接OM，ON，则OM，ON为的终边由于，则M在的终边上，N在的终边上，则2k或2k，kZ.所以组成的集合为S.5解：要使函数有意义，自变量x的取值需满足12cos x0，得cos x，如图所示，则x的终边在阴影部分的区域内由于，则M在的终边上，N在的终边上，则2kx2k，kZ.所以函数的定义域是.