2022版新教材数学人教A版选择性必修第一册基础训练：1-4-2 第2课时 用空间向量研究空间角问题 WORD版含解析.docx

1、课时评价作业基础达标练1.（2020广东广州海珠高二期末联考）在长方体ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=a ，AA1=3a ，则异面直线AC1 与CD1 所成角的余弦值为( )A.15 B.56 C.55 D.22答案：C2.（2021安徽皖北名校高二第二次联考）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA 底面ABCD ，PA=2 ，底面ABCD 是边长为2的正方形，E 为BC 的中点，则异面直线BD 与PE 所成角的余弦值为( )A.26 B.36 C.23 D.33答案：A3.（2020山东济南莱芜一中高二质检）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中，点M 为棱CC1 的中点

2、，则直线B1M 与平面A1D1M 所成角的正弦值是( )A.215 B.25 C.35 D.45答案：B4.在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，点E 为BB1 的中点，则平面A1ED 与平面ABCD 夹角的余弦值为( )A.12 B.23 C.33 D.22答案：B5.（2021吉林吉化一中高二月考）在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E ，F 分别是DD1 ，BD 的中点，则直线AD1 与EF 所成角的余弦值是( )A.12 B.63 C.32 D.62答案： B6.（多选题）（2021山东济宁曲阜一中高二段测）如图，已知E 是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱BC 的

3、中点，F 是棱BB1 的中点，设点D 到平面AED1 的距离为d ，直线DE 与平面AED1 所成的角为 ，平面AED1 与平面AED 的夹角为 ，则( )A.DF 平面AED1 B.d=43C.sin=4515 D.cos=23答案：B ; C ; D7.（2020黑龙江绥化青冈一中高二月考）正三棱锥P-ABC 的侧面都是直角三角形，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则PB 与平面PEF 所成角的正弦值为( )A.36 B.66 C.33 D.63答案： C8.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为6，E、F 分别是棱AB、BC 上的动点，且AE=BF .当A1、E、F、C

4、1 共面时，平面A1DE 与平面C1DF 夹角的余弦值为( )A.15 B.12 C.32 D.265答案： B9.（2021湖北孝感应城一中高二期末）在三棱柱ABC-A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，ABBC ，AB=BC ，AC=22 ，AA1=2 点E 为A1C1 的中点，点F 在BC 的延长线上且CF=14BC ，则异面直线BE 与C1F 所成的角为( )A.90 B.60 C.45 D.30答案： B解析：在三棱柱ABC-A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，ABBC ，故以BC，BA ，BB1 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系.因为AB=BC ，AC=22 ，AA1=2

5、，所以AB=BC=2, 所以A1(0,2,2) ，C1(2,0,2) ，E(1,1,2) ，C(2,0,0) ，B(0,0,0) ，又CF=14BC ，所以CF=14(2,0,0)=(12,0,0) ，故C1F=C1C+CF=(0,0,-2)+(12,0,0)=(12,0,-2) ，BE=(1,1,2) ，所以cos=BEC1F|BE|C1F|=12-2414+2=-323=-12 ，所以向量BE,C1F 的夹角为120 ，又异面直线BE 与C1F 所成角的取值范围是(0,2 ，所以异面直线BE 与C1F 所成的角为60 .10.如图，PA 平面ABC ，ACBC ，PA=AC=1 ，BC=2

6、 ，则平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为 .答案：33素养提升练11.（多选题）（2020辽宁丹东高二期末）在正三棱柱A1B1C1-ABC 中，AA1=3AB ，则( )A.AC1 与底面ABC 所成角的正弦值为12B.AC1 与底面ABC 所成角的正弦值为32C.AC1 与侧面AA1B1B 所成角的正弦值为34D.AC1 与侧面AA1B1B 所成角的正弦值为134答案：B ; C解析：取A1C1 的中点E ，AC 的中点F ，连接EF ，EB1 则EB1 ，EC1 ，EF 两两垂直，则以E 为原点，EB1 ，EC1 ，EF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标

7、系，设AB=2 ，则AA1=23 .A1(0,-1,0) ，C1(0,1,0) ，A(0,-1,23) ，C(0,1,23) ，B1(3,0,0) ，AC1=(0,2,-23) ，底面ABC 的一个法向量为m=(0,0,23) ，AC1 与底面ABC 所成角的正弦值为|cosm,AC1|=|mAC1|m|AC1|=|-12423|=32 ，A 错，B对;取A1B1 的中点K ，K 的坐标为(32,-12,0) ， 侧面AA1B1B 的一个法向量为KC1=(-32,32,0)AC1 与侧面AA1B1B 所成角的正弦值为|cosAC1,KC1|=|AC1KC1|AC1|KC1|=343=34 ，故

8、C对，D错.12.（2021山东济宁高二期末）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中，四边形ABCD 为平行四边形，BC=BD=1 ，AB=2 ，直线CC1 与平面A1BD 所成角的正弦值为33 .（1）求点C1 到平面A1BD 的距离;（2）求平面A1BD 与平面C1BD 夹角的余弦值.答案：（1）因为BC=BD=1 ，AB=2 ，所以DBC=90 ，所以ADB=90 ，建立如图所示的空间直角坐标系，设DD1=a ，则D(0,0,0) ，A1(1,0,a) ，B(0,1,0) ，C(-1,1,0) ，C1(-1,1,a) ，所以DA1=(1,0,a) ，DB=(0,1,0) ，CC1

9、=(0,0,a) ，设平面A1BD 的法向量为n1=(x1,y1,z1) ，则n1DA1=0,n1DB=0, 即x1+az1=0,y1=0, 所以n1=(a,0,-1) ，所以|cosn1,CC1|=|-a|aa2+1=33 ，解得a=2 （负值舍去），所以n1=(2,0,-1) ，DC1=(-1,1,2) ，所以点C1 到平面A1BD 的距离为|DC1n1|n1|=223=263 .（2）设平面C1BD 的法向量为n2=(x2,y2,z2) ，则n2DC1=0,n2DB=0, 即-x2+y2+2z2=0,y2=0, 所以n2=(2,0,1) ，所以cosn1,n2=133=13 .由题图可得

10、平面A1BD 与平面C1BD 的夹角为锐角，所以平面A1BD 与平面C1BD 夹角的余弦值为13 .13.（2020福建漳州高二第二次质检）如图，在三棱台ABC-A1B1C1 中，AA1=AB=CC1=2 ，A1B=6 ，AA1C=ABC=90 ，ACB=30 .（1）证明：ACA1B ；（2）求平面ACC1 与平面BCC1B1 夹角的余弦值.答案： （1）过A1 作A1OAC 交AC 于点O ，连接BO ，因为ABC=90 ，AB=2 ，ACB=30 ，所以AC=4 ，所以BO=3 ，同理可得A1O=3 ，因为A1B=6，所以A1O2+BO2=A1B2 ，所以A1OBO .以O 为原点，OB

11、 ，OC ，OA1 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，易知OC=3 ，所以A(0,-1,0) ，B(3,0,0) ，C(0,3,0) ，C1(0,2,3) ，A1(0,0,3) .证明：易知AC=(0,4,0) ，A1B(3,0,-3) ，所以ACA1B=03+40+0(-3)=0, 所以ACA1B ，所以ACA1B .（2）易知BC=(-3,3,0) ，CC1=(0,-1,3) ，设n1=(x，y，z) 是平面BCC1B1 的法向量，则n1BC=0,n1CC1=0, 即-3x+3y=0,-y+3z=0,取y=3 ，则x=3 ，z=1 ，所以n1=(3,3

12、,1) ，易知平面ACC1 的一个法向量为n2=(1,0,0) ，则cosn1,n2=n1n2|n1|n2|=31313 ，所以平面ACC1 与平面BCC1B1 夹角的余弦值为31313 .14.（2021广东深圳外国语学校高二月考）如图，在三棱锥M-ABC 中，MAC 为等边三角形，MB=22 ，AB=BC=2 ，AC 的中点O 为三角形ABC 的外接圆的圆心，点N 在边BC 上，且BN=23BC .（1）求BO 与平面AMC 所成的角；（2）求平面AMN 与平面AMC 夹角的正弦值.答案： （1）连接OM ，在ABC 中，由AC 的中点O 为三角形ABC 的外接圆的圆心，AB=BC=2 可

13、知，三角形ABC 为等腰直角三角形，所以AC=22 ，OBAC ，且OB=2 .在MAC 中，MA=MC=AC=22 ，O 为AC 的中点，则OMAC ，且OM=6 .在MOB 中，满足BO2+OM2=MB2 ，所以OBOM ，又ACOM=O ，AC ，OM 平面AMC ，所以OB 平面AMC ，故BO 与平面AMC 所成的角为90 .（2）因为OB ，OC ，OM 两两垂直，所以以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,-2,0) ，B(2,0,0) ，C(0,2,0) ，M(0,0,6) ，所以AM=(0,2,6) ，BC=(-2,2,0) ，由BN=23BC 得BN=23

14、BC ，所以N(23,223,0) ，则AN=(23,523,0) ，设平面AMN 的法向量为m=(x,y,z) ，则ANm=23x+523y=0,AMm=2y+6z=0,令y=3 ，得m=(-53,3,-1) ，由（1）知BO 平面AMC ，所以OB=(2,0,0) 为平面AMC 的一个法向量，所以cosm,OB=mOB|m|OB|=-56792=-5379 ，所以sinm,OB=1-(-5379)2=279=27979 .故平面AMN 与平面AMC 夹角的正弦值为27979 .创新拓展练15.如图，E 是以AB 为直径的半圆O 上异于A、B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于圆O 所在的

15、平面，且AB=2AD=2 .（1）求证：EAEC ；（2）若异面直线AE 和DC 所成的角为6 ，求平面DCE 与平面AEB 夹角的余弦值.命题分析 考查了空间中线线垂直的证明和平面与平面夹角的求解.答题要领 （1）由面面垂直的性质可证得BCEA ，再根据线面垂直的判定定理和性质定理可证得.（2）取AB 的中点F ，连接OF ，以点O 为坐标原点，OF 所在的直线为x 轴，OB 所在的直线为y 轴，过点O 作与BC 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系Oxyz .先求两平面的法向量，再利用向量法求平面DCE 与平面AEB 夹角的余弦值.详细解析（1）证明：易知BCAB ， 平面ABCD 垂直于

16、圆O 所在的平面，且两平面的交线为AB,BC 平面ABCD,BC 垂直于圆O 所在的平面.又EA 在圆O 所在的平面内，BCEA .AB 为圆O 的直径，AEB=90 ，BEEA ，又BCBE=B,BC,BE 平面EBC ，EA 平面EBC ，EC 平面EBC ，EAEC .（2）取ABF ，连接OF ，以点O 为坐标原点，OF 所在的直线为x 轴，OB 所在的直线为y 轴，过点O 作与BC 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系Oxyz .由异面直线AE 和DC 所成的角为6 ，ABDC 知BAE=6 ，OBE=3 ，E(32,12,0) ，由题设可知D(0,-1,1) ，C(0,1,1) ，DE=(32,32,-1) ，CE=(32,-12,-1) .设平面DCE 的法向量为p=(x0,y0,z0) ，则DEp=0CEp=0, 即32x0+32y0-z0=0,32x0-12y0-z0=0,取x0=2, 得y0=0 ，z0=3p=(2,0,3) .易知平面AEB 的一个法向量为q=(0,0,1) ，cosp,q=pq|p|q|=322+(3)2=217 .故平面DCE 与平面AEB 夹角的余弦值217 .解题感悟 通常利用向量法解决两平面的夹角问题.