2022版新教材数学人教B版选择性必修第一册学案：2-4 曲线与方程 WORD版含答案.docx

1、2.4 曲线与方程课标解读课标要求素养要求1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法.1.数学抽象能通过具体的实例理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.2.数学运算能掌握求动点的轨迹方程的常见方法.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一曲线的方程与方程的曲线一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系：（1）曲线C上的 点的坐标都是方程F(x,y)=0的解；（2）以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上，则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线，方程F(x,

2、y)=0为曲线C的方程.要点二动点的轨迹方程1.轨迹方程就像直线可以看成动点做 直线运动的轨迹，圆可以看成动点做 圆周运动的轨迹一样，曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程.2.求动点M轨迹方程的一般步骤（1）设动点M的坐标为(x,y)（如果没有平面直角坐标系，需建立）；（2）写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用 M的坐标表示出来；（3）化简并检验所得方程是不是M的轨迹方程.自主思考1.如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”会出现什么情况？你能举例说明吗？答案：提示有可能曲线上的点的坐标不一定满足方程y=1-x2，此

3、时方程y=1-x2不是曲线C的方程.2.求动点的轨迹方程与求其轨迹有何区别？答案：提示求动点的轨迹方程得出方程即可，而求动点的轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形.3.求轨迹方程时，根据一个已知的平面图形建立的坐标系是唯一的吗？答案：提示不是唯一的，一般以得到的曲线方程最简单为标准. 名师点睛对曲线的方程与方程的曲线的定义的四点说明：定义中的条件（1）说明曲线上没有点的坐标不是方程的解，即曲线上每个点的坐标都符合这个条件定义中的条件（2）说明符合条件的所有解构成的点都应在曲线上定义的实质是平面曲线上的点集M|p(M)和方程F(x,y)=0的解集(x,y)|F(x,y)=0之间是一一对应

4、的关系，因此平面曲线可以理解为平面内符合某种条件的点的集合从集合角度看，若设曲线C上的点的坐标组成集合A，以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点组成集合B，则AB且BA，所以A=B互动探究关键能力探究点一曲线的方程与方程的曲线的概念的理解及应用精讲精练例（1）方程x-1ln(x2+y2-1)=0所表示的曲线的形状是( )A.B.C.D.（2）“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2x ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：（1）D（2）B解析：（1）因为方程x-1ln(x2+y2-1)=0，所以可得x-1=0或ln(x2+y2

5、-1)=0，即x=1或x2+y2=2，又x1且y0，所以曲线为直线x=1(y0)与圆x2+y2=2在直线x=1(y0)的右边的部分构成，故选D.（2）y2=4x，=2x或y=-2x，故点M在曲线y2=4x上，但不一定在曲线y=-2x上，点M的坐标不一定满足方程y=-2x；反过来，点M的坐标满足方程y=-2x，则点M一定在曲线y=-2x上，故也一定在曲线y2=4x上， “点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2x ”的必要不充分条件，故选B.解题感悟曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，

6、称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程迁移应用1.（多选）命题“曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解”是真命题，则下列命题中不正确的是( )A.方程F(x,y)=0的曲线是CB.方程F(x,y)=0的曲线不一定是曲线CC.F(x,y)=0是曲线C的方程D.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上答案：A ; C ; D解析：曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解，但以方程F(x,y)=0的解为坐标的点不一定在曲线C上，故A，C，D都不正确，B正确2.若曲线y2-xy+2x+k=0过点(a,-a)(aR)，求k的取值范围.答案：曲线y2

7、-xy+2x+k=0过点(a,-a)，a2+a2+2a+k=0，k=-2a2-2a=-2(a+12)2+12 .k12，k的取值范围是(-,12 .探究点二曲线的交点精讲精练例已知曲线C1:2x-5y+5=0，C2:y=-10x，判断两曲线有无交点若有交点，求出交点坐标；若无交点，请说明理由答案：建立方程组2x-5y+5=0,y=-10x,由消去y，得2x2+5x+50=0，=25-42500，因此方程无实数解，从而方程组无实数解，因此曲线C1:2x-5y+5=0与曲线C2:y=-10x无交点解题感悟结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线的交

8、点坐标的问题转化为解方程组的问题，把讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.如果只涉及曲线的一部分，那么常用到数形结合的方法迁移应用1.（2021山东日照高二期中）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=4-x2与直线y=m有且只有一个公共点，则实数m的值为 .答案： 2解析：曲线y=4-x2为以原点O(0,0)为圆心，2为半径的半圆(x轴及x轴上方），若曲线与直线y=m有且只有一个公共点，如图，则m=2 .探究点三求动点的轨迹方程精讲精练类型1 定义法求轨迹方程例1 已知圆C:(x-1)2+y2=1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.答案：如图，设OQ为过O点的一条弦，P(

9、x,y)为其中点，连接CP，则CPOQ .设M为OC的中点，则M的坐标为(12,0)，连接PM，OPC=90，|PM|=12|OC|=12，动点P在以点M(12,0)为圆心，OC为直径的圆上，故所求的轨迹方程为(x-12)2+y2=14(0x1) .类型2 直接法求轨迹方程例2 若动点P到直线x=8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍，求动点P的轨迹方程.答案：设动点P的坐标为(x,y)，则动点P到直线x=8的距离d=|x-8|，到点A的距离|PA|=(x-2)2+y2，由题意知，d=2|PA|，即|x-8|=2(x-2)2+y2，化简得3x2+4y2=48 .可以检验，上式就是动点P的轨迹

10、方程.类型3 代入法（相关点法）求轨迹方程例3 已知动点M在曲线x2+y2=1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程，并指出轨迹曲线的形状.答案：设P(x,y)，M(x0,y0)，因为P为MB的中点，所以x=x0+32y=-y02即x0=2x-3y0=2y，又因为M在曲线x2+y2=1上，所以(2x-3)2+4y2=1，即(x-32)2+y2=14，可以检验，上式就是P点的轨迹方程.因此轨迹曲线是以(32,0)为圆心，12为半径的圆.解题感悟求曲线方程的方法：（1）定义法：若能确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出曲线方程（2）直接法：当所求动点满足

11、的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程（3）代入法（相关点法）：当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点满足的条件或轨迹方程中，整理即得所求动点的轨迹方程迁移应用1.（2021上海浦东高二期末）已知定点A(-2,0)，B(2,0)和曲线y=x2+3上的动点C .（1）求线段AB的垂直平分线的方程；（2）若点G是ABC的重心，求动点G的轨迹方程.答案：（1）AB的中点的坐标为(0,0)，且A、B在x轴上关于原点对称，所以线段AB的垂直平分线即y轴，故方程为x=0 .（2）设G(x,y)，C(x1,y

12、1)，则y1=x12+3，由重心坐标公式得x=-2+2+x3y=y13，所以x1=3xy1=3y，代入y=x2+3中得3y=9x2+3，即y=3x2+1，可以检验，上式就是动点G的轨迹方程.评价检测素养提升课堂检测1.（2020山东济宁曲阜一中高二月考）下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是( )A. B. C. D.答案：D2.曲线y=1x与xy=2的交点是( )A.(1,1)B.(2,2)C.平面直角坐标系内的任意一点D.不存在答案：D3.已知两点M(-2,0)，N(2,0)，点P满足PMPN=0，则点P的轨迹方程为 .答案：x2+y2=4x4.（2021辽宁沈阳高二月考）若

13、动点P在曲线y=2x2+1上移动，则点P与点Q(0,-1)连线的中点的轨迹方程为答案：y=4x2素养演练逻辑推理曲线的方程与方程的曲线的证明1.证明：与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点构成的曲线的方程是xy=k .答案：证明 设M(x0,y0)是曲线上的任意一点.因为点M与x轴的距离为|y0|与y轴的距离为|x0|，所以|x0|y0|=k，即(x0,y0)是方程xy=k的解.设点M1(x1,y1)是方程xy=k的解，则x1y1=k,即|x1|y1|=k .而|x1|，|y1|正是点M1到y轴、x轴的距离，因此点M1到这两条坐标轴的距离的积是常数k，则点M1是曲线上的点.由可知，与两条坐标轴的距离的积为常数k(k0)的点构成的曲线的方程是xy=k .素养探究：解决此类问题要根据“曲线的方程与方程的曲线”的定义中的两个条件逐一证明，即证明曲线上的点和方程的解一一对应，据此才可证明曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程，在此过程中体现了逻辑推理的核心素养.