2022版新教材数学人教B版选择性必修第一册检测训练：1-2-4 二面角 WORD版含答案.docx

1、课时评价作业基础达标练1.若平面的一个法向量为n1=(1,0,1) ,平面的一个法向量是n2=(-3,1,3) ,则平面与所成的角等于( )A.30 B.45 C.60 D.90答案：D2.已知平面内有一个以AB为直径的圆,PA ,点C在圆周上（异于点A,B）,点D,E分别是点A在PC ,PB上的射影,则( )A.ADE是二面角A-PC-B的平面角B.AED是二面角A-PB-C的平面角C.DAE是二面角B-PA-C的平面角D.ACB是二面角A-PC-B的平面角答案：B3.在边长为a的正三角形ABC中,ADBC于点D ,沿AD折成二面角B-AD-C后,BC=12a ,这时二面角B-AD-C的大小

2、为( )A.30 B.45 C.60 D.90答案：C4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,2AC=AA1=BC=2 ,D为AA1上一点若二面角B1-DC-C1的大小为60 ,则AD的长为( )A.2 B.3C.2D.22答案：A5.（多选）在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列说法中正确的是( )A.A1C1BDB.B1C与BD所成的角为60C.二面角A1-BC-D的平面角为45D.AC1与平面ABCD所成的角为45答案：A ; B ; C解析：5.如图,对于A ,连接AC ,则ACBD,A1C1AC,A1C1BD ,故A中说法正确;对于B,连接A1D,B1CA1D,

3、B1C与BD所成的角为A1DB,A1DB为等边三角形,B1C与BD所成的角为60,故B中说法正确;对于C,BC平面A1ABB1,A1B平面A1ABB1,BCA1B,ABBC ,平面A1BC平面BCD=BC,A1B平面A1BC,AB平面BCD ,ABA1是二面角A1-BC-D的平面角,A1AB是等腰直角三角形,ABA1=45,故C中说法正确;对于D,C1C平面ABCD,AC1平面ABCD=A,C1AC是AC1与平面ABCD所成的角,ACC1C,C1AC45,故D中说法错误6.一圆柱形容器,底面半径为1,高为3,里面装有一个小球,小球的表面和圆柱侧面、下底面均相切.过圆柱上底面圆周上一点作一平面

4、,使得与小球恰好相切,则与圆柱下底面所成最小的锐二面角的正弦值为( )A.55 B.12C.22 D.35答案：D7.如图,在正四棱锥P-ABCD中,若PAC的面积与正四棱锥的侧面积的比为6:8 ,则侧面与底面所成的二面角为 .答案：3解析：7.设正四棱锥的底面边长为a ,侧面与底面所成的二面角为 ,PAC的高为h ,侧面的高为h ,则122ah412ah=68,hh=32,sin=32,即=3 .8.如图,PA平面ABC,ACBC,PA=AC=1,BC=2 ,则二面角A-PB-C的余弦值为 .答案：339.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=6,AD=23,AA1=2 .求：（1）二面

5、角B1-AC-B的大小;（2）AB1C的面积答案：（1）如图所示,过点B作BOAC,O为垂足,连接OB1 ,由三垂线定理知,ACOB1,B1OB为二面角B1-AC-B的平面角,在RtABC中,AB=6,BC=23,AC=AB2+BC2=18=32 ,OB=ABBCAC=62332=2 .又在RtB1BO中,OB=BB1=2,B1OB=4,二面角B1-AC-B的大小为4 .（2）易知cosB1OB=SABCSAB1C,又SABC=12623=32,SAB1C=SABCcosB1OB=3222=6 .10.（2021辽宁朝阳高二月考）如图,四棱锥P-BCDE中,BCDE,BC=2CD=2DE=2P

6、E=2,CE=2 ,O是BE的中点,PO平面BCDE .（1）求证：平面PBE 平面PCE ;（2）求二面角B-PC-D的正弦值.答案：（1）证明：CD=DE=1,CE=2,CE2=DE2+CD2 ,CDE=90,CED=45,BCDE,BCE=CED=45,由余弦定理得BE2=BC2+CE2-2BCCEcos45=2=BC2-CE2,CEBE ,PO平面BCDE ,POCE,POBE=O ,PO,BE平面PBE ,CE平面PBE ,CE平面PCE ,平面PBE平面PCE .（2）以O为坐标原点,过点O且平行于CD的直线为x轴,过点O且平行于BC的直线为y轴,PO所在直线为z轴,建立如图所示的

7、空间直角坐标系.由PE=1 ,OE=12BE=22 ,POBE知PO=22 ,则B(12,-12,0),C(12,32,0),D(-12,32,0),P(0,0,22) ,则CD=(-1,0,0),DP=(12,-32,22),PB=(12,-12,-22),BC=(0,2,0),设平面PCD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1) ,则n1CD=0,n1DP=0,即-x1=0,12x1-32y1-22z1=0,令z1=2,可得n1=(0,23,2) ,设平面PBC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2) ,则n2PB=0,n2BC=0,即12x2-12y2-22z1=0,2y2=0令z2=2

8、,可得n2=(2,0,2),cosn1,n2=n1n2|n1|n2|=3311,则二面角B-PC-D的正弦值为22211 .素养提升练11.（2021北京四中高二期中）E、F分别是正三角形ABC的边AB、AC的中点,沿EF把正三角形折成60的二面角（如图）,则ABC的正切值为( )A.33 B.32C.233 D.以上答案均不对答案：11. B解析：11.如图所示,取BC的中点M ,连接AM ,交EF于点N ,连接AN,AM,AC .因为三角形ABC为正三角形,所以AMBC ,又点E、F分别是BA、AC的中点,所以MNEF,ANEF ,所以ANEF ,因为MNAN=N,MN,AN平面AMN ,

9、所以EF平面AMN ,则EFAM ,所以AMBC .所以二面角A-EF-B的平面角为ANM=60 ,又AN=MN=AN ,所以AMN为正三角形.设正三角形ABC的边长为2a ,则AM=AN=12AM=32a ,所以tanABC=AMBM=32aa=32 .12.（多选）（2020山东德州第一中学高二月考）如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABBC,AB=2,BC=4,BB1=5 ,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上且靠近A1,若CEB1E ,则( )A.BE=22B.DE=6C.SACE=35D.二面角A1-B1E-D的余弦值为2121答案：B ; D解析：12.依题意可知BABC,B

10、B1BA,BB1BC ,所以以B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AE=t,52t5 ,则B(0,0,0),B1(0,0,5),C(0,4,0),A(2,0,0),E(2,0,t),A1(2,0,5),C1(0,4,5),D(1,2,5) ,所以CE=(2,-4,t),B1E=(2,0,t-5),因为CEB1E,所以CEB1E=22-40+t(t-5)=0,即t2-5t+4=0,解得t=4或t=1（舍去）,所以E(2,0,4) ,则BE=(2-0)2+(0-0)2+(4-0)2=25 ,故选项A不正确;DE=(1-2)2+(2-0)2+(5-4

11、)2=6 ,故选项B正确;因为AC=AB2+BC2=22+42=25,所以SACE=12ACAE=12254=45 ,故选项C不正确;易知平面A1B1E的一个法向量为B1C1=(0,4,0) ,设平面DB1E的一个法向量为n=(x,y,z),又B1D=(1,2,0),DE=(1,-2,-1),则B1Dn=0,DEn=0,即x+2y=0,x-2y-z=0,取y=1 ,则x=-2,z=-4 ,所以n=(-2,1,-4) ,显然二面角A1-B1E-D为锐角,所以二面角A1-B1E-D的余弦值为|B1C1n|B1C1|n|=444+1+16=2121 ,故选项D正确.13.正三角形ABC与正三角形BC

12、D所在平面垂直,则二面角A-BD-C的余弦值为 .答案：55解析：13.设O是BC的中点,连接OA,OD ,根据面面垂直的性质定理可知AO平面BCD ,DO平面ABC ,所以OA,OC,OD两两垂直.以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系,设两个正三角形的边长为2,则A(0,0,3) ,B(0,-1,0) ,D(3,0,0) .所以AB=(0,-1,-3) ,AD=(3,0,-3) .设平面ABD的一个法向量为n=(x,y,z) ,则nAB=-y-3z=0,nAD=3x-3z=0,令x=1 ,则y=-3,z=1 ,故n=(1,-3,1) .易知平面BCD的一个法向量是m=(0,0,1) .由图

13、可知二面角A-BD-C为锐角,设为 ,则cos=|mn|m|n|=15=55 .即二面角A-BD-C的余弦值为55 .14.如图,在四面体DABC中,AD=BD=AC=BC=5,AB=DC=6 .若M为线段AB上的动点（不包含端点）,则二面角D-MC-B的余弦值的取值范围是答案：(-916,916)解析：14.以AB的中点O为原点建立如图所示的空间直角坐标系,AB=DC=6,AO=3,又BC=AD=5,CO=DO=4,cosDCO=34 ,sinDCO=74 ,设点D到平面ABC的距离为d ,则d=DCsinDCO=674=632 ,又DC2-d2=36-634=924 ,D(0,-12,63

14、2) ,设M(a,0,0)(-3a3) ,易知平面MBC的一个法向量为n1=(0,0,1) ,设平面DMC的一个法向量为n2=(x,y,z) ,C(0,4,0) ,DC=(0,92,-632) ,MC=(-a,4,0) ,则n2DC=0,n2MC=092y-63zz=0-ax+4y=0令z=9,则x=463a,y=63,平面DMC的一个法向量为n2=(463a,63,9),|cosn1,n2|=91663a2+63+81=91663a2+144 ,-3a3,a29,1663a2+14416639+144=256 ,|cosn1,n2|916 ,即二面角D-MC-B的余弦值的取值范围是(-916

15、,916) .15.（2020江西景德镇一中高二期中）已知三棱锥P-ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中,四边形ABCD为边长等于2的正方形,ABE和BCF均为正三角形,在三棱锥P-ABC中:（1）证明：平面PAC平面ABC ;（2）若点M在棱PA上运动,当直线BM与平面PAC所成的角最大时,求二面角P-BC-M的余弦值.答案：（1）证明：设AC的中点为O ,连接BO,PO .如图.由题意,得PA=PB=PC=2 ,则PO=1,AO=BO=CO=1 .因为在PAC中,PA=PC ,O为AC的中点,所以POAC ,因为在POB中,PO=1,OB=1,PB=2 ,PO2+OB2=PB2,所以P

16、OOB .因为ACOB=O ,AC,OB平面ABC ,所以PO平面ABC ,因为PO平面PAC ,所以平面PAC平面ABC .（2）连接MO ,由（1）知,BOPO,BOAC ,又POAC=O ,PO,AC平面PAC ,所以BO平面PAC ,所以BMO是直线BM与平面PAC所成的角,且tanBMO=BOOM=1OM ,所以当OM最短,即M是PA的中点时,BMO最大,因为PO平面ABC ,所以POOB,POOC,又OBOC ,于是以O为原点,OC,OB,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0),C(1,0,0),B(0,1,0),A(-1,0,0),P(

17、0,0,1) ,M(-12,0,12) ,所以BC=(1,-1,0),PC=(1,0,-1),MC=(32,0,-12) .设平面MBC的一个法向量为m=(x1,y1,z1) ,由mBC=0,mMC=0,得x2-y1=0,32x1-12z1=0,令x1=1 ,得y1=1,z1=3 ,即m=(1,1,3) .设平面PBC的一个法向量为n=(x2,y2,z2) ,由nBC=0,nPC=0,得x1-y1=0,32x1-12z1=0,令x2=1 ,得y2=1,z2=1 ,即n=(1,1,1) .则cosm,n=mn|m|n|=533=53333 .由图可知,二面角P-BC-M为锐角,故余弦值为5333

18、3 .创新拓展练16.（2020江苏扬州大学附属中学高二月考）如图所示,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,ADCD,ABCD,AB=AD=12CD=2 ,EM=EC(01).（1）当=12时,求证：BM平面ADEF ;（2）若平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为3838 ,求的值解析：命题分析本题以不规则几何体为载体,考查线面平行的证明和根据二面角的大小求参数值,同时考查学生运算能力和分析问题、解决问题的能力.答题要领（1）取DE的中点N ,连接MN、AN ,证明出四边形ABMN为平行四边形,可得出BMAN ,利用线面平行的判定定理可得出BM平面ADEF .（2）证明DE

19、平面ABCD,然后以点D为坐标原点,DA、DC、DE所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,分别求出平面BDM、平面ABF的一个法向量,利用空间向量法可得出关于实数的等式,由此可解得实数的值.答案：详细解析（1）证明：取DE的中点N ,连接MN、AN ,如图.当=12时,M为EC的中点,又N是DE的中点,MNCD且MN=12CD ,ABCD且AB=12CD ,MNAB且MN=AB ,四边形ABMN是平行四边形,BMAN ,AN平面ADEF,BM平面ADEF ,BM平面ADEF .（2）四边形ADEF为正方形,DEAD,平面ADEF平面ABCD ,平面ADEF平面ABCD=AD,DE平面A

20、DEF ,DE平面ABCD,DECD ,又ADCD ,以点D为坐标原点,DA、DC、DE所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.则D(0,0,0),B(2,2,0),E(0,0,2),C(0,4,0) ,EC=(0,4,-2),DE=(0,0,2),DB=(2,2,0) ,EM=EC=(0,4,-2)(01) ,则DM=DE+EM=(0,0,2)+(0,4,-2)=(0,4,2-2) ,设平面BDM的一个法向量为n=(x,y,z) ,则nDB=0,nDM=0,即2x+2y=0,4y+(2-2)z=0,令y=-1 ,可得x=1-,z=2 ,平面BDM的一个法向量为n=(1-,-1

21、,2) ,易知m=(1,0,0)为平面ABF的一个法向量,由题意可得|cosm,n|=|mn|m|n|=|1-|2(1-)2+42=3838 ,即82-18+9=0 ,即(2-3)(4-3)=0 ,解得=34或=32 ,又01 ,=34 .即当=34时,平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为3838 .方法感悟利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系,写出二面角对应的两个半平面中对应点的坐标;（2）设出法向量,根据法向量垂直于平面内两条相交直线的方向向量,求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面,则直接取法向量即可）;（3）计算两个法向量的余弦值,结合立体图形中二面角的实际情况,判断二面角是锐角还是钝角,从而得到二面角的余弦