2022版新教材高中数学 第2章 圆与方程 本章达标检测（含解析）苏教版选择性必修第一册.docx

1、本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.方程x2+y2+2x+4y+1=0表示的圆的圆心坐标为()A.(2,4)B.(-2,-4)C.(-1,-2)D.(1,2)2.若圆心坐标为(2,-1)的圆截直线x-y-1=0所得的弦长为22,则这个圆的方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=2B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x-2)2+(y+1)2=8D.(x-2)2+(y+1)2=163.如果实数x、y满足x2+y2-6x+4=0,那么yx的最大值是()A.23B.255C.

2、53D.524.赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥,因赵县古称赵州而得名.赵州桥始建于隋代,是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的石拱桥.小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的圆拱桥,已知在某个时间段这座桥的水面跨度是20米,拱顶离水面4米,当水面上涨2米后,桥在水面的跨度为()A.10米B.102米C.66米D.65米5.若圆x2+y2-2ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称,过点C(-2a,a)的圆P与y轴相切,则圆心P的轨迹方程为()A.y2-4x+4y+8=0B.y2+2x-2y+2=0C.y2-2x-y-1=0D.y2+4x-2y+5=06

3、.若圆M:x2+y2+ax+by-ab-6=0(a0,b0)平分圆N:x2+y2-4x-2y+4=0的周长,则2a+b的最小值为()A.8B.9C.16D.207.已知圆C的圆心为原点O,且与直线x+y+42=0相切.点P在直线x=8上,过点P引圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如图所示,则直线AB恒过的定点的坐标为()A.(2,0)B.(0,2)C.(1,0)D.(0,1)8.已知实数x、y满足x2+(y-2)2=1,则=x+3yx2+y2的取值范围是()A.(3,2B.1,2C.(0,2D.32,1二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个

4、选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.已知圆C1:(x-2cos )2+(y-2sin )2=1与圆C2:x2+y2=1,则下列说法正确的是()A.对于任意的,圆C1与圆C2始终相切B.对于任意的,圆C1与圆C2始终有四条公切线C.当=6时,圆C1被直线l:3x-y-1=0截得的弦长为3D.P,Q分别为圆C1与圆C2上的动点,则PQ的最大值为410.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,则下列命题正确的是()A.直线l恒过定点(3,1)B.y轴被圆C截得的弦长为46C.直线l与圆C恒相交D.直线l被圆

5、C截得的弦长最长时,直线l的方程为2x-y-5=011.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则下列说法错误的是()A.y-x的最大值为6-2B.x2+y2的最大值为7+43C.yx的最大值为32D.x+y的最大值为2+312.如果A(2,0),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0),CD是以OD为直径的圆上一段圆弧,CB是以BC为直径的圆上一段圆弧,BA是以OA为直径的圆上一段圆弧,三段弧构成曲线,那么下面说法正确的是()A.曲线与x轴围成的图形的面积为32B.CB与BA的公切线方程为x+y-2-1=0C.BA所在圆与CB所在圆的交点弦所在直线的方程为x-y=0D.直线y=x

6、截CD所在圆所得的弦长为22三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.已知点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,则a的取值范围为.14.设集合A=(x,y)|x2+(y-1)2=1,B=(x,y)|(x-t)2+y2=9,且AB,则实数t的取值范围是.15.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:x2+y2=2,圆C2:(x-17)2+(y-17)2=8,若过第四象限的直线l是两圆的公切线,且两圆在公切线的同一侧,则直线l的方程为.16.如图所示,已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动

7、直线l与圆A交于M,N两点,Q是MN的中点,直线l与l1交于点P.(1)当|MN|=219时,直线l的方程为;(2)BQBP=.(第一个空3分,第二个空2分)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知圆C的方程为x2+y2-2x+4y+1=0.(1)求圆C的圆心坐标及半径;(2)若直线l经过(2,0),并且被圆C截得的弦长为23,求直线l的方程.18.(本小题满分12分)已知圆C:x2+y2+mx+my-4=0关于直线x+y+1=0对称.(1)求圆C的标准方程;(2)是否存在直线与圆C相切,且在x轴,y轴上的截距相等?若存

8、在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.19.(本小题满分12分)如图,已知ABC的AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,M(2,0)满足BM=MC,点T(-1,1)在AC边所在直线上且满足ATAB=0.(1)求AC边所在直线的方程;(2)求ABC外接圆的方程;(3)求过点N(-2,0)的ABC外接圆的切线方程.20.(本小题满分12分)已知圆C的圆心在x轴上,且圆C经过点A(-1,0),B(1,2).(1)求线段AB的垂直平分线的方程;(2)求圆C的标准方程;(3)已知直线l:y=kx+1与圆C相交于M、N两点,且MN=22,求直线l的方程.21.(本小题满分12分)已知圆C:(x+3

9、)2+(y-4)2=16,直线l:(2m+1)x+(m-2)y-3m-4=0(mR).(1)若圆C截直线l所得的弦AB的长为211,求m的值;(2)若圆C与直线l相离,设MN为圆C的动直径,作MPl,NQl,垂足分别为P,Q,当m变化时,求四边形MPQN面积的最大值.22.(本小题满分12分)为解决城市的拥堵问题,某城市准备对现有的一条穿城公路MON进行分流,已知穿城公路MON自西向东到达城市中心点O后转向东北方向即AOB=34.现准备修建一条城市高架道路L,L在MO上设一出入口A,在ON上设一出入口B.假设高架道路L在AB部分为直线段,且要求市中心O到直线AB的距离为10 km.(1)求两站

10、点A,B之间距离的最小值;(2)公路MO段上距离市中心30 km处有一古建筑群C,为保护古建筑群,设立一个以C为圆心,5 km为半径的圆形保护区,问如何在古建筑群C和市中心O之间设计出入口A,才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区(不包括临界状态)?答案全解全析基础过关练一、单项选择题1.C由x2+y2+2x+4y+1=0可得(x+1)2+(y+2)2=4,所以圆心坐标为(-1,-2).故选C.2.B设圆的半径为r,圆心到直线x-y-1=0的距离d=|2+1-1|2=2,2r2-d2=2r2-2=22,解得r2=4,圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.故选B.3.Dx2+y2-6x+4=

11、0即(x-3)2+y2=5,它表示圆心为(3,0),半径为5的圆,yx的几何意义是圆上一点(x,y)与点(0,0)连线的斜率,当过原点的直线与圆相切时,斜率最大,即yx最大,令此时直线的倾斜角为,则tan =52,即yx的最大值为52,故选D.4.C根据题意,建立圆拱桥模型,如图所示.设圆O半径为R米,当水面跨度是20米,拱顶离水面4米时,水面为AB,M为线段AB的中点,即AB=20米,OM=(R-4)米,利用勾股定理可知,AM2=AB22=OA2-OM2,即100=R2-(R-4)2,解得R=292,当水面上涨2米后,即水面到达CD,N为线段CD的中点,此时ON=(R-2)米,故CD=2CN

12、=2R2-(R-2)2=66(米).故选C.5.D由条件可知x2+y2-2ax+2y+1=0的半径为1,并且两已知圆圆心连线的斜率是-1,由x2+y2-2ax+2y+1=0得(x-a)2+(y+1)2=a2,其圆心为(a,-1),半径为|a|,所以-1a=-1,a2=1,解得a=1,即C(-2,1).设P(x,y),由条件可知PC=|x|,即(x+2)2+(y-1)2=|x|,两边平方后,整理得y2+4x-2y+5=0.故选D.6.A两圆方程相减得(a+4)x+(b+2)y-ab-10=0,此为相交弦所在直线的方程,圆N的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1,圆心为N(2,1),代入相交弦

13、所在直线的方程,得2(a+4)+b+2-ab-10=0,则1a+2b=1,因为a0,b0,所以2a+b=(2a+b)1a+2b=4+ba+4ab4+2ba4ab=8,当且仅当ba=4ab,即a=2,b=4时,等号成立.故选A.7.A依题意得圆C的半径r=4212+12=4,所以圆C的方程为x2+y2=16.因为PA,PB是圆C的两条切线,所以OAAP,OBBP,所以A,B在以OP为直径的圆上,设点P的坐标为(8,b),bR,则线段OP的中点坐标为4,b2,所以以OP为直径的圆的方程为(x-4)2+y-b22=42+b22,bR,化简得x2+y2-8x-by=0,bR,因为AB为两圆的公共弦,所

14、以直线AB的方程为8x+by=16,bR,即8(x-2)+by=0,所以直线AB恒过定点(2,0).8.B如图所示:设P(x,y)为圆x2+(y-2)2=1上的任意一点,则点P到直线x+3y=0的距离PM=x+3y2,点P到原点的距离为PO=x2+y2,所以=x+3yx2+y2=2PMPO=2sinPOM,设圆x2+(y-2)2=1与直线y=kx相切,则2k2+1=1,解得k=3,所以POM的最小值为30,最大值为90,所以12sinPOM1,所以1=2sinPOM2.故选B.二、多项选择题9.ACD由已知得C1(2cos ,2sin ),C2(0,0),C1C2=(2cos)2+(2sin)

15、2=2,两圆半径之和为1+1=2,故两圆始终外切,始终有三条公切线,A正确,B错误;当=6时,C1(3,1),C1到已知直线l的距离d=|33-1-1|(3)2+(-1)2=12,则弦长为212-122=3,C正确;由于两圆外切,且C1C2=2,因此PQmax=C1C2+1+1=4,D正确.故选ACD.10.ABC直线l的方程整理得m(2x+y-7)+x+y-4=0,由2x+y-7=0,x+y-4=0,解得x=3,y=1,所以直线l恒过定点(3,1),A正确;在圆C的方程中,令x=0,得1+(y-2)2=25,解得y=226,则y轴被圆C截得的弦长为46,B正确;(3-1)2+(1-2)2=5

16、0),则|b-1|2=1,解得b=2+1,所以直线l:x+y-2-1=0,故B正确;将BA所在圆与CB所在圆的方程相减,得交点弦所在直线的方程为x-y=0,故C正确;CD所在圆的圆心为(-1,0),(-1,0)到直线y=x的距离d=22,所以直线y=x截CD所在圆所得的弦长为21-222=2,故D错误.故选BC.三、填空题13.答案2,94解析因为点A(a,2)在圆的外部,所以a2+22-2a2-32+a2+a0,(-2a)2+(-3)2-4(a2+a)0,所以2a0,即圆(x-t)2+y2=9的圆心在原点右侧时,实数t的取值范围为3,15;当t0).由圆的性质,得圆心C(a,0)在直线CD上

17、,则0=-a+1,解得a=1,(6分)所以圆心C(1,0),r=CA=1-(-1)=2,所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.(8分)(3)设F为线段MN的中点,则CFl,FM=FN=2.设圆心C到直线l的距离为d,则d=CF=4-(2)2=2,(10分)又d=|k1+1|k2+1,所以k=1,所以直线l的方程为y=x+1.(12分)21.解析(1)圆C的圆心为C(-3,4),半径r=4,由弦AB的长为211,得点C到直线l的距离d=r2-AB22=42-(11)2=5,(2分)又d=|(2m+1)(-3)+(m-2)4-3m-4|(2m+1)2+(m-2)2=5|m+3|m2+1,所以

18、5|m+3|m2+1=5,解得m=-43.(4分)(2)直线l的方程(2m+1)x+(m-2)y-3m-4=0可化为(2x+y-3)m+x-2y-4=0,由2x+y-3=0,x-2y-4=0,解得x=2,y=-1.(6分)则直线l过定点(2,-1),记D(2,-1),当m变化时,直线l绕点D转动,作CEl,垂足为E,由已知得,四边形MPQN为梯形(或矩形),PQ为高,CE为中位线,故S四边形MPQN=12(MP+NQ)PQ=CEPQCEMN=8CE8CD=402,(9分)当且仅当MNl且CDl时,等号全部成立,由CDl得klkCD=-1,即2m+1m-2=-1,解得m=13,故当m=13时,四

19、边形MPQN的面积取得最大值,最大值为402.(12分)22.解析(1)过点O作OEAB于点E,则OE=10 km,设AOE=,则42,所以BOE=34-,所以AB=AE+BE=10tan +10tan34-=52coscos34-(km).(2分)因为cos cos34-=12sin2-4-24,40,t0),则|t|1+k2=10,|-30k+t|1+k25,(6分)解得t60k(舍去),故OA20 km,(8分)又当ABON时,OA=102 km,所以102 kmOA20 km.(10分)综上,当102 kmOA20 km时,即设计出入口A离市中心O的距离在102km到20 km之间时,才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区(不包括临界状态).(12分)