2022版新教材高中数学 第3章 圆锥曲线与方程 1.docx

1、椭圆的几何性质基础过关练题组一由椭圆的标准方程探究其几何性质1.(2020江苏南京天印高级中学高二上学期10月学情调研)椭圆x2+y28=1的短轴长为()A.6B.3C.1D.22.点A(a,1)在椭圆x24+y22=1的内部,则a的取值范围是()A.(-,-2)(2,+)B.(-2,2)C.-2,2D.(-2,2)3.2021新高考八省(市)1月联考椭圆x2m2+1+y2m2=1(m0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若F1AF2=3,则m=()A.1B.2C.3D.24.(2021江苏扬州邗江中学高二上学期期中)椭圆x225+y29=1和椭圆x29-k+y225-k=1(0kb0)的长轴,

2、若把线段AB100等分,过每个分点作AB的垂线,依次交椭圆的上半部分于P1、P2、P99,F1为椭圆的左焦点,则F1A+F1P1+F1P2+F1P99+F1B的值是()A.99aB.100aC.101aD.102a题组二由椭圆的几何性质求标准方程6.(2020江苏南通通州、海安高二上学期期末)椭圆以坐标轴为对称轴,经过点(3,0),且长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的标准方程为()A.x29+4y29=1B.y236+x29=1C.x29+4y29=1或y236+x29=1D.x29+4y29=1或y29+4x29=17.(2021江苏徐州沛县高二上学期第一次学情调研)过点(2,3),焦点在x轴上

3、且与椭圆x24+y23=1有相同的离心率的椭圆方程为()A.x26+y24=1B.x216+y212=1C.x212+y29=1D.x28+y26=18.(2021江苏扬州仪征中学高二上学期期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为33,过F2的直线交椭圆C于A,B两点,若AF1B的周长为43,则椭圆C的标准方程为()A.x23+y22=1B.x23+y2=1C.x212+y28=1D.x212+y24=19.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点P1,32,离心率为12,求椭圆C的标准方程.题组三求椭圆离心率的

4、值(或范围)10.(2021江苏镇江大港中学高二上学期10月学情检测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),若a=3b,则C的离心率为()A.63B.23C.33D.22311.(2020江苏连云港东海高二上学期期中)在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2m2+4+y23=1(mR)的离心率的取值范围为()A.0,12B.22,1C.12,1D.13,1212.(2021江苏盐城响水中学高二上学期期中)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为()A.14B.13C.12D.3413.(2021江苏南京航空航天大学附属中学高三上学期期中)P

5、是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上的一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点P到原点O的距离为焦距的一半,且PF1-PF2=a,求椭圆的离心率.题组四椭圆几何性质的应用14.(2021江苏南京人民中学高二上学期9月月考)某同学数星星的时候,突然想到了哈雷彗星,于是上网找到了哈雷彗星图片及其轨道图片,如图.经查阅相关资料得知:在1986年2月9日出现的哈雷彗星轨道的近日点距离太阳约0.6A.U.(A.U.是天文单位,是天文学中计量天体之间距离的一种单位,其数值取地球和太阳之间的平均距离,1A.U.=149597870700米),将于2023年12月9日出现的哈雷彗星轨道远日点距离太阳约3

6、5A.U.,哈雷彗星的周期约76年,质量约1015kg.如果哈雷彗星轨道可以近似看成椭圆,那么该椭圆的离心率约是()A.1.03B.0.97C.0.83D.0.7715.若椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为35,两焦点分别为F1,F2,M为椭圆上一点,且F1F2M的周长为16,则椭圆C的方程为 ()A.x216+y225=1B.x225+y29=1C.x29+y225=1D.x225+y216=116.(多选)(2021江苏徐州第一中学高二上学期期中)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,如图所示,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地

7、面最远的点)距地面n千米,并且F、A、B三点在同一直线上,地球半径约为R千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c,则()A.a-c=m+RB.a+c=n+RC.2a=m+nD.b=(m+R)(n+R)17.(2020广东惠州高二上期末)椭圆x29+y225=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,则m的最大值为,此时点P的坐标为.能力提升练题组一椭圆的几何性质及其应用1. (2021江苏南通中学高二上学期期中,)椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上的动点,若a=2b,则满足F1PF2=90的点P的个数为()A.2B.4C.0D.12

8、. (2020江苏南通启东中学高二下学期期初,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点分别为F1、F2,若椭圆上存在点P使得F1PF2是钝角,则椭圆离心率的取值范围是()A.0,22B.22,1C.0,12D.12,13.(2021江苏扬州仪征中学、江都中学高二上学期期中联考,)已知A、B为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点,C(0,b),直线l:x=2a与x轴交于点D,与直线AC交于点P,且PB平分APD,则此椭圆的离心率为()A.13B.23C.23D.634.(2020江苏南通高二上学期教学质量调研(二),)已知椭圆C:x24+y23=1的右焦点为F,若过F的直

9、线l与椭圆C交于A,B两点,则AFBF的取值范围是()A.14,2B.14,3C.13,3D.12,25.(多选)()若椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1b10)和椭圆C2:x2a22+y2b22=1(a2b20)的离心率相同,且a1a2,则下列结论正确的是()A.椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点B.a1a2=b1b2C.a12-a22b12-b22D.a1-a2b0)的右焦点为F,O为坐标原点.过点F的直线2x+y-4=0与椭圆的交点为Q(点Q在x轴上方),且OF=OQ,则椭圆C的离心率为.题组二椭圆几何性质的综合应用7.(2021江苏南京高二上学期期中,)如图,已知圆柱的底面半径为

10、2,与圆柱底面成60角的平面截这个圆柱得到一个椭圆,则该椭圆的焦距为()A.22B.23C.42D.438.()已知点P(x,y)(x0,y0)是椭圆x216+y28=1上的一个动点,F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,O是坐标原点,若M是F1PF2的平分线上的一点(不与点P重合),且F1MPM=0,则|OM|的取值范围为()A.0,3)B.(0,22)C.22,3)D.0,49.(多选)(2021 江苏泰州中学上学期期中,)设椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C上一动点,则下列说法中正确的是()A.当点P不在x轴上时,PF1F2的周长是6B.当点P不在x轴上时,

11、PF1F2面积的最大值为3C.存在点P,使PF1PF2D.PF1长的取值范围是1,310.()黄金分割比例5-12具有严格的比例性、艺术性、和谐性,蕴含着丰富的美学价值.这一比值能够引起人们的美感,是建筑和艺术中最理想的比例.我们把离心率e=5-12的椭圆称为“黄金椭圆”,则以下四种说法:椭圆x22+y25+1=1是“黄金椭圆”;若椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(c,0),且满足b2=ac,则该椭圆为“黄金椭圆”;设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,上顶点为B,右顶点为A,若ABF=90,则该椭圆为“黄金椭圆”;设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右顶

12、点分别是A,B,左,右焦点分别是F1,F2,若F1F22=AF1F1B,则该椭圆为“黄金椭圆”.其中说法正确的个数为()A.1B.2C.3D.411.(多选)()如图所示,某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长,则下列式子正确的是()A.a1+c1=a2+c2B.a1-c1=a2-c2C.a2c1c2a1D.c1a1b0)的离心

13、率e=22,过椭圆的左焦点F且倾斜角为30的直线m与圆x2+y2=b2相交所得弦长为3.(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在过点P(0,3)的直线l与椭圆C交于A、B两点,且PA=2AB?若存在,求直线l的方程;若不存在,说明理由.13.(2020福建三明高二上期末,)利用圆的面积公式可以类比得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的面积为23,两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点P(1,0)的直线l与C交于不同的两点A,B,求OAB面积的最大值.答案全解全析基础过

14、关练1.D由椭圆的标准方程知b2=1,即b=1,所以椭圆的短轴长为2b=2,故选D.2.B由题意得a24+121,即a22,解得-2a0,b0).当椭圆的焦点在x轴上时,a=3,则b=a2=32,所以椭圆方程为x29+4y29=1.当椭圆的焦点在y轴上时,b=3,则a=2b=6,所以椭圆方程为y236+x29=1.故选C.7.D设所求椭圆方程为x24+y23=(0),将点(2,3)代入可得44+33=,即=2,所以所求椭圆方程为x28+y26=1.故选D.8.A已知AF1B的周长为43,则AB+AF1+BF1=AF2+BF2+AF1+BF1=4a=43,所以a=3,又e=ca=33,所以c=1

15、,所以b2=a2-c2=2,所以椭圆C的标准方程为x23+y22=1.故选A.9.解析e=ca=12,a2-b2a2=14,b2=34a2,将点P1,32代入椭圆方程得1a2+9434a2=1,解得a2=4,b2=3,椭圆C的标准方程为x24+y23=1.10.D因为a=3b,a2=b2+c2,所以a2=a29+c2,整理可得c2a2=89,所以e=ca=223.故选D.11.C由题意可得a2=m2+4,c2=m2+4-3,所以e2=c2a2=m2+4-3m2+4=1-3m2+41,当m=0时,(e2)min=14,故14e21,整理得12eb0),不妨设直线l经过椭圆的上顶点和右焦点,则直线

16、方程为xc+yb=1,由椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,可得11c2+1b2=b2,4=b21c2+1b2,b2c2=3,即a2-c2c2=3,e=ca=12,故选C.13.解析因为P是椭圆上一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,所以PF1+PF2=2a,而PF1-PF2=a,则PF1=32a,PF2=12a,又因为点P到原点O的距离为焦距的一半,即PO=OF1=OF2,所以三角形PF1F2为直角三角形,则PF12+PF22=F1F22,即32a2+12a2=(2c)2,解得c2a2=58,所以e=104.14.答案B信息提取(1)在1986年2月9日出现的哈雷彗星轨道的近日点距离太阳约

17、0.6A.U.;(2)在2023年12月9日出现的哈雷彗星轨道的远日点距离太阳约35A.U.;(3)哈雷彗星轨道可以近似看成椭圆.数学建模本题以哈雷彗星的运动轨迹为背景构建与椭圆相关的问题,由题意可设椭圆的长半轴长为a,半焦距为c,由题意列方程求得a与c的值,即可求得离心率.解析设椭圆的长半轴长为a,半焦距为c,由题意可得a-c=0.6,a+c=35,解得a=17.8,c=17.2,e=ca=17.217.80.97.故选B.15.De=ca=35,c3=a5,设c3=a5=t(t0),则a=5t,c=3t.又F1F2M的周长为2a+2c=16t=16,t=1,a=5,c=3,b2=a2-c2

18、=16.椭圆C的方程为x225+y216=1,故选D.16.ABD地球的中心是椭圆的一个焦点,并且根据图形可得m=a-c-R,n=a+c-R,(*)a-c=m+R,故A正确;a+c=n+R,故B正确;(*)中两式相加得m+n=2a-2R,可得2a=m+n+2R,故C不正确;由(*)可得m+R=a-c,n+R=a+c,两式相乘可得(m+R)(n+R)=a2-c2,a2-c2=b2,b2=(m+R)(n+R)b=(m+R)(n+R),故D正确.故选ABD.17.答案25;(3,0)(或分开写(-3,0)和(3,0)解析设F1、F2为椭圆的两焦点,m=PF1PF2PF1+PF222=2a22=a2=

19、25,当且仅当PF1=PF2=5时,等号成立,此时取最大值25,即点P在短轴端点时,m取最大值,所以点P的坐标为(3,0)时,m取最大值,最大值为25.能力提升练1.A设椭圆的半焦距为c,当a=2b时,c=a2-b2=b2=b,如图,连接PO,若F1PF2=90,则PO=OF1=b,此时P点在短轴的上下端点,即符合条件的P有2个.故选A.2.B当动点P从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时,F1PF2逐渐增大,当且仅当P点位于短轴端点P0处时,F1PF2达到最大值.椭圆上存在点P使得F1PF2是钝角,在F1P0F2中,F1P0F290,在RtOP0F2中,OP0F245,bc,a2-c2c2

20、,a222,0e1,22ea2,所以椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点,因此A正确;设b1a1=b2a2=m,其中0m0,即有a12-b12a22-b22,则a12-a22b12-b22,因此C错误;(a1-b1)-(a2-b2)=(1-m)(a1-a2)0,即有a1-b1a2-b2,则a1-a2b1-b2,因此D错误.故选AB.6.答案53解析因为点F在直线2x+y-4=0上,所以F(2,0),椭圆左焦点F1(-2,0),c=2,设点Q(x,-2x+4),则OQ=x2+(-2x+4)2=OF=2,解得x=65或x=2(舍去),所以点Q65,85,所以2a=QF+QF1=-452+852+165

21、2+852=1255,即a=655,所以椭圆的离心率e=ca=2655=53,故答案为53.7.D如图所示,设椭圆的长轴为AB,短轴为CD,中心为点O1,圆柱的底面中心为O,则OAB=60,OA=2,设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a0,b0),可得a=O1A=OAcos60=4,b=12CD=2,c=a2-b2=23,椭圆的焦距为43,故选D.8.B如图,延长PF2,F1M,交于点N,则PF1N为等腰三角形,M为F1N的中点,|OM|=12|F2N|=12|PN-PF2|=12|PF1-PF2|.由图可知,当P在短轴端点时,|OM|取得最小值,此时|OM|=0,当P在长轴端点时,|

22、OM|取得最大值,此时|OM|=22,但P不能在坐标轴上,故取不到端点值,所以|OM|的取值范围为(0,22).9. ABD由椭圆方程可知a=2,b=3,从而c=a2-b2=1.对于选项A,根据椭圆定义知,PF1+PF2=2a=4,又F1F2=2c=2,所以PF1F2的周长是2a+2c=6,故选项A正确;对于选项B,设点P(x0,y0)(y00),因为F1F2=2,则SPF1F2=12F1F2|y0|=|y0|.因为0b0)上一点P(x0,y0)(y00)和焦点F1(-c,0),F2(c,0)为顶点的PF1F2中,若F1PF2=,则(1)焦点三角形的周长为2a+2c;(2)当点P为椭圆短轴的一

23、个端点时,F1PF2=最大;(3)SPF1F2=12PF1PF2sin,当|y0|=b,即点P为椭圆短轴的一个端点时,SPF1F2取得最大值,最大值为bc;(4)SPF1F2=b2tan2.10.C由题意得a2=5+1,b2=2,故e=1-b2a2=5-12,故椭圆x22+y25+1=1是“黄金椭圆”;b2=ac,即a2-c2=ac,故e2+e-1=0,解得e=5-12或e=-5-12(舍去),故该椭圆是“黄金椭圆”;由ABF=90得(a+c)2=a2+b2+b2+c2,化简可知e2+e-1=0,解得e=5-12或e=-5-12(舍去),故该椭圆是“黄金椭圆”;由F1F22=AF1F1B,得(

24、2c)2=(a-c)(a+c),则e=55(负值舍去),故该椭圆不是“黄金椭圆”.故选C.11.BC由题图可得a1a2,c1c2,a1+c1a2+c2,故A不正确;PF=a1-c1,PF=a2-c2,a1-c1=a2-c2,故B正确;由a1-c1=a2-c2得(a1+c2)2=(a2+c1)2,即a12-c12+2a1c2=a22-c22+2a2c1,亦即b12+2a1c2=b22+2a2c1,b1b2,a2c1a1c2,c1a1c2a2,故C正确,D不正确.故选BC.12.解析(1)由题易得,圆心(0,0)到直线m的距离为b2-322,由直线m的倾斜角为30得b2-322=c2,由e=ca=

25、22得a2=2c2,即b2+c2=2c2,b2=c2,将其与b2-322=c2联立,得b=c=1,a=2,椭圆C的标准方程为x22+y2=1.(2)存在.设A(x1,y1),B(x2,y2).若直线l垂直于x轴,则l与椭圆C交于(0,1),(0,-1),取A(0,-1),B(0,1),满足PA=2AB.若直线l不垂直于x轴,则设直线l的方程为y=kx+3,代入椭圆方程x22+y2=1,整理得(2k2+1)x2+12kx+16=0,令=16k2-640,则k2,x1+x2=-12k2k2+1(*),x1x2=162k2+1(*),对于PA=2AB,包含两种情况:(i)PA=2AB,即(x1-0,

26、y1-3)=2(x2-x1,y2-y1),x1=2(x2-x1),即x2=32x1,代入(*)(*)得52x1=-12k2k2+1,32x12=162k2+1,消去x1,得3225-12k2k2+12=162k2+1,解得k=52,l的方程为y=52x+3或y=-52x+3.(ii)PA=2BA,即(x1-0,y1-3)=2(x1-x2,y1-y2),x1=2x2,代入(*)(*)得3x2=-12k2k2+1,2x22=162k2+1,消去x2,得213-12k2k2+12=162k2+1,有2k2=2k2+1,无解.综上,l的方程为x=0或5x-2y+6=0或5x+2y-6=0.13.解析(

27、1)依题意得ab=23,a=2c,a2=b2+c2,解得a=2,b=3,c=1,所以椭圆C的标准方程是x24+y23=1.(2)由题意得,直线l的斜率不能为0,设直线l的方程为x=my+1,由方程组x=my+1,x24+y23=1得(3m2+4)y2+6my-9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,所以|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=12m2+13m2+4,所以SOAB=12OP|y1-y2|=6m2+13m2+4,令t=m2+1(t1),则m2=t2-1,SOAB=6t3t2+1=63t+1t,因为y=3t+1t在1,+)上单调递增,所以当t=1,即m=0时,OAB的面积取得最大值32.