2022版新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2 第2课时 基本不等式的应用基础训练（含解析）新人教A版必修第一册.docx

1、第2课时 基本不等式的应用基础达标练1.已知x0 ，则9x+x 的最小值为( )A.6B.5C.4D.3答案：A2.已知a0 ，b0 ，1a+1b=1 ，则a+b 的最小值为( )A.14 B.12 C.2D.4答案：D3.（2020安徽蚌埠第三中学高一月考）当x0 时，下列式子中最小值为2的是( )A.x(22-x) B.x2+1xC.x2+4x2+2-1 D.x2+2+1x2+2答案：B4.（2020山西吕梁高一期中）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S=p(p-a)(p-b

2、)(p-c) 求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=6 ， b+c=18 ，则此三角形面积的最大值为( )A.182 B.24C.162 D.92答案：A5.（2020重庆巫山中学高一月考）若正实数a ，b 满足a+3b-6=0 ，则1a+1+43b+2 的最小值为( )A.13 B.1C.2D.59答案：B6.（多选）（2021湖北武汉高一期中）设a1 ，且b1 ，ab-(a+b)=1 ，那么( )A.a+b 有最小值2+22B.a+b 有最大值2+22C.ab 有最大值1+22D.ab 有最小值3+22答案：A ; D7.（2021

3、湖南湘潭一中高一月考）把总长为16m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 m2 .答案：168.已知a0 ，b0 ，3a+2b=ab ，则2a+3b 的最小值为 .答案：25解析：由a0 ，b0 ，3a+2b=ab ，得3b+2a=1 ，则2a+3b=(3b+2a)(2a+3b)=6ab+6ba+1326ab6ba+13=25 ，当且仅当a=b=5 时，等号成立.9.已知m0 ，n0 ，且满足m+n=1 ，则(1+1m)(1+1n) 的最小值为 .答案：9解析：m0 ，n0 ，且m+n=1 ，(1+1m)(1+1n)=(2+mn)(2+nm)=5+2(mn+nm)5+22mnnm=

4、9当且仅当mn=nm,n+m=1, 即m=n=12 时取等号，(1+1m)(1+1n) 的最小值为9.素养提升练10.（多选）（2021山东潍坊高一期中）下列结论正确的是( )A.若x0 ，则x+1x 的最大值为-2B.若a0 ，b0 ，则ab(a+b2)2C.若a0 ，b0 ，a+4b=1 ，则1a+1b 的最大值为9D.若0x2 ，则x4-x2 的最大值为2答案：A ; B ; D解析：由x0 可得x+1x=-(-x)+(-1x)-2(-x)(-1x)=-2 ，当且仅当-x=-1x ，即x=-1 时，等号成立，即x+1x 的最大值为-2，故A中结论正确；由a0 ，b0 ，可得(a+b2)2

5、-ab=a2+b2-2ab4=(a-b2)20 ，即ab(a+b2)2 故B中结论正确；若a0 ，b0 ，且a+4b=1 ，则1a+1b=(1a+1b)(a+4b)=1+4ba+ab+45+24batab=9 ，当且仅当4ba=ab ，即a=13,b=16 时，等号成立，即1a+1b 的最小值为9，故C中结论错误；因为0x2 ，所以x4-x2=x24-x2x2+(4-x2)2=2 ，当且仅当x=4-x2 ，即x=2 时，等号成立，故D中结论正确.故选ABD.11.已知正数x ，y 满足1x+3y+2=1 ，则x+y 的最小值为( )A.2+3 B.2+23C.6D.6+23答案：B解析：由题可

6、知，x+y=x+(y+2)-2=x+(y+2)(1x+3y+2)-2=2+y+2x+3xy+22+2y+2x3xy+2=2+23 （当且仅当y+2x=3xy+2 时取等号），所以x+y 的最小值为2+23 .故选B.12.已知实数x ，y 满足xy0 ，则4xx+y+x+yx-y 的最小值是 .答案：2+22解析： xy0 ，x+yx-y0 ，4x=2(x+y)+(x-y) ，4xx+y+x+yx-y=2(x+y)+2(x-y)x+y+x+yx-y=2(x-y)x+y+x+yx-y+22+22(x-y)x+yx+yx-y=2+22 ，当且仅当2(x-y)=x+y ，即x=(3+22)y 时，等

7、号成立，4xx+y+x+yx-y 的最小值为2+22 .13.设正数a ，b 满足a+1a+3(b+1b)=16 ，则ab+ba 的最大值是 .答案：18解析：a+1a+3(b+1b)=16 ，(a+3b)+(1a+3b)=16 ，a0 ，b0 ，(a+3b)+(1a+3b)2(a+3b)(1a+3b)=210+3(ba+ab) ，当且仅当a+3b=1a+3b 时等号成立.则10+3(ba+ab)8 ，3(ba+ab)54 ，ba+ab18 ，故ab+ba 的最大值是18.创新拓展练14.某汽车公司购买了4辆大客车用于长途客运，每辆200万元，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年的各种

8、费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用增加16万元.（1）写出4辆车运营的总利润y （万元）与运营年数x(xN*) 的关系式；（2）这4辆车运营多少年可使年平均运营利润最大?（注：1+2+3+n=12n(n+1) ，nN* ）答案：（1）依题意，每辆车运营x年的总收入为100x 万元，总支出为200+16(1+2+.+x)=200+1612x(x+1) （万元），y=4100x-200-1612x(x+1)=16(-2x2+23x-50) .（2）这4辆车的年平均运营利润为yx=16(23-2x-50x)=1623-2(x+25x) （万元）.xN* ，x+25x2x25x=10 ，当且仅当x=5 时，等号成立，此时yx16(23-20)=48 . 这4辆车运营5年可使年平均运营利润最大，最大运营利润为48万元.