数学北师大版必修4例题与探究：3.3二倍角的三角函数 WORD版含解析.doc

1、典题精讲例1化简=_.思路分析：=|sin49+cos49|=sin49+cos49=sin(49+45)=sin94=cos4.答案：cos4变式训练(湖北高考卷，理3)若ABC的内角A满足sin2A=，则sinA+cosA的值为（ ）A. B.- C. D.-思路分析：sin2A=2sinAcosA0，cosA0.sinA+cosA0.1+sin2A=(sinA+cosA)2.1+=(sinA+cosA)2.(sinA+cosA)2=.sinA+cosA=.答案：A例2求下列各式的值.（1）coscos；（2）（cos-sin）（cos+sin）；（3）-cos2；（4）-+cos215.

2、思路分析：（1）题添加系数2，即可逆用倍角公式；（2）题利用平方差公式之后再逆用倍角公式；（3）中提取系数2后产生倍角公式的形式；（4）则需提取系数.解：（1）coscos=cossin=2cossin=sin=.（2）（cos-sin）（cos+sin）=cos2-sin2=cos=.（3）-cos2=-（2cos2-1）=-cos=-.（4）-+cos215=（2cos215-1）=cos30=.绿色通道：根据式子本身的特征，经过适当变形，进而利用公式，同时制造出特殊角，获得式子的值，在变形中一定要整体考虑式子的特征.变式训练求sin10sin30sin50sin70的值.思路分析：由si

3、n30=，原式可化为sin10sin50sin70，再转化为cos20cos40cos80，产生成倍数的角，增加一项sin20，即可依次逆用倍角公式；也可使用三角中的对偶式，设而不求，达到变形的目的.解法一：sin10sin30sin50sin70=cos20cos40cos80=.解法二：令M=sin10sin30sin50sin70，N=cos10cos30cos50cos70，则MN=(sin10cos10)(sin30cos30)(sin50cos50)(sin70cos70)=sin20sin60sin100sin140=cos10cos30cos50cos70=N.M=，即sin1

4、0sin30sin50sin70=.例3(2005江苏高考卷，10)若sin（-）=，则cos（+2）的值为（ ）A. B.- C. D.思路分析：观察发现+2=2(+)，而(+)+( -)= ，则cos(+)=sin(-),cos（+2）=2cos2(+)-1=2sin2(-)-1=.答案：A绿色通道：通过角的形式的变化，生成所求的角或再变形即得所求角，是三角变换的重要方式，求解时应当对所给角有敏锐的感觉，这种感觉的养成要靠平时经验的积累.变式训练1已知sin（+）sin（-）=，且（，），求sin4的值.思路分析：发现+与-是互余关系，将其中一个角的三角函数变为另一个的余名三角函数，即可产

5、生倍角公式的形式，逆用倍角公式可得2的三角函数值，进一步可求4的正弦值.解：（+）+（-）=， sin（-）=cos（+）. sin（+）sin（-）=， 2sin（+）cos（+）=.sin（+2）=.cos2=.又（，），2（，2）. sin2=. sin4=2sin2cos2=.变式训练2设56，cos=a，则sin的值等于（ ）A. B. C. D.思路分析：显然是的一半，可以直接应用公式.56，3, .sin=.答案：D例4(2006全国高考卷,理2)函数y=sin2xcos2x的最小正周期是（ ）A.2 B.4 C. D.思路分析：将函数的解析式化为y=Asin(x+)的形式. y

6、=sin2xcos2x=sin4x，则T=.答案：D绿色通道：讨论三角函数的周期性时，先化简解析式再求周期.化简的手段是：利用和差、倍角、半角等三角公式；化简的结果是：将三角函数的解析式化为y=Asin(x+)的形式，再利用公式T=得周期.变式训练(2006陕西高考卷，理17)已知函数f(x)=sin(2x-)+sin2(x-)(xR).（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求使函数f(x)取得最大值的x集合.思路分析：将三角函数的解析式化为y=Asin(x+)+b的形式,再讨论周期和最值.解：(1)f(x)=sin(2x-)+1-cos(x-)=2sin(x-)-cos(x-)+1=2si

7、n2(x-)-+1= 2sin(2x-)+1,T=.(2)当f(x)取最大值时，sin(2x-)=1，有2x-=2k+ (kZ).x=k+. 即使函数f(x)取得最大值的x集合为xR|x= k+，kZ .问题探究问题试用tan表示sin,cos,tan.导思：看到和，联想到=2()，因此从二倍角公式的角度来探讨.探究：可以由倍角公式直接获得tan=；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再分子、分母同除以cos2可得sin=2sincos=，cos=cos2-sin2=.用tan来表示sin、cos和tan的关系式如下：sin=tan=.这三个公式统称为“万能公式”.其优点是用正切函数来求二倍角

8、的三角函数值会特别方便，也为一类三角函数的求值提供了一座方便可行的桥梁.如要计算cos或sin(+)的值，可以先设法求得tan或tan的值.由于公式中涉及角的正切，所以使用时要注意限制条件，即要保证式子有意义. 所谓的“万能”是指：不论角的哪一种三角函数，都可以表示成tan的有理式.这样就可以把问题转化为以tan为变量的“一元有理函数”，即如果令tan=t，则sin、cos和tan均可表达为关于t的分式函数，这就实现了三角问题向代数问题的转化，为三角问题用代数方法来处理提供了一条途径.如下面的例题很好地体现了这一方法的作用。例1：求tan15+cot15的值.解法一：tan15=tan(45-

9、30)=2-,tan15+cot15=2-=4.解法二：tan15+cot15=tan15+=4.很明显解法二比解法一较方便地解决了问题，体现了万能公式的“万能”之处，值得我们借鉴.例2：求函数y=的值域.思路分析：先利用换元法，再利用判别式法求函数的值域.解：令tan=t，则tR,利用万能公式有sinx=，cosx=, y=（tR）.整理得(2y+1)t2+2yt+2y-1=0.当2y+1=0,即y=-时，t=-1R.y=-符合题意.当2y+10即y-时，关于t的一元二次方程(2y+1)t2+2yt+2y-1=0必有实数根.=4y2-4(2y+1)(2y-1)0.解得-y，即此时-y且y-.综上所得函数的值域是y|-y.例3：(2005江西高考卷，文2)已知tan=3,则cos等于（ ）A. B.- C. D.思路分析：cos=.答案：B