数学北师大版选修2-2教材基础 第五章2.1复数的加法与减法 WORD版含答案.DOC

1、2 复数的四则运算2.1 复数的加法与减法 随着虚数的产生,数系得到了进一步的扩充.同时,随着科学和技术的进步,逐步建立起来的复变数函数理论在应用于堤坝渗水的问题、建立巨大水电站时所提供的理论依据中越来越需要进行大量的加、减、乘、除、乘方、开方运算.早在1747年,法国著名的数学家达兰贝尔指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是a+bi的形式(a、b都是实数).他开创了复数四则运算的先河.高手支招1细品教材一、复数的加法1.复数的加法法则设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,复数的加法按照以下法则进行:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b

2、+d)i.两个复数和仍是一个复数,其实部为a+c,虚部为b+d.因此,两复数相加就是将两个复数的实部相加作为和的实部,虚部相加作为和的虚部.【示例1】 计算(7+5i)+(2+3i).思路分析:实部相加作为和的实部,虚部相加作为和的虚部.解:(7+5i)+(2+3i)=(7+2)+(5+3)i=9+8i.【示例2】 计算:(-2+3i)+(5-i);(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,bR).思路分析:直接运用复数的加减运算法则进行计算.解:原式=(-2+5)+(3-1)i=3+2i.原式=(a-2a)+b-(-3b)-3i=-a+(4b-3)i.2.复数加法的交换律、结合律对任何z1,

3、z2,z3C,复数运算律如下:(1)交换律:z1+z2=z2+z1.证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i.则:z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,而z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i,由a1+a2=a2+a1,b1+b2=b2+b1及复数相等的定义得:(a1+a2)+(b1+b2)i=(a2+a1)+(b2+b1)i,z1+z2=z2+z1.(2)结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i.(z1+z2)+z3=(a1

4、+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i)=a1+b1i+a2+b2i+a3+b3i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)iz1+(z2+z3)=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i)=a1+b1i+a2+b2i+a3+b3i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).状元笔记 因为复数可以用向量表示,而向量的加法遵循平行四边形法则,所以复数的加法遵循平行四边形法则.3.复数加法的几何意义 复数用向量表示以后,如果复数对应的向量不在同一直线上,那么这些复数的加法就可按向量加法的平行四边形法则来进行. 设及分别与复数a+bi

5、,c+di对应,且、不在同一直线上,以及为两条相邻边画平行四边形OZ1ZZ2,画x轴的垂线PZ1、QZ2及RZ,并且画Z1SRS. 于是,点Z的坐标是(a+c,b+d)，这说明就是复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 由此可知,求两个复数的和,可以先画出与这两个复数对应的向量、,如果、不在同一直线上,再以这两个向量为两条邻边作平行四边形,那么与这个平行四边形的对角线所表示的向量对应的复数,就是所求两个复数的和. 如果两个复数对应的向量在同一直线上,则画一条直线,平移,使的起点与的终点Z1重合,就得向量,对应的复数就表示复数z1与复数z2的和.【示例】 已知复数z满足z+|z|=2+8i,求

6、复数z.思路分析:常规解法为设出z=a+bi(a,bR),代入等式后,可利用复数相等的充要条件求出a、b.也可以将复数从实部与虚部角度来理解,即将方程化为:z=(2-|z|)+8i,则其实部为2-|z|，虚部为8,然后利用复数求模运算求得|z|.解法1:将z=a+bi(a,bR)代入等式,得a+bi+=2+8i,z=-15+8i.解法2:将方程化为:z=(2-|z|)+8i,|z|R,2-|z|是z的实部,于是,|z|=,即|z|2=68-4|z|+|z|2,|z|=17,z=(2-|z|)+8i=(2-17)+8i=-15+8i.二、复数的减法1.复数的减法法则设z1=a+bi,z2=c+d

7、i是任意两个复数,复数的减法按照以下法则进行:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.证明:根据复数的加法法则和复数相等的定义,有c+x=a,d+y=b,即x=a-c,y=b-d,(x+yi)=(a-c)+(b-d)i,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.两个复数差仍是一个复数,其实部为a-c,虚部为b-d.因此,两复数相减就是将两个复数的实部相减作为差的实部,虚部相减作为差的虚部.【示例】 计算(1-3i)-(2+5i).思路分析:实部相减作为差的实部,虚部相减作为差的虚部.解:(1-3i)-(2+5i)=(1-2)+(-3-5)i=-1-8i.状

8、元笔记 复数z1-z2所对应的向量，实质上就是从复数z2所对应的点指向复数z1所对应点的向量;而两复数z1与z2差的模就是这两个复数所对应的两点之间的距离.两复数的加法和减法的几何意义均可用平行四边形法则来表达.2.复数减法的几何意义 复数减法的运算同样适应向量的平行四边形法则和三角形法则. 设与复数a+bi对应,与复数c+di对应,如图以为一条对角线,为一边画平行四边形,那么这个平行四边形的另一边所表示的向量就与复数(a-c)+(b-d)i对应. 这是因为与平行且相等,所以向量也与这个差对应,实际上,两个复数差z-z1(即-)与连结两个终点,并指向被减数的向量对应,这是复数减法的几何意义.【示例】 已知z-|z|=-1+i,求复数z.思路分析:设z=x+yi(x,yR)将原复数方程转化为实数方程问题.解:设z=x+yi(x,yR),由题意,得x+yi-=-1+i,即(x-)+yi=-1+i,根据复数相等的定义得: 解得z=i.高手支招2基础整理 本节内容主要阐述了复数的四则运算中的加法运算、减法运算,复数加减法的几何意义.本节的知识结构如下: