数学导航2016届高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明同步练习文.doc

1、【数学导航】2016届高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明同步练习 文第一节不等关系与不等式1了解现实世界和日常生活中的不等关系2了解不等式(组)的实际背景3掌握不等式的性质及应用1实数大小顺序与运算性质之间的关系ab0ab；ab0ab；ab0ab.2不等式的基本性质(1)对称性：abba；(2)传递性：ab，bcac；(3)可加性：abacbc，ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc，ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0abbn(nN，n1)；(6)可开方：ab0(nN，n2)不等式的两类常用性质(1)倒数性质ab，ab0；a0b；ab0,0cd；0axb或a

2、xb0.(2)有关分数的性质若ab0，m0，则真分数的性质；(bm0)；假分数的性质；(bm0)1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变()(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小()(3)同向不等式具有可加和可乘性()(4)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母()答案：(1)(2)(3)(4)2下列命题正确的是()A若acbc，则abB若a2b2，则abC若，则abD若，则ab答案：D3已知a，b是实数，则“a0且b0”是“ab0且ab0”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：

3、.又当ab0时，a与b同号，由ab0知a0，且b0.答案：C4._1(填“”或“”)解析：11.答案：5下列不等式中恒成立的是_m3m5；5m3m；5m3m；5m5m.解析：m3m520，故恒成立；5m3m20，故恒成立；5m3m2m，无法判断其符号，故不恒成立；5m5m2m，无法判断其符号，故不恒成立答案：比较两个数(式)的大小1若a1a2，b1b2，则a1b1a2b2与a1b2a2b1的大小关系是_解析：作差可得(a1b1a2b2)(a1b2a2b1)(a1a2)(b1b2)，a1a2，b1b2，(a1a2)(b1b2)0，即a1b1a2b2a1b2a2b1.答案：a1b1a2b2a1b2

4、a2b12若a，b，则a_b(填“”或“”)解析：易知a，b都是正数，log891，所以ba.答案：3若实数m1，比较m2与的大小解析：m2，当m1时，m2；当m1时，m2.比较两个数大小的常用方法(1)作差法：其基本步骤为：作差、变形、判断符号、得出结论，用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法(2)作商法：即判断商与1的关系，得出结论，要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤(3)特值验证法：对于一些题目，有的给出取值范围，可采用特值验证法比较大小不等式的性质(1)(2014四

5、川卷)若ab0，cd0，则一定有()ABCD(2)(2014陕西咸阳摸底)若a，b是任意实数，且ab，则下列不等式成立的是()Aa2b2B1Clg(ab)0Dab解析：(1)cd0，0，0，又ab0，故选B(2)当a1，b2时，a2b2，1，lg(ab)0，可排除A，B，C，故选D答案：(1)B(2)D1(2014广东东莞一模)设a，bR，若a|b|0Ba3b30Ca2b20Dab0解析：当b0时，ab0；当b0时，ab0，ab0，ab0，故选D答案：D2若a0ba，cd0，则下列结论：adbc；0；acbd；a(dc)b(dc)中成立的个数是()A1B2C3D4解析：a0b，cd0，ad0，

6、bc0，adbc，故错误a0ba，ab0，cd0，cd0，a(c)(b)(d)，acbd0，0，故正确cd，cd.ab，a(c)b(d)，acbd，故正确ab，dc0，a(dc)b(dc)，故正确，故选C答案：C3(2014浙江卷)已知函数f(x)x3ax2bxc，且0f(1)f(2)f(3)3，则()Ac3B3c6C6c9Dc9解析：由0f(1)f(2)f(3)3，得01abc84a2bc279a3bc3，由1abc84a2bc，得3ab70，由1abc279a3bc，得4ab130，由，解得a6，b11，0c63，即6c9，故选C答案：C1.判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说

7、明常用的推理判断需要利用不等式的性质2在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等用不等式(组)表示不等关系某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式解析：设甲、乙两种产品的产量分别为x，y，则由题意可知某化工厂制定明年某产品的生产计划，受

8、下面条件的制约：生产此产品的工人不超过200人；每个工人的年工作时间约为2 100 h；预计此产品明年的销售量至少为80 000袋；生产每袋产品需用4 h；生产每袋产品需用原料20 kg；年底库存原料600 t，明年可补充1 200 t试根据这些数据预测明年的产量解析：设明年的产量为x袋，则解得80 000x90 000.预计明年的产量在80 000袋到90 000袋之间用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，除了把文字语言“翻译”成符号语言，把握“不超过”、“不低于”、“至少”、“至多”等关键词外，还应考虑变量的实际意义，即变量的取值范围A级基础训练1已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2

9、，Na1a21，则M与N的大小关系是()AMNBMNCMND不确定解析：MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210.(a11)(a21)0，即MN0.MN.答案：B2设，那么2的取值范围是()ABC(0，)D解析：由题设得02，0，0，2.答案：D3(2014山西太原模拟)已知a，b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是()Aa2b2Ba2bab2CD解析：由abb2，知A不成立；由ab，若abab2，知B不成立；若a1，b2，则2，此时，所以D不成立；对于C，0，0.其中正确命题的个数是()A

10、0B1C2D3解析：ab0，bcad0，0，正确；ab0，又0，即0，bcad0，正确；bcad0，又0，即0，ab0，正确故选D答案：D2已知存在实数a满足ab2aab，则实数b的取值范围是_解析：ab2aab，a0，当a0时，b21b，即解得b1；当a0时，b21b，即无解综上可得b1.答案：(，1)3已知12a60,15b36，求ab，的取值范围解析：15b36，36b15.又12a60，1236ab6015，24ab45，即ab的取值范围是(24,45)，4，即的取值范围是.4某单位组织职工去某地参观学习需包车前往甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠”乙车队说：“你

11、们属团体票，按原价的8折优惠”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠解析：设该单位职工有n人(nN*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1xx(n1)xxn，y2nx.所以y1y2xxnnxxnxx.当n5时，y1y2；当n5时，y1y2；当n5时，y1y2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠第二节一元二次不等式及其解法1会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会

12、设计求解的程序框图三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0)的解集x|xx1或xx2Rax2bxc0(a0)的解集x|x1xx21分式不等式与一元二次不等式的关系(1)0等价于(xa)(xb)0.(2)0等价于(xa)(xb)0.(3)0等价于(4)0等价于2两个常用的结论(1)不等式ax2bxc0(a0)对任意实数x恒成立(2)不等式ax2bxc0(a0)对任意实数x恒成立1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若不等式

13、ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(5)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0的解集一定不是空集()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2不等式x(2x)0的解集是()A(，0)B(0,2)C(，0)(2，)D(2，)答案：B3x2axb0的解集为x|x2或x3，则ab的值是()A1B1C11D1

14、2答案：C4a0时，不等式x22ax3a20的解集是_解析：x22ax3a20，x13a，x2a.又a0，不等式的解集为x|3axa答案：x|3ax0)解析：(1)原不等式转化为16x28x10，即(4x1)20，xR，故原不等式的解集为R.(2)原不等式可化为(ax1)(x2)0，原不等式可以化为a(x2)0，根据不等式的性质知这个不等式等价于(x2)0，方程(x2)0的两个根是2，.当0a时，2时，2，不等式的解集是 .综上所述，当0a时，不等式的解集为 .1.解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2bxc0(a0)，ax2bxc0(a0)；(

15、2)计算相应的判别式；(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集2解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏一元二次不等式恒成立问题设函数f(x)mx2mx1(m0)(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解析：(1)要使mx2mx10恒成立，由m0，得4m0.所以4m0，|a|1恒成立的x的取值范围解析：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x3)ax26x90.令f(a)(x3)ax26x

16、9.因为f(a)0在|a|1时恒成立，所以(1)若x3，则f(a)0，不符合题意，应舍去(2)若x3，则由一次函数的单调性，可得即解得x4.故x的取值范围为(，2)(4，)3(2014广东湛江检测)设奇函数f(x)在1,1上是单调函数，且f(1)1.若函数f(x)t22at1对所有的x1,1都成立，则当a1,1时，求t的取值范围解析：f(x)为奇函数，f(1)1，f(1)f(1)1.又f(x)在1,1上是单调函数，1f(x)1，当a1,1时，t22at11恒成立，即t22at0恒成立令g(a)t22at，a1,1，解得t2或t0或t2.t的取值范围为t2或t0或t2.恒成立问题及二次不等式恒成

17、立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方一元二次不等式的应用某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本固定成本生产成本)，销售收入R(x)满足R(x)假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：(1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么

18、范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多少？解析：依题意得G(x)x2，设利润函数为f(x)，则f(x)R(x)G(x)，所以f(x)(1)要使工厂有盈利，则有f(x)0，因为f(x)0或或5x8.2或5x8.21x5或5x8.21x8.2.所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于100台小于820台的范围内(2)0x5时，f(x)0.4(x4)23.6，故当x4时，f(x)有最大值3.6.而当x5时，f(x)8.253.2，所以当工厂生产400台产品时，盈利最大，又x4时，2.4(万元/百台)240(元/台)故此时每台产品的售价为240元某同学要把自己的计算机接入因特网

19、现有两家ISP公司可供选择公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)假设该同学一次上网时间总和小于17小时，那么该同学如何选择ISP公司较省钱？解析：假设一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x元，公司B收取的费用为元若能够保证选择A比选择B费用少，则1.5x(0x17)，整理得x25x0，解得0x5，所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A的费用少；超过5小时，选择公司B的费用少；上网5小时，公司A、B的费用一样求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审

20、题，把握问题中的关键量，找准不等关系(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果A级基础训练1(2014广东惠州模拟)不等式0的解集为()A2,1B(2,1C(，2)(1，)D(，2(1，)解析：02x1.答案：B2已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集为B，不等式x2axb0的解集为AB，那么ab等于()A3B1C1D3解析：由题意得Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2，由根与系数的关系可知，a1，b2，ab3.答案

21、：A3下列选项中，使不等式xx2成立的x的取值范围是()A(，1)B(1,0)C(0,1)D(1，)解析：由xx2可得即解得综合知x1.答案：A4如果关于x的不等式5x2a0的所有正整数解是1,2,3,4，那么实数a的取值范围是()A80,125)B(80,125)C(，80)D(125，)解析：由5x2a0，得x ，而5x2a0的所有正整数解是1,2,3,4，4 5，80a125.答案：A5(2014辽宁五校协作体联考)已知一元二次不等式f(x)0的解集为，则f(ex)0的解集为()Ax|xln 2或xln 3Bx|ln 2xln 3Cx|xln 3Dx|ln 2xln 3解析：由题意可知一

22、元二次不等式所对应的二次函数的图象开口向下，故f(x)0的解集为，又f(ex)0，ex3，解得ln 2xln 3.答案：D6不等式|x(x2)|x(x2)的解集是_解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即x(x2)0的解集，解得0x2.答案：x|0x27(2014重庆万州考前模拟)若关于x的不等式axb的解集为，则关于x的不等式ax2bxa0的解集为_解析：由已知axb的解集为，可知a0，且，将不等式ax2bxa0两边同除以a，得x2x0，所以x2x0，即5x2x40，解得1x，故原不等式的解集为.答案：8若关于x的不等式ax2x2a0的解集为，则实数a的取值范围是_解析：依题意可知，问题

23、等价于ax2x2a0恒成立，当a0时，x0不恒成立，故a0舍去；当a0时，要使ax2x2a0恒成立，即f(x)ax2x2a的图象不在x轴的下方，即解得a，即a的取值范围是.答案：9已知二次函数yx2pxq，当y0时，有x，解不等式qx2px10.解析：因为当y0时，有x，所以x1与x2是方程x2pxq0的两个实数根由根与系数的关系得解得所以不等式qx2px10x2x10x2x60，解得2x3，即不等式qx2px10的解集为x|2x310已知函数f(x)的定义域为R.(1)求a的取值范围；(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2xa2a0.解析：(1)函数f(x)的定义域为R，ax2

24、2ax10恒成立，当a0时，10恒成立，当a0时，则有0a1.综上可知，a的取值范围是0,1(2)f(x)，a0，当x1时，f(x)min，由题意得，a，不等式x2xa2a0可化为x2x0，解得x，所以不等式的解集为.B级能力提升1对一切正整数n，不等式恒成立，则实数x的取值范围是()A(，0)B(，0)(1，)C(1，)D(，0)1，)解析：由条件知只需max，而1.1，解得x(，0)1，)答案：D2若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，则a的取值范围是_解析：原不等式即(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a,1，此时只要a4即可，即4a1；当a1时，不等式的解为x1，此时

25、符合要求；当a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即1a3.综上可得4a3.答案：4,33一个服装厂生产风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p1602x，生产x件的成本R50030x(元)(1)该厂月产量多大时，月利润不少于1 300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？解析：(1)由题意知，月利润ypxR，即y(1602x)x(50030x)2x2130x500.由月利润不少于1 300元，得2x2130x5001 300.即x265x9000，解得20x45.故该厂月产量在2045件时，月利润不少于1 300元(2)由(1)得，y2x2130

26、x50022，由题意知，x为正整数故当x32或33时，y最大为1 612.所以当月产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1 612元4设二次函数f(x)ax2bxc，函数F(x)f(x)x的两个零点为m，n(mn)(1)若m1，n2，求不等式F(x)0的解集；(2)若a0，且0xmn，比较f(x)与m的大小解析：(1)由题意知，F(x)f(x)xa(xm)(xn)，当m1，n2时，不等式F(x)0，即a(x1)(x2)0.那么当a0时，不等式F(x)0的解集为x|x1或x2；当a0时，不等式F(x)0的解集为x|1x2(2)f(x)ma(xm)(xn)xm(xm)(axan1)，a0，

27、且0xmn，xm0,1anax0.f(x)m0，即f(x)m.第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. 1二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序

28、数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集3线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如zx2y线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1确定二元一次不等式表示的平面区域的方法确定二元一次不等式表示的平面区域，常采用“直线定界，测试点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有

29、等号，把直线画成实线(2)特殊点定域，由于对在直线AxByC0同侧的点，实数AxByC的值的符号都相同，故为确定AxByC的值的符号，可采用特殊点法，如取原点、(0,1)、(1,0)等点2求二元一次函数zaxby(ab0)的最值的方法将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值(1)当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；(2)当b0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(2)任何一个二元一次

30、不等式组都表示平面上的一个区域()(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的()(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上()(5)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是()A(0,2)B(2,0)C(0，2)D(2,0)解析：将四个点的坐标分别代入不等式组满足条件的是(0，2)答案：C3(2014湖北卷)若变量x，y满足约束条件则2xy的最大值是()A2B4C7D8解析：画出x，y的约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令u2xy，则y2xu，先画出直线y2x

31、，再平移直线y2x，当经过点A(3,1)时，代入u，可得最大值为7，故选C答案：C4已知实数x，y满足则此不等式组表示的平面区域的面积是_解析：作出可行域为如图所示的三角形，S11.答案：5若x，y满足约束条件，则zxy的最大值是_解析：作出约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示，当直线zxy过点A(1,1)时，目标函数zxy取得最大值0.答案：0二元一次不等式(组)表示的平面区域1若关于x，y的不等式组所表示的区域为三角形，则实数a的取值范围是()A(，1)B(0,1)C(1,1)D(1，)解析：yax为过原点的直线，当a0时，若能构成三角形，则需0a1；当a0时，若能构成三角形，则需1a

32、0，综上a(1,1)答案：C2(2014安徽卷)不等式组表示的平面区域的面积为_解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知SABC2(22)4.答案：41.作平面区域时要“直线定界，测试点定域”，当不等式无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线，若直线不过原点，测试点常选取原点2求平面区域的面积，要先确定区域，若是规则图形可直接求，若不规则可通过分割求解求线性目标函数的最值(1)(2014辽宁卷)已知x，y满足约束条件则目标函数z3x4y的最大值为_(2)(2014湖南卷)若变量x，y满足约束条件且z2xy的最小值为6，则k_.解析：(1)画出x，y满足约束条件的可行域如图阴影

33、部分由得点A的坐标为(2,3)作直线l0：3x4y0，可知当平移l0到l(l过点A)时，目标函数有最大值，此时zmax324318.(2)由题意知当z2xy过(k，k)时z2xy有最小值，将(k，k)代入z2xy，3k6，k2.答案：(1)18(2)21(2014全国卷)设x，y满足约束条件则z2xy的最大值为()A10B8C3D2解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由z2xy得y2xz，作出直线y2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(5,2)时，对应的z值最大故zmax2528.答案：B2(2014北京卷)若x，y满足且zyx的最小值为4，则k的值为()A2B2CD解析：作出可

34、行域，如图中阴影部分所示，当k0时，zyx无最小值，所以k0，y0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)；(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)1活用几个重要的不等式a2b22ab(a，bR)；2(a，b同号)ab2(a，bR)；2(a，bR)2巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)ab2成立的条件是ab0.()(3)x0且y0是2的充

35、要条件()(4)若a0，则a3的最小值是2.()答案：(1)(2)(3)(4)2已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为()ABCD解析：由x(33x)3x(33x)，当且仅当3x33x，即x时等号成立答案：B3若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22abBab2CD2解析：a2b22ab(ab)20，A错误对于B、C，当a0，b0时，明显错误对于D，ab0，22.答案：D4已知a，b(0，)，若ab1，则ab的最小值为_；若ab1，则ab的最大值为_解析：由基本不等式得ab22，当且仅当ab1时取到等号；ab2，当且仅当ab时取到等号答案：25若x1，则x的最小

36、值为_解析：xx11415.当且仅当x1，即x3时等号成立答案：5利用基本不等式证明不等式1已知a，b，c，d都是正数，求证：(abcd)(acbd)4abcd.证明：由a，b，c，d都是正数，得(当且仅当abcd时，等号成立)，(当且仅当acbd时，等号成立)，所以abcd，即(abcd)(acbd)4abcd(当且仅当abcd时，等号成立)2已知a0，b0，c0，且abc1.求证：9.证明：a0，b0，c0，且abc1，3332229，当且仅当abc时，取等号利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基

37、本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等利用基本不等式求最值(1)若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a()A1B1C3D4(2)设0x2，则函数y的最大值为_(3)(2014重庆卷)若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是()A62B72B64D74解析：(1)因为x2，所以x20，则f(x)x(x2)22 24，当且仅当x2，即x3时取等号即当f(x)取得最小值时，x3，即a3.(2)0x2，2x0，y，当且仅当x2x，即x1时取等号，当x1时，函数y的最大值为.(3)log4(3a4b)log2，即lo

38、g2log2，3a4bab，1，ab(ab)()77274.答案：(1)C(2)(3)D1.a的取值范围为_解析：显然a2，当a2时，a20.a(a2)2226，当且仅当a2，即a4时取等号当a2时，a20，a(a2)22222.当且仅当a0时取等号取值范围为(，26，)答案：(，26，)2(2014北京房山期末统考)设a0，b0.若是3a与32b的等比中项，则的最小值为()A8B4C1D解析：由题意可知33a32b3a2b，即a2b1.因为a0，b0，所以(a2b)4248，当且仅当，即a2b时取“”答案：A3函数y(x1)的最小值是()A22B22C2D2解析：x1，x10.yx122 2

39、22.当且仅当x1，即x1时，取等号答案：A4函数f(x)1logax(a0，a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny20上，其中mn0，则的最小值为_解析：利用基本不等式求解函数f(x)1logax(a0，a1)的图象恒过定点A(1,1)，代入直线mxny20得mn2.所以1122，当且仅当mn1时取等号，故的最小值是2.答案：25(2014广东广州二模)设x，y均为正实数，且1，则xy的最小值为()A4B4C9D16解析：由1得xy8xy.x，y均为正实数，xy8xy82(当且仅当xy时等号成立)，即xy280，解得4，即xy16，故xy的最小值为16.答案：D6(2014江西南昌检测

40、)若对满足条件xy8xy的正实数x，y都有(xy)2a(xy)10恒成立，则实数a的取值范围为_解析：x0，y0，xy8xy，当且仅当xy时取等号，解得xy8，所以问题转化为当xy8时(xy)2a(xy)10恒成立，即a(xy).令xyt，则f(t)t在8，)上单调递增，故f(t)minf(8)8，a.答案：利用基本不等式求最值的常见类型(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式(2)若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等(3)若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致提醒若可用基本不等式，但等

41、号不成立，则一般是利用函数单调性求解利用基本不等式解决实际问题某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x万件，需另投入的成本为C(x)(单位：万元)，当年产量不足80万件时，C(x)x210x；当年产量不小于80万件时，C(x)51x1 450.通过市场分析，若每万件售价为50万元，则该厂当年生产的该产品能全部销售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数关系式；(2)年产量为多少万件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解析：(1)当0x80时，L(x)50x250x240x250；当x80时，L(x)50x2501 200x，所以L(x)(2)当

42、0x80时，L(x)(x60)2950，此时L(x)maxL(60)950；当x80时，L(x)1 200x1 2002 1 2002001 000，当且仅当x，即x100时，等号成立，此时L(x)maxL(100)1 000.综上所述，当x100时，L(x)取得最大值1 000，即年产量为100万件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是1 000万元某化工企业2013年底投入100万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元设该企业使用该设备x年的年平均污水处理

43、费用为y(单位：万元)(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备解析：(1)由题意得，y，即yx1.5(xN*)(2)由基本不等式得：yx1.52 1.521.5，当且仅当x，即x10时取等号故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备在利用基本不等式解决实际应用问题时，一定要注意问题中所涉及变量的取值范围，即函数的定义域，分析在该范围内是否存在使基本不等式的等号成立的变量值，若存在，则可利用基本不等式求解，若使基本不等式的等号成立的变量值不在函数定义域内，则应利用导数研究函数的单调性，根据单调性求最值A

44、级基础训练1(2014青岛二模)设a，bR，已知命题p：a2b22ab；命题q：2，则p是q成立的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：当p成立的时候，q一定成立，但当q成立的时候，p不一定成立，所以p是q的充分不必要条件答案：B2已知1(x0，y0)，则xy的最小值是()A15B6C60D1解析：x0，y0，12 ，xy60，当且仅当3x5y时等号成立答案：C3若正数x，y满足4x29y23xy30，则xy的最大值是()ABC2D解析：由x0，y0知4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立)，12xy3xy30，即xy2，

45、故选C答案：C4已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值是()A2B4C6D8解析：(xy)1a1a2，当1a29时不等式恒成立，故13，a4.答案：B5设(1，2)，(a，1)，(b,0)(a0，b0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则的最小值是()A4BC8D9解析：(a1,1)，(b1,2)，若A，B，C三点共线，则有，(a1)21(b1)0，2ab1，又a0，b0，(2ab)552 9，当且仅当即ab时等号成立故选D答案：D6当x0时，则f(x)的最大值为_解析：x0，f(x)1，当且仅当x，即x1时取等号答案：17(2014福建卷)要制作一个容积为4 m

46、3，高为1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_(单位：元)解析：设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为x m，因为无盖长方体的容积为4 m3，高为1 m，所以长方体的底面矩形的宽为m，依题意，得y20410(2x)8020(x)80202160(当且仅当x，即x2时取等号)所以该容器的最低总造价为160元答案：1608(2014江苏四市教学调查(一)已知正数x，y满足x2y2，则的最小值为_解析：由已知得1，则(102)9，当且仅当x，y时取等号答案：99已知a0，b0，c0，求证：abc.证明：a0，b0，c0，

47、22c，22b，22a.以上三式相加得：22(abc)，即abc.10(1)求函数yx(a2x)(x0，a为大于2x的常数)的最大值；(2)已知x0，y0，lg xlg y1，求z的最小值解析：(1)x0，a2x，yx(a2x)2x(a2x)2，当且仅当x时取等号，故函数的最大值为.(2)由已知条件lg xlg y1，可得xy10.则2.min2.当且仅当2y5x，即x2，y5时等号成立故z最小值为2.B级能力提升1设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最小值时，x2yz的最大值为()A0BC2D解析：32 31，当且仅当x2y时等号成立，因此z4y26y24y22y2，所以x2

48、yz4y2y22(y1)222.答案：C2当x22x8时，函数y的最小值是_解析：由x22x8得x22x80，即(x4)(x2)0，得2x4，x20，而y(x2)5253.等号当且仅当x1时取得答案：33已知lg(3x)lg ylg(xy1)(1)求xy的最小值；(2)求xy的最小值解析：由lg(3x)lg ylg(xy1)得(1)x0，y0，3xyxy121，3xy210，即3()2210，(31)(1)0，1，xy1，当且仅当xy1时，等号成立xy的最小值为1.(2)x0，y0，xy13xy32，3(xy)24(xy)40，3(xy)2(xy)20，xy2，当且仅当xy1时取等号，xy的最

49、小值为2.4某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由解析：(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为36x6(x1)6(x2)619x(x1)，设平均每天所支付的总费用为y1元，则y11 80069x10 809210 80910 989，当且仅当9x，即x

50、10时取等号即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则y29x(x1)90061 8000.909x9 729(x35)令f(x)x(x35)，x2x135，则f(x1)f(x2).x2x135，x2x10，x1x20,100x1x20，故f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，即f(x)x，当x35时为增函数则当x35时，f(x)有最小值，此时y210 989.因此该厂应接受此优惠条件第五节合情推理与演绎推

51、理1了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用2了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理3了解合情推理和演绎推理的联系和差异1推理(1)定义：是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程(2)分类：推理2合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理3.演绎推理(1)定义

52、：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理(3)模式：三段论1归纳推理与类比推理的步骤(1)归纳推理的一般步骤：(2)类比推理的一般步骤：2合情推理的理解(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论(2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或

53、“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()答案：(1)(2)(3)(4)2数列2,5,11,20，x,47，中的x等于()A28B32C33D27解析：由523,1156,20119，则x2012，因此x32.答案：B3下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内

54、角和是180，归纳出所有三角形的内角和都是180；张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，由此得凸n边形内角和是(n2)180.ABCD解析：是类比推理，是归纳推理，是归纳推理，所以为合情推理答案：C4a(1,0)，b(0，1)，ab(1,0)(0，1)100(1)0.ab.大前提：_；小前提：_；结论：_.答案：若两个向量数量积为零，则这两个向量垂直ab0ab5在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_解析：.答案

55、：18归纳推理(1)(2014陕西卷)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_(2)(2014陕西卷)已知f(x)，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nN，则f2 014(x)的表达式为_解析：(1)5692；66102；68122，归纳：FVE2.(2)f1(x)，f2(x)，f3(x)，归纳法得f2 014(x).答案：(1)FVE2(2)f2 014(x)1(2013陕西卷)观察下列等式121，12223，1222326，1222324210，照此规律，第n个等式

56、可为_解析：观察等式可知，第n个式子为12223242(1)n1n2(1)n1.答案：12223242(1)n1n2(1)n12下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是_解析：最上面是1个，以下每层比上一层多一个，第n层有n个，第n个图形共有12nn(n1)答案：n(n1)归纳推理的分类：常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳类比推理如图所示，

57、若从点O所作的两条射线OM，ON上分别有点M1，M2与点N1，N2，则三角形面积之比.若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP，OQ和OR上分别有点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论为_解析：试题的要求是把二维的面积关系，推广到三维的体积关系：(证明略)答案：已知命题：若数列an为等差数列，且ama，anb(mn，m，nN*)，则amn；现已知等比数列bn(b0，nN*)，bma，bnb(mn，m，nN*)，若类比上述结论，则可得到bmn_.解析：等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中的bnam可以类比等比数列中的，等差数列中的可以类比等比数列中的

58、，故bmn.答案：类比推理一般分为三类：(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移演绎推理数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN)，用三段论的形式证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.证明：(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn1

59、2(n1)Sn.2，(小前提)故是以2为公比，1为首项的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知4(n2)，Sn14(n1)4Sn14an(n2)(大前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)已知函数f(x)(a0且a1)证明：函数yf(x)的图象关于点对称证明：函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点对称的点的坐标为(1x，1y)由已知得y，则1y1，f(1x)，1yf(1x)，即函数yf(x)的图象关于点对称演绎推理的论证

60、规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成A级基础训练1“因为指数函数yax是增函数(大前提)，而yx是指数函数(小前提)，所以函数yx是增函数(结论)”，上面推理的错误在于()A大前提错误导致结论错B小前提错误导致结论错C推理形式错误导致结论错D大前提和小前提错误导致结论错解析：当a1时，yax为增函数；当0a1时，yax为减函数故大前提错误答案：A2

61、由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“”类比得到“”以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是()A1B2C3D4解析：正确，错误答案：B3下列推理是归纳推理的是()A由于f(x)xcos x满足f(x)f(x)对任意xR都成立，推断f(x)xcos x为奇函数B由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜出数列an的前n项和的表达式

62、C由圆x2y2r2的面积Sr2，推断：椭圆1的面积SabD由平面三角形的性质推测空间四面体的性质解析：A是演绎推理，C、D为类比推理，只有B，从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理答案：B4观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28B76C123D199解析：从给出的式子特点观察推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，得a10b10123.答案：C5(2014西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,

63、3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个“整数对”是()A(7,5)B(5,7)C(2,10)D(10,1)解析：依题意，把“整数对”的和相同的分成一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到60，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，因此第60个“整数对”是(5,7)，选B答案：B6数列，2，的一个通项公式是_解

64、析：因为a1，a2，a3，a4，由此猜想an.答案：an7如图所示的“三角形”数列，前4个图形对应的数分别为1,3,6,10，则第7个图形对应的数是_解析：由前4个数1,3,6,10可知数列an满足anan1n，由归纳推理可知a5a4510515，a6a5615621，a7a6721728.答案：288如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，xn，都有f.若ysin x在区间(0，)上是凸函数，那么在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_解析：由题意知，凸函数满足f，sin Asin Bsin C3sin3sin.答案：9平面中的三角形和空间中的四面

65、体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S底高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的；请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论解析：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V底面积高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.10观察下表：1，2,3，4,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2 014是第几行的第几个数？解析：(1)第n

66、1行的第1个数是2n，第n行的最后一个数是2n1.(2)2n1(2n11)(2n12)(2n1)322n32n2.(3)2101 024,2112 048,1 0242 0142 048，2 014在第11行，该行第1个数是2101 024，由2 0141 0241991，知2 014是第11行的第991个数B级能力提升1表示不超过的最大整数若S13，S210，S321，则Sn()An(n2)Bn(n3)C(n1)21Dn(2n1)解析：观察得到：Sn是从开始到(不含)之前共2n1个n的和，所以Sn为n(2n1)，即n(2n1)答案：D2我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平

67、面直角坐标系xOy中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(3,4)，且其法向量为n(1，2)的直线方程为1(x3)(2)(y4)0，化简得x2y110.类比上述方法，在空间直角坐标系Oxyz中，经过点A(1,2,3)，且其法向量为n(1，2,1)的平面方程为_解析：设P(x，y，z)为空间内任意一点，则类比上述结论可得n(x1，y2，z3)(1，2,1)0，整理得x2yz20.答案：x2yz203在锐角三角形ABC中，求证：sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C证明：ABC为锐角三角形，AB，AB，ysin x在上是增函数，sin Asincos B，同理可得sin

68、 Bcos C，sin Ccos A，sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C4某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解析：法一：(1)选择式，计算如下：sin215co

69、s215sin 15cos 151 sin 301 .(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30) .证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2 cos2 sin cos sin2 sin cos sin2 sin2 cos2 .法二：(1)同法一(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30) .证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30) sin (cos 30cos sin 30sin ) cos 2 (cos 6

70、0cos 2sin 60sin 2) sin cos sin2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 (1cos 2)1cos 2 cos 2 .第六节直接证明和间接证明1了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点2了解反证法的思考过程和特点1直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法综合法又称为：由因导果法(顺推证法)(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要

71、证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法分析法又称为：执果索因法(逆推证法)2间接证明反证法反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法1综合法证题的一般规律：用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论2分析法证题的一般规律：分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言

72、表达，下一步是上一步的充分条件3反证法证题的一般规律：反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()(6)证明不等式最

73、合适的方法是分析法()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是逆推法；反证法是间接证法其中正确的有()A2个B3个C4个D5个解析：由分析法、综合法、反证法的定义知都正确答案：D3(2014山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根解析：因为“方程x3axb0至少有一个实根”等价于“方程x3axb0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是

74、“方程x3axb0没有实根”答案：A4(2014山西太原模拟)用反证法证明“若x210，则x1或x1”时，应假设_解析：“x1或x1”的否定是“x1且x1”答案：x1且x15在不等边三角形中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，三边a，b，c应满足_解析：由余弦定理cos A0，所以b2c2a20，即a2b2c2.答案：a2b2c2综合法1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin Bsin Bsin Ccos 2B1.求证：a，b，c成等差数列证明：由已知得sin Asin Bsin Bsin C2sin2B，因为sin B0，所以sin Asin C2sin B，

75、由正弦定理，有ac2b，即a，b，c成等差数列2(2014江西卷)已知数列an的前n项和Sn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)证明：对任意的n1，都存在mN*，使得a1，an，am成等比数列解析：(1)由Sn，得a1S11，当n2时，anSnSn13n2，当n1时也适合，所以数列an的通项公式为an3n2.(2)证明：要使得a1，an，am成等比数列，只需要aa1am，即(3n2)21(3m2)，即m3n24n2，而此时mN*，且mn，所以对任意的n1，都存在mN*，使得a1，an，am成等比数列综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立因此，

76、综合法又叫做顺推证法或由因导果法其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性分析法已知非零向量a，b，且ab，求证：.证明：abab0，要证，只需证|a|b|ab|，只需证|a|22|a|b|b|22(a22abb2)只需证|a|22|a|b|b|22a22b2，只需证|a|2|b|22|a|b|0，即证(|a|b|)20，上式显然成立，故原不等式得证已知m0，a，bR，求证：2.证明：m0，1m0.所以要证原不等式成立，只需证明(amb)2(1m)(a2mb2)，即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故原不等式得证

77、分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，运用分析法必须考虑条件的必要性是否成立通常采用“欲证只需证已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范反证法等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列解析：(1)由已知得d2，故an2n1，Snn(n)(2)证明：由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r)(q2pr)(2

78、qpr)0.p，q，rN*，2pr，(pr)20.pr.与pr矛盾数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列1设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列解析：(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk

79、1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列2已知xR，ax2，b2x，cx2x1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.证明：假设a，b，c均小于1，即a1，b1，c1，则有abc3，而abc2x22x32233，两者矛盾，所以假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.3已知f(x)ax2bxc，若ac0，f(x)在1,1上的最大值为2，最小值为.求证：a0且2.证明：假设a0或2.(1)当a0时，由ac0，得f(x)bx，显然b0.由题意，得f(x)bx在1,1上是单调函数，所以f(x)的最大值为|b|，最小值为|b|.由已知条件，得|b|(|b|)2，这与

80、|b|(|b|)0相矛盾，所以a0.(2)当2时，由二次函数的对称轴为直线x，知f(x)在1,1上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得所以或又ac0，则此时b无解，所以2.由(1)(2)，得a0且2.反证法证明问题的一般步骤(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立(命题成立)A级基础训练1用分析法证明：欲使A

81、B，只需CD，这里是的()A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即，所以是的必要条件答案：B2用反证法证明“如果ab，那么”假设内容应是()ABC且D或解析：假设结论不成立，即的否定为.答案：D3分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设abc，且abc0，求证：a”索的因应是()Aab0Bac0C(ab)(ac)0D(ab)(ac)0解析：由题意知ab2ac3a2b2a(ab)3a2b2a2ab3a2b2ab2a22a2abb20a2aba2b20a(ab)(ab)(ab)0a(ab)c(ab)0(ab)(ac)0，故选C答案：C4

82、设x、y、z0，ax，by，cz，则a、b、c三数()A至少有一个不大于2B都小于2C至少有一个不小于2D都大于2解析：假设a、b、c都小于2，则abc6.而事实上abcxyz2226与假设矛盾，a、b、c中至少有一个不小于2.答案：C5设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，若x1x20，则f(x1)f(x2)的值()A恒为负值B恒等于零C恒为正值D无法确定正负解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1x20，可知x1x2，f(x1)f(x2)f(x2)，则f(x1)f(x2)0，故选A答案：A6设a2，

83、b2，则a，b的大小关系为_解析：a2，b2两式的两边分别平方，可得a2114，b2114，显然，.ab.答案：ab7用反证法证明命题“a，bR，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是_解析：“至少有n个”的否定是“最多有n1个”，故应假设a，b中没有一个能被5整除答案：a，b中没有一个能被5整除8(2014福建福州模拟)如果abab，则a、b应满足的条件是_解析：abab，即()2()0，需满足a0，b0且ab.答案：a0，b0且ab9若abcd0且adbc，求证：.证明：要证，只需证()2()2，即ad2bc2，因adbc，只需证，即adbc，设adbct，

84、则adbc(td)d(tc)c(cd)(cdt)0，故adbc成立，从而成立10在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c三边的倒数成等差数列，求证：B90.证明：假设B90不成立，即B90，从而B是ABC的最大角，b是ABC的最大边，即ba，bc.，相加得，这与矛盾故B90不成立因此B90.B级能力提升1如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则()AA1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形BA1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形CA1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形DA1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形解析：由

85、条件知，A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则A1B1C1是锐角三角形假设A2B2C2是锐角三角形，由得那么，A2B2C2，这与三角形内角和为180相矛盾所以假设不成立，又显然A2B2C2不是直角三角形所以A2B2C2是钝角三角形答案：D2已知点An(n，an)为函数y图象上的点，Bn(n，bn)为函数yx图象上的点，其中nN*，设cnanbn，则cn与cn1的大小关系为_解析：由条件得cnanbnn，cn随n的增大而减小，cn1cn.答案：cn1cn3已知an是正数组成的数列，a11，且点(，an1)(nN*)在函数yx21的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足b11，

86、bn1bn2an，求证：bnbn2b.解析：(1)由已知得an1an1，则an1an1，又a11，所以数列an是以1为首项，1为公差的等差数列故an1(n1)1n.(2)证明：由(1)知，ann，从而bn1bn2n.bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b12n12n2212n1.因为bnbn2b(2n1)(2n21)(2n11)2(22n22n22n1)(22n222n11)52n42n2n0，所以bnbn2b.4已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且0xc时，f(x)0.(1)证明：是f(x)0的一个根；(2)试比较与c的大小；(3)证明：2b1.解析：(1)证明：f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，f(x)0有两个不等实根x1，x2，f(c)0，x1c是f(x)0的根，又x1x2，x2，是f(x)0的一个根(2)假设c，又0，由0xc时，f(x)0，知f0与f0矛盾，c.又c，c.(3)证明：由f(c)0，得acb10，b1ac.又a0，c0，b1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为xx2，即.又a0，b2，2b1.