2022版高中数学 第二章 解三角形 1 正弦定理与余弦定理 综合拔高练（含解析）北师大版必修5.docx

1、综合拔高练五年高考练考点1利用正、余弦定理解三角形1.(2020全国理,7,5分,)在ABC中,cos C=23,AC=4,BC=3,则cos B=() A.19B.13C.12D.232.(2019课标全国,11,5分,)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则bc=()A.6B.5C.4D.33.(2018课标全国,6,5分,)在ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,则AB=()A.42B.30C.29D.254.(2016天津,3,5分,)在ABC中,若AB=13,BC=3,C=120,则AC=()A.

2、1B.2C.3D.45.(2018浙江,13,6分,)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=7,b=2,A=60,则sin B=,c=.考点2三角形面积公式的应用6.(2020北京,17,13分,)在ABC中,a+b=11,再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知,求:(1)a的值;(2)sin C和ABC的面积.条件:c=7,cos A=-17;条件:cos A=18,cos B=916.注:如果选择条件和条件分别解答,按第一个解答计分.7.(2017课标全国,17,12分,)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2B2.(1)求co

3、s B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.考点3正、余弦定理与三角恒等变换的综合应用8.(2020全国理,17,12分,)ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.(1)求A;(2)若BC=3,求ABC周长的最大值.9.(2019课标全国,17,12分,)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sin C.三年模拟练一、选择题1.(2020广东中山一中高二上月考,)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列,c=2a,则

4、cos B等于() A.14B.34 C.23D.242.(2019河南郑州高二期末,)在ABC中,若sin2A-sin2Bsin2C,则ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形3.(2021湖南师大附中高二上月考,)已知ABC的面积为332,A=60,且2sin B=3sin C,则ABC的周长为()A.5+7B.5+10 C.5+19D.124.(2021湖南怀化高二上10月联考,)已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,a2-c2=13b2,tan A=2,则C=()A.12B.6 C.4D.35.(2021浙江精诚联盟高二上开学联考,)在A

5、BC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若csin C=asin A+(b-a)sin B,cosAcosBba,则()A.abB.bc C.baD.ca二、填空题6.()在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2+b2-mc2=0(m为常数),且cosAsinA+cosBsinB=cosCsinC,则m的值为.7.()已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=2A,a=1,b=3,则c=.8.(2020江西新余一中、樟树中学等六校高一下联考,)在ABC中,AB=(3cos x,cos x),AC=(cos x,sin x),则ABC面积的最大值是.三、解答

6、题9.()在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=6,(1+3)c=2b.(1)求C;(2)若CBCA=1+3,求a,b,c.10.(2021北京人大附中高二上段考,)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b2-a2-c2ac=cos(A+C)sinAcosA.(1)求角A;(2)若a=2,求bc的取值范围.易错答案全解全析1综合拔高练五年高考练1.A由cos C=AC2+BC2-AB22ACBC得23=16+9-AB2243,AB=3,cos B=BA2+BC2-AC22BABC=9+9-16233=19,故选A.2.A由正弦定理及asin A-bsin B

7、=4csin C得a2-b2=4c2,由余弦定理的推论可得cos A=b2+c2-a22bc=-3c22bc=-14,所以bc=6.故选A.3.A由cos C=2cos2C2-1及已知得cos C=-35.由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos C=25+1-251-35=32,所以AB=42(负值舍去).4.A由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos C,即13=AC2+9-2AC3-12,所以AC2+3AC-4=0,解得AC=1或AC=-4(舍去).5.答案217;3解析由asinA=bsinB,得sin B=basin A=217.由a2=b2+c2-2bc

8、cos A,得c2-2c-3=0,解得c=3或c=-1(舍去).6.解析若选条件.(1)a+b=11,b=11-a,已知c=7,cos A=-17,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=(11-a)2+72-2(11-a)7-17,解得a=8.(2)cos A=-17,sin A=1-cos2A=437,asinA=csinC,sin C=csinAa=32.又b=11-a=11-8=3,SABC=12bcsin A=1237437=63.若选条件.(1)cos A=18,sin A=1-cos2A=378,cos B=916,sin B=1-cos2B=5716.由正弦定理a

9、sinA=bsinB,得a378=b5716,5a=6b,又a+b=11,a=6.(2)由(1)可得b=11-a=5.sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=378916+185716=74,SABC=12absin C=126574=1574.7.解析(1)由题设及A+B+C=得sin B=8sin2B2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去)或cos B=1517.(2)由cos B=1517得sin B=817,故SABC=12acsin B=417

10、ac.又SABC=2,所以ac=172.由余弦定理及a+c=6得,b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-21721+1517=4,所以b=2(负值舍去).8.解析(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=ACAB.由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACABcos A.由得cos A=-12.因为0A,所以A=23.(2)由正弦定理及(1)得ACsinB=ABsinC=BCsinA=23,从而AC=23sin B,AB=23sin(-A-B)=3cos B-3sin B.故BC+AC+AB=3+3sin B+3cos B=3+23sinB

11、+3.又0B3,所以当B=6时,ABC的周长取得最大值3+23.9.解析(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理的推论得cos A=b2+c2-a22bc=12.因为0A180,所以A=60.(2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得2sin A+sin(120-C)=2sin C,即62+32cos C+12sin C=2sin C,可得cos(C+60)=-22.因为0Csin2C,则由正弦定理可得a2-b2c2,即b2+c2a2,再由余弦定理的推论可得,cos A=b2+c2-a22bcba可得,co

12、sAcosBsinBsinA,且cos A0,cos B0,化简得sin 2Asin 2B,即sin223-Bsin 2B,化简可得-32cos 2B+12sin 2Bsin 2B,即sin2B+3,B3,BA,由大角对大边可知ba.二、填空题6.答案3解析由正、余弦定理及推论,可将cosAsinA+cosBsinB=cosCsinC化为b2+c2-a22abc+a2+c2-b22abc=a2+b2-c22abc,整理得a2+b2=3c2.又因为a2+b2=mc2,所以m=3.7.答案2解析由正弦定理得asinA=bsinB,因为B=2A,所以1sinA=3sin2A=32sinAcosA,又

13、因为sin A0,所以cos A=32,所以A=30.由余弦定理的推论得cos A=b2+c2-a22bc,即b2+c2-2bccos A-a2=0,所以c2-3c+2=0,解得c=1或c=2.当c=1时,a=c,所以A=C=30,B=1202A,不符合题意,舍去;当c=2时,A=30,C=90,B=60,符合题意.8.答案34解析SABC=12|AB|AC|sin=12|AB|2|AC|2(1-cos2)=12|AB|2|AC|2-(ABAC)2=124cos2x-(3cos2x+sinxcosx)2=12|3cos xsin x-cos2x|=12sin2x-6-1234,当且仅当sin2

14、x-6=-1时,等号成立.三、解答题9.解析(1)由已知及正弦定理,得(1+3)sin C=2sinC+6=2sin Ccos6+cos Csin6,整理得sin C=cos C.又因为C(0,),所以C=4.(2)由CBCA=1+3得abcos C=1+3,即ab=2(1+3).由b=1+32c得ac=22.再由ac=sinAsinC,得ac=22,即c=2a.由得a=2,c=2.所以b=1+32c=1+3.10.解析(1)由余弦定理的推论可得cos B=a2+c2-b22ac,所以-2cos B=b2-a2-c2ac,又b2-a2-c2ac=cos(A+C)sinAcosA,所以-2cos

15、 B=cos(A+C)sinAcosA=-cosBsinAcosA,因为ABC为锐角三角形,所以2sin Acos A=1,即sin 2A=1,又因为0A2,所以A=4.(2)由A=4,a=2,可得bsinB=csinC=asinA=222=2,所以b=2sin B,c=2sin C,由A=4,且三角形ABC为锐角三角形,得C=34-B,且4B2,则bc=4sin Bsin C=4sin Bsin34-B=22sin B(cos B+sin B)=2sin 2B+2(1-cos 2B)=2sin2B-4+2,又4B2,所以42B-434,所以22sin2B-41,所以222sin2B-4+22+2,所以bc的取值范围为(22,2+2.易错警示由三角形ABC为锐角三角形求B的范围时,不仅要考虑B为锐角,还需考虑A,C均为锐角,据此列出关于B的不等式组,才能得到B的正确范围.