河北省石家庄栾城中学2020届高三上学期第一次摸底数学（文）试题 WORD版含解析.doc

1、2019-2020学年度栾城中学高三上学期第一次摸底考试文科数学注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别解绝对值不等式与分式不等式求得集合A,B,再求得，及【详解】由题意得，故选C【点睛】集合与集合运算，一般先化简集合到最简形式，如果两个集合都连续型数集，则常利用数轴求集合运算结果，如果是离散型集合运算常运用枚举法或韦恩图2.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士

2、著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据定义把写出复数的代数形式，再写出对应点坐标【详解】由题意，对应点为，在第二象限故选B【点睛】本题考查复数的指数形式与代数形式的转化，考查复数的几何意义解题关键是依定义把复数的指数形式化为代数形式本题考查数学文化，使学生认识到数学美3.已知向量，条件，条件，则是的（

3、）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示求出，再利用充分条件和必要条件的定义即可求解.详解】由向量，若，则，解得，所以推不出，.所以是的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题考查了向量的共线的坐标表示、充分条件和必要条件的定义，属于基础题.4.函数一个对称中心是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】把函数化为形式，结合正弦函数的对称性求解【详解】由题意，由得，因此是一个零点，是一个对称中心故选D【点睛】对函数，由，即对称中心为（），由，即对称轴为（）5.九章算术中的玉石问题：“今有玉方一寸

4、，重七两：石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝石1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的分别为（ ）A. 90，86B. 94，82C. 98，78D. 102，74【答案】C【解析】执行程序：,故输出的分别为故选C6.已知球的表面积为，三点在球面上，且，则三棱锥的高为（ ）A. B. C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】根据题意求出利用球的表面

5、积公式求出球的半径，再利用三棱锥的体积公式求得，设三棱锥的高为，根据即可求解.【详解】如图：设球的半径为，则，得，三点在球面上，且，过三点的截面圆的直径为，半径，且，,，设三棱锥的高为，则，得.故选：A【点睛】本题主要考查了等体法求点到面的距离，同时考查了球的表面积公式、三棱锥的体积公式，需熟记公式，属于中档题.7.已知满足约束条件，若的最小值为，则 （ ）A. B. C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】最值一定在可行域的顶点处取得，作出直线，作出可行域分析最小值点的位置【详解】由不等式组知可行域只能是图中内部（含边界），作直线，平移直线，只有当过点时，取得最小值，易知，解得故选A【点睛

6、】本题考查简单和线性规划问题，解题关键是作出可行域，分析最优解在何处可通过目标函数对应的直线分析可行域的形状、位置8.函数y=sin2x的图象可能是A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令， 因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复9.设，函数的图象

7、向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】要使最小，则为函数的最小正周期【详解】由题意，故选A【点睛】本题考查的图象与性质考虑到此函数的周期性，因此图象向左（或右）平移的单位为一个周期或周期的整数倍，则所得图象与原图象重合此类题常常与正弦函数的性质联系得解10.已知函数与其导函数的图象如图，则满足的x的取值范围为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】观察图像可得的图像与原函数的图像，结合图像可得满足的x的取值范围.【详解】解：观察图像可得，导函数的图像过点（0，0），（，0），原函数的图像过点（0，0），（2，0），观察图像可

8、得满足的x取值范围为. ，故选D.【点睛】本题主要考查函数的图像的判定与应用，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学运算.11.已知点都在函数的图象上，则与的大小关系为（ ）A. B. C. D. 与的大小与有关【答案】D【解析】【分析】求出，利用对数函数性质比较与的大小【详解】由题意，显然，当时，当时，故选D【点睛】本题考查对数函数的性质，特别是对数函数的单调性对数函数，在时为增函数，在时为减函数因此当两个对数的底数是参数时，需要分类讲座都才能比较大小12.点为双曲线的右支上一点，分别是圆和圆上的点，则的最大值为 （ ）A. 8B. 9C. 10D. 7【答案】B【解析】试题分析：在双曲线

9、中，为双曲线的右支上一点，所以分别是圆和上的点，则则所以最大值为9.考点：双曲线的定义的应用.第II卷（非选择题）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分13.我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值线一.凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为则，当时，_.【答案】30【解析】【分析】直接利用方程以及值，求解即可.【详解】，当时，化为：，解得.所以.故答案为：30【点睛】本题考查了解二元一次方程组，属于基础题.14.设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径，则_【答案】【解析】【分析】取线段的中点，设在底面

10、的射影为，连接设出底面边长和斜高，计算出正三棱锥的表面积和体积，利用等积法计算出此棱锥的内切球的半径，由此得到的值，故可求出和，以及的值【详解】取线段的中点，设在底面的射影为，连接（图略），设则，设，则正三棱锥的表面积为，又正三棱锥的体积，则，又【点睛】本题主要通过正三棱锥的结构特征考查学生的直观想象能力，以及运算能力15.抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为_【答案】13【解析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF等于这点到准线的距离d,即FP=d.所以周长，填13.【点睛】解距离和及差最值问题常需要用到距离的转化及对称变换等如本题就利用抛物线的定义进行距离

11、转化抛物线上的点到焦点的距离PF等于这点到准线的距离d,即FP=d，同时折线段和大于或等于垂线段距离，即点A到准线的距离16.在 中，内角 所对的边分别为 ,已知，且，则面积的最大值为_【答案】.【解析】【分析】利用余弦定理求解，根据基本不等式即可求解面积的最大值【详解】由可得：根据余弦定理可得：，即当且仅当时取等号，则面积则面积的最大值为【点睛】本题主要考查了三角形中的几何运算，同时考查了余弦定理和解不等式等有关知识，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.第1721为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60

12、分.17.已知等差数列中，公差；数列中，为其前项和，满足.（1）记，求数列的前项和；（2）求数列的通项公式.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）数列是等差数列，因此数列的前项和可有用裂项相消法求得；（2）时，由此可得通项公式【详解】（1）因为，所以，则，所以；（2）因为，所以，则，当，满足上述通项公式，所以数列的通项公式为【点睛】数列是等差数列，是等比数列，则数列用分组求和法求和，用裂项相消法求和，用错位相减法求和这是常用的求和方法18.为了宣传今年10月在某市举行的“第十届中国艺术节”，“十艺节”筹委会举办了“十艺节”知识有奖问答活动，随机对市民1565岁的人群抽样人，回答问题统计

13、结果如下图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率频率分布直方图第1组50.5第2组0.9第3组27第4组90.36第5组30.2（1）分别求出的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“十艺节”筹委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.【答案】（1）18；0.9（2）【解析】【分析】（1）根据频率表可得第1组人数为，再结合频率分布直方图，进而可求出的值（2）根据分层抽样算出各组抽取的人数，列举出所有的基本事件，再求出所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的情况，利用古典概型的概率计算公式即可求解

14、.【详解】（1）由频率表中第1组数据可知，第1组总人数为，再结合频率分布直方图可知，.（2）第2，3，4组中回答正确的共有54人.利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人，第3组：人，第4组：人.设第2组的2人为，第3组的3人为，第4组的1人为，则从6人中抽2人所有可能的结果有：，共15个基本事件，其中第2组至少有1人被抽中的有，这9个基本事件.第2组至少有1人获得幸运奖的概率为.【点睛】本题考查了频率分布直方图、古典概型的概率计算公式，解题的关键是列举出基本事件个数，属于基础题.19.如图，在三棱锥中，为的中点 （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距

15、离【答案】（1）详见解析（2）【解析】分析：（1）连接，欲证平面，只需证明即可；（2）过点作，垂足为，只需论证的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP=连结OB因为AB=BC=，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OB=2由知，OPOB由OPOB，OPAC知PO平面ABC（2）作CHOM，垂足为H又由（1）可得OPCH，所以CH平面POM故CH的长为点C到平面POM的距离由题设可知OC=2，CM=，ACB=45所以OM=，CH=所以点C到平面POM的距离为点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，

16、第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.20.设椭圆的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；设O为坐标原点，求的值【答案】（1）AM的方程为或；（2）【解析】【分析】求出点A的坐标为或然后求解AM的方程当l与x轴重合时，当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，求出直线MA，MB的斜率之和为的表达式，通过直线与椭圆方程联立，利用韦达定理转化求解即可【详解】解：由已知得，l的方程为，由已知可得，点A的坐标为或所以AM的方程为或；当l与x轴重合时，当

17、l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，当，直线MA，MB的斜率之和为，由，得，将代入，得，所以则，从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以，所以【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力21.设函数讨论的单调性；设，当时，求k的取值范围【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）求出导函数，按的范围分类讨论的正负，可得单调性；（2）令，有，令，有，由得，即单调递增，从而得，按和讨论的单调性和最值，从而得出结论【详解】（1）由题意得，当时，当；当时，；在单调递减，在单调递增，当时，令得，当时，；当时，；当时，；所以在单调递增，在单调递减；当时，所

18、以在单调递增，当时，；当时，；当时，；在单调递增，在单调递减；（2）令，有，令，有，当时，单调递增，即当，即时，在单调递增，不等式恒成立，当时，有一个解，设为根，有单调递减；当时，单调递增，有，当时，不恒成立；综上所述，的取值范围是【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题，不等式恒成立常常转化为求函数的最值，本题设，确定在上的最小值，如果此最小值则符合题意，若此最小值，则不合题意当然在求的零点时，可能还要对求导，以确定零点（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一道作答.如果多做，则按照所做的第一道题计分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，

19、已知直线的参数方程为为参数，），以原点为极点，以轴正半轴建立极坐标系，曲线的极坐标系方程为.（1）写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，求的值.【答案】（1）直线的极坐标方程为：和，曲线的直角坐标方程（2）【解析】试题分析：（1）由直线参数方程几何意义得直线倾斜角为，故直线的极坐标方程为：，利用将极坐标方程化为直角坐标方程（2）由极坐标极径含义：，因此只需联立直线与曲线极坐标方程即可：，代入化简得试题解析：解：（1）由得，当时，直线为其极坐标方程为或当时，消去参数的又，所以，直线是过原点且倾斜角为的直线，故直线的极坐标方程为：和综上所述，直线的极坐标方程为：或.由得，即.（2）设，解方程组得，则解方程组得，则，于是考点：直线参数方程几何意义，极坐标方程化为直角坐标方程23.已知函数，当时，若的最小值为3，求实数a的值；当时，若不等式的解集包含，求实数a的取值范围【答案】（1）或4（2）【解析】【分析】当时，化简的表达式，利用绝对值的几何意义，求解最小值然后求解a即可当时，即，通过x范围，转化去掉绝对值符号，推出a的范围【详解】解：当时，因为的最小值为3，所以，解得或4当时，即，当时，即，因为不等式的解集包含，所以且，即，故实数a的取值范围是【点睛】本题考查函数的最值的求法，绝对值的几何意义，考查转化思想以及计算能力