新人教版九年级上册数学21.3.2《实际问题与一元二次方程（2）》名师教案（.doc

1、21.3 实际问题与一元二次方程（2）21.3.2 航行问题、几何问题（胡雯雯）一、教学目标（一）核心素养在几何问题中以学生熟悉的现实生活为背景，让学生从具体问题中抽象出数量关系. 经历观察、思考、交流，归纳出变化规律，并用数学符号表示，进而解决实际问题. 进一步提高逻辑思维和解决问题的能力,培养学生数学建模的能力.体现数学在生活中的应用.（二）学习目标1.在几何背景下，让学生通过画图独立理解并解决问题，培养学生对几何问题的分析能力，以及将数学知识和实际问题相结合的思维能力.2.培养学生的阅读能力.3.根据实际情况验证结果的合理性.（三）学习重点建立数学模型，找等量关系，列方程（四）学习难点找

2、等量关系，列方程二、教学设计（一）课前设计预习任务长方形的长和宽分别是a和b，则其面积为 ab ,周长为 2（a+b） .三角形一边及其这边上的高分别为a，h，则其面积为圆的半径为r，其面积为 ，周长为.预习自测1.如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的，如果AB=8cm，阴影部分的面积是24cm2，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为 cm【知识点】一元二次方程的应用.【数学思想】数形结合【解题过程】解：设小矩形的长为xcm，则小矩形的宽为（8x）cm，根据题意得：xx（8x）=24，解得：x=6或x=2（舍去），【思路点拨】设小矩形的长为xcm，则小矩形的宽为（8x）cm，然后表示出阴影部

3、分的宽，从而根据其面积列出方程求解即可【答案】6cm2.如图，圆环的形状如图所示，它的面积是200cm2，外沿大圆的半径是9cm，求内沿小圆的半径的长若设小圆的半径长为xcm，可列方程为 【知识点】一元二次方程的应用.【数学思想】数形结合【解题过程】解：设小圆的半径长为xcm，由题意，得81x2=200【思路点拨】根据圆环的面积公式：圆环的面积=大圆的面积小圆的面积，把数据代入公式即可列出方程【答案】81x2=2003. 如图，张叔叔计划利用一面墙（墙长为16m）、32m长的篱笆及一扇宽为1m的木门修建一个面积为130m2的矩形鸡场若设AB=xm，则BC用含x的代数式可表示为 m，依题意列方程

4、 解之得： 满足题意的x= AB= m，BC= m【知识点】一元二次方程的应用【数学思想】数形结合【解题过程】解：设AB=xm，则BC用含x的代数式可表示为（32+12x）=（332x）m，依题意列方程：x（332x）=130解之得：x1=，x2=10满足题意的x=10AB=10m，BC=13m【思路点拨】设AB=xm，则BC用含x的代数式可表示为（332x）m，根据鸡场是面积为130m2的矩形，列出方程求解即可【答案】（332x）；x（332x）=130；x1=，x2=10；10； 134.如图，在RtABC中，C=90，点P以1cm/s的速度由点A向终点C运动，点Q以2cm/s的速度由点C

5、向终点B运动，当其中一点到达自己的终点时，另一点随之停止运动现已知AC=12cm，BC=9cm，设运动了t秒时，SPQC=SABC，则t的值为 【知识点】一元二次方程的应用.【数学思想】数形结合【解题过程】解：由题意得：PC=（12t）cm，CQ=2t，则2t（12t）=912解得：t=3或t=9（舍去）【思路点拨】分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用SPQC=SABC列出方程求解【答案】3s（二）课堂设计1.知识回顾（1）列方程解应用题的一般步骤：审，找，设，列，解，检验，答（2）列方程解决应用问题的关键在于找到等量关系，从而建立方程求解.（3）正方形，长方形，三角形，圆等几何图形的周长及

6、面积计算公式；长方体，正方体的体积及表面积计算公式.2.问题探究探究一 面积体积问题活动1 面积问题例. 如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，求满足x的方程师问：（1）挂图长为 cm，宽为 cm. （2）等量关系是：_.生答：（1）80+2x；50+2x（2）挂图面积为5400 cm2.师问:如何列方程？生答：解：挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm；所以（80+2x）（50+2x）=5400，即4x2+160x+4000+100x=5400，所以4x2+260x

7、1400=0即x2+65x350=0【思路点拨】找出挂图的长和宽，根据其积为5400，即长宽=5400，列方程进行化简即可【设计意图】掌握在几何问题中找长方形的长和宽.活动2 体积问题如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，求该长方体的底面宽，若该长方体的底面宽为x米：（1）用含x的代数式分别表示出该长方体的底面长和容积（2）请列出关于x的方程师问：（1）长方体运输箱底面的宽为xm，则长为_m，进而得到容积为_.（2）等量关系是：_.生答：（1）x+2；

8、x（x+2）；（2）容积是15m3.师问：如何列方程?解：（1）长方体运输箱底面的宽为x m，则长为（x+2）m容积为x（x+2）1=x2+2x；（2）x2+2x=15教师点拨：（1）表示出长方体运输箱底面的宽为xm，则长为（x+2）m，进而得到容积为x（x+2）即可（2）由围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，根据（1）列方程即可【设计意图】考查列代数式以及由实际问题列一元二次方程，利用长方体的体积计算公式来解决问题探究二 勾股定理中的一元二次方程活动1 勾股定理的应用例. 直角三角形的三边长是3个连续偶数，求这个三角形的三边长. 师问：（1）设最短边为2x，另外两边长为:_,_.（2）等

9、量关系是：_.生答（1）2x+2，2x+4，（2）直角三角形两直角边的平方和=斜边的平方.师问：如何列方程求解生答：解：设最短边为2x，则另外两边的长为2x+2，2x+4，根据题意得：（2x）2+（2x+2）2=（2x+4）2；化为一般形式为：x22x3=0故x1=3，x2=-1（舍）所以三边长为6,8,10.教师点拨：根据一边长表示出另外两边的长，然后利用勾股定理列出方程即可；【设计意图】学会用字母表示直角三角形的三边，继而通过勾股定理寻找等量关系.活动2 航行问题中的勾股定理例.如图所示，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动

10、，台风中心海里的圆形区域（包括边界）都属台风区当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由. 师问：（1）设t时刻，轮船行驶到C点，此时AC= ；台风中心运动到E点，此时AE= ； （2）等量关系是：_.生答：（1）AC= 20t ；AE= 100-40t ；（2）EC2=AC2+AE2.师问：如何列方程求解?生答：解：若这艘轮船自A处按原速继续航行，在途中会遇到台风设t时刻，轮船行驶到C点，台风中心运动到E点，如图所示： 则可知AC=20t，AE=100-4

11、0t， 根据勾股定理得：EC2=AC2+AE2,当EC=时，整理得出：t2-4t+3=0解得：t1=1，t2=3，求最初遇台风时间，t=1.答：点C在台风影响的范围内，会受到影响，轮船最初遇到台风的时间是行驶1小时教师点拨：根据勾股定理可得出此时轮船到台风中心的距离，进而可列方程.【设计意图】训练在方向角背景下用字母表示相关边长，再利用勾股定理找等量关系.探究三 动点问题活动1 三角形背景下的三角形面积例. 已知：如图，在ABC中，B=90，AB=5cm，BC=7cm点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动（1）如果P，Q分别从A，

12、B同时出发，那么几秒后，PBQ的面积等于6cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，PQB的面积能否等于8cm2？说明理由师问：（1）设经过x秒钟，BQ=_, BP=_. （2）等量关系是：_.生答：（1）2x，5x；（2）BP2+BQ2=PQ2师问：如何列方程求解?生答：解：（1）设：经过x秒以后PBQ面积为6 （5x）2x=6整理得：x25x+6=0解得：x=2或x=3答：2或3秒后PBQ的面积等于6cm2 （2）当PQ=5时，在RtPBQ中，BP2+BQ2=PQ2，（5x）2+（2x）2=52，5x210x=0，x（5x10）=0，

13、x1=0，x2=2，当x=0或2时，PQ的长度等于5cm（3）设经过x秒以后PBQ面积为8，（5x）2x=8整理得：x25x+8=0=2532=70PQB的面积不能等于8cm2教师点拨：（1）设经过x秒钟，PBQ的面积等于6平方厘米，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解（2）根据PQ=5，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可；（3）（1）中面积=8cm2，求解方程.【设计意图】训练在几何背景下用字母表示变化的边长，根据面积列方程式解决问题.活动2 四边形背景下的三角形面积如图，在直角

14、梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=6cm，AB=8cm，BC=14cm动点P、Q都从点C同时出发，点P沿CB方向做匀速运动，点Q沿CDA方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动若点P以1cm/s速度运动，点Q以2cm/s的速度运动，连接BQ、PQ当时间t为 秒时，BQP的面积为24cm2师问：整个运动过程中有几种情况？生答：分两种情况讨论：点Q在CD上；点Q在DA上师问：两种情况的时间的分界点是多少？生答：4s.师问：当Q在CD上，要表示BPQ的面积，需要知道它的底和高.若以BP为底，则需要做什么辅助线？生答：过Q点作QGBC于G.师问：此时，BP=_,QG=_

15、.生答：14t，2t.师问：当Q在A D上，要表示BPQ的面积，需要知道它的底和高.若以BP为底，则需要做什么辅助线？生答：过Q点作QGBC于G.师问：此时，BP=_,QG=_.生答：14t，8.师问：如何列方程求解生答：解：如图1，过D点作DHBC，垂足为点H，则有DH=AB=8cm，BH=AD=6cmCH=BCBH=146=8cm在RtDCH中，DHC=90，CD=8cm当点P、Q运动的时间为t（s），则PC=t如图1，当点Q在CD上时，过Q点作QGBC，垂足为点G，则QC=2t又DH=HC，DHBC，C=45在RtQCG中，由勾股定理可得QG=2t（QG=QCsinC=2tsin45=2

16、t）又BP=BCPC=14t，SBPQ=BPQG=（14t）2t=14tt2当Q运动到D点时所需要的时间t=4S=14tt2（0t4），当S=24时，14tt2=24，解得：t1=2，t2=12（舍）如图2，当点Q在DA上时，过Q点作QGBC，垂足为点G，则：QG=AB=8cm，BP=BCPC=14t，SBPQ=BPQG=（14t）8=564t当Q运动到A点时所需要的时间t=S=564t（4t4+），当S=24时，564t=24，解得：t=84+，舍去，综上，当t=2时，S=24.教师点拨：由于点P在线段CB上运动，而点Q沿CDA方向做匀速运动，所以分两种情况讨论：点Q在CD上；点Q在DA上针

17、对每一种情况，都可以过Q点作QGBC于G由于点P、Q运动的时间为t（s），可用含t的代数式分别表示BP、QG的长度，然后根据三角形的面积公式列出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围，根据面积为24cm2，列出方程，解方程并结合t的范围取舍【设计意图】考查了动点与图形面积问题，需要根据题目的条件，分类讨论是关键探究四 几何问题训练活动1 基础型例题例.在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少？（只列方程）【知识点】一元二次方程的应用.【数学思想】数形结合【解题过程】解：设修建的路宽为x米余下的面积表示为：2030（

18、30x+20xx2）米2，根据题意可知：矩形地面所修路面积=耕地面积，依此列出等量关系：余下的面积表示为2030（30x+20xx2）米2，则根据题意得：2030（30x+20xx2）=551【思路点拨】要求修建的路宽，就要设修建的路宽应为x米.练习：如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2，那么矩形ABCD的面积是（）A21cm2B16cm2C24cm2D9cm2【知识点】一元二次方程的应用【数学思想】数形结合【解题过程】解：设AB=xcm，AD=（10x）cm，则正方形ABEF的面积为x2cm2

19、，正方形ADGH的面积为（10x）2cm2，根据题意得x2+（10x）2=68整理得x210x+16=0解之得x1=2，x2=8所以AB=2cm，AD=8cm或AB=8cm，AD=2cm，综上可求矩形ABCD的面积是16cm2【思路点拨】本题可设AB=xcm，AD=（10x）cm，则正方形ABEF的面积为x2cm2，正方形ADGH的面积为（10x）2cm2，进而结合题意，可列出方程，求得答案【答案】B【设计意图】进一步练习一元二次方程在几何问题中的应用，在利用一元二次方程解决实际问题时，要根据实际问题对解进行取舍活动2 提升型例题例. 已知ABC中，A=30，B=45，ABC的面积为，若AC=

20、m，则m的值为（）A1B2CD【知识点】一元二次方程的应用；含30度角的直角三角形；勾股定理.【数学思想】数形结合【解题过程】解：如图：作CDAB于点D，A=30，B=45，AC=m，CD=BD=，由勾股定理得：AD=m，AB=AD+BD=mABC的面积为，ABCD=，即：m=，解得：m=2,或m=-2(舍去)，m=2【思路点拨】作CDAB于点D，利用AC的长表示出CD和AB的长，利用三角形的面积公式得到有关m的方程求解即可【答案】B练习.甲、乙两船同时从A港出航，甲船以30千米/时的速度正北航行，乙船以比甲船快10千米/时的速度向东航行，几小时后两船相距150千米？可列方程_【知识点】一元二

21、次方程的应用【数学思想】数形结合【解题过程】解：设x小时后两船相距150千米，则AC=30x，AB=40x，列方程得（30x）2+（40x）2=1502【思路点拨】画出相应图形后，易得两船相距的路程，甲航线路程，乙航行路程组成以两船相距的路程为斜边的直角三角形，利用勾股定理求解即可【答案】（30x）2+（40x）2=1502【设计意图】进一步练习一元二次方程在几何中的应用，勾股定理是此类问题的关键等量关系.活动3 探究型例题例. 等腰ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线

22、AC相交于点D设P点运动时间为t，PCQ的面积为S（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，SPCQ=SABC？（3）作PEAC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论【知识点】 一元二次方程的应用；全等三角形的应用. 【数学思想】数形结合，分类讨论【思路点拨】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S=QCPB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答【解题过程】解：（1）当t10秒

23、时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10t当t10秒时，P在线段AB的延长线上，此时CQ=t，PB=t10（2）SABC=当t10秒时，SPCQ=整理得t210t+100=0无解当t10秒时，SPCQ=整理得t210t100=0解得t=55（舍去负值）当点P运动秒时，SPCQ=SABC（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变证明：过Q作QMAC，交直线AC于点M易证APEQCM，AE=PE=CM=QM=t，四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半又EM=AC=10DE=5当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变同理，当点P在点B右侧时，DE=5综上所述，当点P、Q运动时，

24、线段DE的长度不会改变【答案】（1）t10时， . (2)秒；（3）不会改变.练习：如图所示，在矩形ABCD中，AB=5cm，AD=3cm，G为边AB上一点，GB=1cm，动点E、F同时从点D出发，点F沿射线DGGBBC运动到点C时停止，点E沿DC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s，若E、F同时运动t s时，DEF的面积为5cm2，则t的值为【知识点】一元二次方程的应用，动点问题.【数学思想】数形结合，分类讨论【思路点拨】分三种情况：点F在DG上；点F在BG上；点F在BC上；根据等量关系：DEF的面积为5cm2，列出方程求解即可【解题过程】解：在RtADG中，DG= =5，点F在D

25、G上，依题意有tt=5，解得t=（负值舍去）；点F在BG上，依题意有53=7.55，因此，当F在BG上时，DEF的面积不可能等于5；点F在BC上，依题意有53（t6）=5，解得t=7【答案】t的值为或73. 课堂总结知识梳理（1）在实际生活中有许多几何图形的问题原型，可以用一元二次方程的方法来解决, 体现数学建模的思想.（2）根据实际情况验证结果的合理性.重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）（1）几何问题转化为方程来解决，体会数形结合的思想.（2）动点问题中常用动点运动路径来表示边长，进而通过几何关系寻找等量关系.（三）课后作业基础型 自主突破

26、1.如图，在一幅长80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条金色的纸边制成矩形挂图，如果要使整个挂图的面积为5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则可列方程（）A（80+2x）（50+2x）=5400 B（802x）（502x）=5400C（80+x）（50+x）=5400 D（80x）（50x）=5400【知识点】一元二次方程的应用.【数学思想】数形结合【解题过程】解：依题意，设金色纸边的宽为xcm，（80+2x）（50+2x）=5400.【思路点拨】根据矩形的面积=长宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长+2个纸边的宽度）（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此

27、可得出方程【答案】A2.长方形的周长等于62cm，若面积等于210cm2，则它的长和宽分别是（）A21cm，5cm B5cm，4cm C21cm，10cm D21cm，4cm【知识点】一元二次方程的应用.【解题过程】解：设长方形的长是xcm，x=210x=21或x=10（舍去）（622121）2=10长是21cm，宽是10cm【思路点拨】设长方形的长是xcm，根据长方形的周长等于62cm，若面积等于210cm2，可列方程求解【答案】C3.一个长方形的长比宽多1cm，面积是132cm2，长方形的长和宽分别是_.【知识点】一元二次方程的应用.【解题过程】设长方形的长为xcm，则宽为（x1）cm，x

28、（x1）=132，即：x2x132=0；解得x1=12，x2=-11（不合题意，舍去）【思路点拨】根据长比宽多1cm，面积是132cm2，表示出长和宽，列出等式即可；【答案】12cm，11cm.3.如图，用一根长为22cm的铁丝分段围成一个面积为10cm2的“田”字形的长方形铁丝框设宽为x，请列出关于x的方程并化成一般形式_.【知识点】一元二次方程的应用.【数学思想】数形结合【解题过程】解：设矩形的宽为xcm，则长为：cm，根据题意得到：x=10，化为一般形式为：3x222x+30=0【思路点拨】分别表示出矩形的长和宽，利用面积计算方法列出方程即可【答案】3x222x+30=04.一桌面的长为

29、6米，宽为3米，铺在桌子上的台布的面积是桌面面积的三倍，并且各边垂下的长度相同，设台布垂下的长度xm，可列方程_.【知识点】一元二次方程的应用.【解题过程】解：设垂下的长度为x，由题意得（6+2x）（3+2x）=363；【思路点拨】设垂下的长度为x，根据矩形的面积计算的方法列出方程即可；【答案】（6+2x）（3+2x）=3635.已知一个大正方形的边长比小正方形边长的2倍少1，若大正方形面积比小正方形面积多33，求小正方形的边长如果设小正方形边长为x请列出方程，并化为一般形式_【知识点】一元二次方程的应用.【解题过程】解：设小正方形边长为x，大正方形的边长比小正方形边长的2倍少1，大正方形的边

30、长为2x1，根据题意得：（2x1）2x2=33，化为一般形式为3x24x32=0【思路点拨】根据小正方形的边长表示出大正方形的边长，然后根据面积之间的关系列出等式即可【答案】3x24x32=06. 如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方厘米，则此方格纸的面积为多少平方厘米？（）A11B12C13D14【知识点】一元二次方程的应用.【数学思想】数形结合【解题过程】解：方格纸的边长是x，x2xxxxxx=x2=12所以方格纸的面积是12，【思路点拨】可设方格纸的边长是x，灰色三角形的面积等于方格纸的面积减去周围三个直角三角形的面积，列出方程可求

31、解【答案】B能力型 师生共研1. 如图，已知由点P（14，1），A（a，0），B（0，a）确定的PAB的面积是18，则a=【知识点】一元二次方程的应用.【数学思想】数形结合，分类讨论【解题过程】解：作PDx轴于点D，P（14，1），A（a，0），B（0，a），PD=1，OD=14，OA=a，OB=a，SPAB=S梯形OBPDSOABSADP =，解得：a1=3，a2=12【思路点拨】作PDx轴于点D，由P（14，1），A（a，0），B（0，a）就可以表示出ABP的面积，建立关于a的方程求出其解即可【答案】3或12.2.一块长方形铁皮长为4dm，宽为3dm，在四角各截去一个面积相等的正方形，做成

32、一个无盖的盒子，要使盒子的底面积是原来铁皮的面积一半，若设盒子的高为xdm，根据题意列出方程，并化成一般形式【知识点】一元二次方程的应用.【解题过程】解：由题意得：无盖长方体盒子的底面长为（42x）dm，宽为（32x）dm，由题意得，（42x）（32x）=43整理得：2x27x+3=0【思路点拨】首先表示出无盖长方体盒子的底面长为（42x）dm，宽为（32x）dm再根据长方形的面积可得方程（42x）（32x）=43【答案】2x27x+3=0探究型 多维突破1.把一张边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当地裁剪，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大

33、小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子要使折成的长方体盒子底面周长为120cm那么剪掉的正方形的边长为多少？【知识点】一元二次方程的应用.【数学思想】数形结合【解题过程】解：设剪掉的正方形的边长为xcm，由题意得：4（402x）=120，解得x=5答：剪掉的正方形的边长为5cm【思路点拨】首先设剪掉的正方形的边长为xcm，则折成的长方体纸盒的长为（402x）cm，根据“折成的长方体盒子底面周长为120cm”可得方程4（402x）=120，再解方程即可【答案】5cm2.小明是一位动手能力很强的同学，他用橡皮泥做成一个棱长为4cm的正方体（1）如图1所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长

34、为1cm的正方形孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为cm2；（2）如果在第（1）题打孔后，再在正面中心位置（如图2中的虚线所示）从前到后打一个边长为1cm的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥块的表面积为cm2；（3）如果把（1）、（2）中的边长为1cm的通孔均改为边长为acm（a1）的通孔，能否使橡皮泥块的表面积为118cm2？如果能，求出a，如果不能，请说明理由【知识点】一元二次方程的应用.【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）表面积S1=962+44=110（cm2），故填110；（2）表面积S2=S14+41.52=118（cm2），故填118；（3）能使橡皮泥块的表面积为118cm2，理由为

35、：S1=962a2+4a4，S2=S14a2+44a4a2962a2+16a8a2+16a=1189610a2+32a=1185a216a+11=0a1=，a2=1a1，4当边长改为cm时，表面积为118cm2【思路点拨】（1）打孔后的表面积=原正方体的表面积小正方形孔的面积+孔中的四个矩形的面积（2）打孔后的表面积=图中的表面积2个小正方形孔的面积+新打的孔中的八个小矩形的面积（3）根据（1）（2）中的面积计算方法，用a表示出图和图的面积然后让用得出的图的表面积=118计算出a的值【答案】110；118；当边长改为cm时，表面积为118cm2自助餐1.借助一面墙为一边，再用13米的铁丝网围成

36、一个面积为20平方米的长方形，求长方形的长和宽设长为x米，根据题意可得方程（） Ax（13x）=20 B. =20 Cx（130.5x）=20 D=20【知识点】一元二次方程的应用.【解题过程】解：设长方形的长为x米，那么宽为米，根据题意得=20【思路点拨】设长方形的长为x米，那么宽为米，可根据长方形的面积公式即可列方程进行求解【答案】B2.如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（）A10mB10m或5mC5mD5m或8m【知识点】一元二次方程的应用.【数学思想】数形结合，分类讨论【解题过程】解：设AB边的长为x米，则AB=C

37、D=x米，BC=（302x）米，根据题意得：（302x）x=100，解得：x1=5，x2=10，当x=5时，302x=2016，故舍去即与墙垂直的边x为10m【思路点拨】设AB边的长为x米，则AB=CD=x米，BC=（302x）米，根据矩形的面积为100m2，可得出方程，解出即可得出答案【答案】A3.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，则小圆形场地的半径=_m【知识点】一元二次方程的应用.【数学思想】数形结合【解题过程】解：设小圆的半径为xm，则大圆的半径为（x+5）m，根据题意得：（x+5）2=2x2，解得，x=5+5或x=55（不合题意，舍去）【思路点拨】根

38、据等量关系“大圆的面积=2小圆的面积”可以列出方程【答案】（5+5）m4.一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示正方形DEFH的边长为2米，坡角A=30，B=90，BC=6米当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE=米时，有DC2=AE2+BC2【知识点】一元二次方程的应用；含30度角的直角三角形；勾股定理.【数学思想】数形结合【解题过程】解：如图，连接CD，设AE=x米，坡角A=30，B=90，BC=6米，AC=12米，EC=（12x）米，正方形DEFH的边长为2米，即DE=2米，DC2=DE2+EC2=4+（12x）2，AE2+BC2=x2+36，DC2=AE2+BC2，4+（12x

39、）2=x2+36，解得：x=米【思路点拨】根据已知得出设AE=x米，可得EC=（12x）米，利用勾股定理得出DC2=DE2+EC2=4+（12x）2，AE2+BC2=x2+36，即可求出x的值【答案】5.已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2mx+=0的两个实数根（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？【知识点】一元二次方程的应用；平行四边形的性质；菱形的性质.【解题过程】解：（1）四边形ABCD是菱形，AB=AD，=0，即m24（）=0，整理得：（m1）2=0，解得m=1，当m=1时，原方程为x2x

40、+=0，解得：x1=x2=0.5，故当m=1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5；（2）把AB=2代入原方程得，m=2.5，把m=2.5代入原方程得x22.5x+1=0，解得x1=2，x2=0.5，CABCD=2（2+0.5）=5【思路点拨】（1）让根的判别式为0即可求得m，进而求得方程的根即为菱形的边长；（2）求得m的值，进而代入原方程求得另一根，即易求得平行四边形的周长【答案】（1）当m=1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5；（2）56.如图，有一块等腰直角三角形的绿地，面积为18平方千米，甲乙两人分别从顶点C、A同时骑摩托车出发，甲由C向B运动，速度为1千米/分，乙由A向C运动，速度是2千米/分，则分钟后，两人相距2千米【知识点】一元二次方程的应用.【数学思想】数形结合，分类讨论【解题过程】解：如图，ABC为等腰三角形，面积为18平方千米，AC=BC，ACBC=18，AC=BC=6，设x分钟后，两人相距2千米，依题意得CF=x，则CE=62x，x2+（62x）2=（2）2解得x1=2，x2=，答：则2或分钟后，两人相距2千米【思路点拨】首先由三角形的面积求得AC=BC=6，可设时间为x分钟，依题意得CF=x，则CE=62x，利用勾股定理列方程求解【答案】2或