2019届高考大一轮复习备考资料之数学人教A版全国用讲义：第十二章　概率、随机变量及其分布 12-5 WORD版含答案.docx

1、12.5二项分布及其应用最新考纲考情考向分析1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布3.能解决一些简单的实际问题.以理解独立重复试验、二项分布的概念为主，重点考查二项分布概率模型的应用识别概率模型是解决概率问题的关键在高考中，常以解答题的形式考查，难度为中档.1条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)(P(A)0)在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A).(2)条件概率具有的性质0P(B|A)1；如果B和C是两个互斥事件

2、，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2相互独立事件(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件(2)若A与B相互独立，则P(B|A)P(B)，P(AB)P(B|A)P(A)P(A)P(B)(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立(4)若P(AB)P(A)P(B)，则A与B相互独立3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试

3、验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为XB(n，p)，并称p为成功概率题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率()(2)相互独立事件就是互斥事件()(3)对于任意两个事件，公式P(AB)P(A)P(B)都成立()(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(ab)n二项展开式的通项公式，其中ap，b1p.()(5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率()题组二教材改编2P55T3天气预报，在元旦假期甲地降雨

4、概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为()A0.2 B0.3C0.38 D0.56答案C解析设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为AB，P(AB)P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)0.20.70.80.30.38.3P54T2已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为()A. B. C. D.答案B解析设A第一次拿到白球，B第二次拿到红球，则P(AB)，P(A)，所以P(B|

5、A).题组三易错自纠4两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为和，两个零件能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件恰好有一个一等品的概率为()A. B. C. D.答案B解析因为两人加工成一等品的概率分别为和，且相互独立，所以两个零件恰好有一个一等品的概率为P.5从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A. B.C. D.答案B解析P(A)，P(AB)，P(B|A).6箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之

6、后停止的概率为()A. B.3C DC3答案B解析由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为3.题型一条件概率1已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为()A. B.C. D.答案D解析方法一设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)，P(AB)，则所求概率为P(B|A).方法二第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，

7、故第2次抽到卡口灯泡的概率为.2一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P(AB)，P(A|B)解如图，n()9，n(A)3，n(B)4，n(AB)1，P(AB)，P(A|B).思维升华 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)，这是通用的求条件概率的方法(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A).题型二相互独立事件的概率典例 (2017哈

8、尔滨质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列解记E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功，由题设知P(E)，P()，P(F)，P()，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立(1)记H至少有一种新产品研发成功，则 ，于是P()P()P()，故所求的概率为P(H)1P()1.(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0,100,1

9、20,220，因为P(X0)P( )，P(X100)P(F)，P(X120)P(E)，P(X220)P(EF)，故所求的分布列为X0100120220P思维升华 求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算跟踪训练 为了纪念2017在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两

10、个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率解(1)记“甲回答正确这道题”、“乙回答正确这道题”、“丙回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则P(A)，且有即所以P(B)，P(C).(2)有0个家庭回答正确的概率为P0P( )P()P()P()，有1个家庭回答正确的概率为P1P(A B C)，所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为P1P0P11.题型三独立重复试验与二项分布命题点1根据独立重复试验求概率典例 某市电视台举办纪念红军长征胜利知识回答活动，宣传长征精神，首先在甲

11、、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.公园甲乙丙丁获得签名人数45603015然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品(1)求此活动中各公园幸运之星的人数；(2)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为，求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率；(3)若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为X，求X的分布列解(1)甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数分别为103，104，102，101.(2)根据题意，乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率

12、为C4，所以乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率为C22.(3)由题意，知X的所有可能取值为2,3,4，服从超几何分布，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以X的分布列为X234P命题点2根据独立重复试验求二项分布典例 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得200分)设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多

13、少？解(1)X可能的取值为10,20,100，200.根据题意，有P(X10)C12，P(X20)C21，P(X100)C30，P(X200)C03.所以X的分布列为X1020100200P(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i1,2,3)，则P(A1)P(A2)P(A3)P(X200).所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1P(A1A2A3)131.因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是.思维升华 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率(2)在根据独立重复试验求二

14、项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率跟踪训练 (2017牡丹江模拟)为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有25人(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；(2)以上述样本数据估

15、计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆为X，求X的分布列解(1)平均车速不超过100 km/h的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为CC，所以所求的概率P(A).(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的概率为，故XB.所以P(X0)C03，P(X1)C2，P(X2)C2，P(X3)C30.所以X的分布列为X0123P独立事件与互斥事件典例 (1)中国乒乓球队甲、乙两名运动员参

16、加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是，乙夺得冠军的概率是，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为_(2)某射手每次射击击中目标的概率都是，这名射手射击5次，有3次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率是_错解展示：(1)设“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B，则P(A)，P(B)，由A，B是相互独立事件，得所求概率为P(A)P(B)P(AB).(2)所求概率PC32.错误答案(1)(2)现场纠错解析(1)设“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B，则P(A)，P(B).A，B是互斥事件，P(AB)P(A)P(B).(2)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i1,2,3

17、,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则P(A)P(A1A2A345)P(1A2A3A45)P(12A3A4A5)32323.答案(1)(2)纠错心得(1)搞清事件之间的关系，不要混淆“互斥”与“独立”(2)区分独立事件与n次独立重复试验1把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于()A. B.C. D.答案A解析由古典概型知P(A)，P(AB)，则由条件概率知P(B|A).2(2018大连模拟)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知

18、某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8 B0.75C0.6 D0.45答案A解析已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P0.8.3(2017武昌模拟)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则p等于()A. B.C. D.答案B解析由题意得(1p)p，p，故选B.4投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，

19、则该同学通过测试的概率为()A0.648 B0.432 C0.36 D0.312答案A解析3次投篮投中2次的概率为P(k2)C0.62(10.6)，投中3次的概率为P(k3)0.63，所以通过测试的概率为P(k2)P(k3)C0.62(10.6)0.630.648.故选A.5一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X12)等于()AC102 BC92CC92 DC102答案D解析“X12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P(X12)C92C102.6甲射击命中目标的概率是，乙

20、命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为()A. B.C. D.答案A解析设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，“丙命中目标”为事件C，则击中目标表示事件A，B，C中至少有一个发生又P()P()P()P()1P(A)1P(B)1P(C).故目标被击中的概率P1P().7(2017德阳模拟)一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是_答案解析记事件“甲取到2个黑球”为A，“乙取到2个黑球”为B，则有P(B|A)，即所求事件的概率是.

21、8某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为_答案解析设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)P(B)P(C)，该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(ABAB)C，该部件的使用寿命超过1 000小时的概率P.9位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动

22、五次后位于点(2,3)的概率是_答案解析由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C32C5C5.10(2017长沙模拟)排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜的概率都为，前2局中乙队以20领先，则最后乙队获胜的概率是_答案解析乙队30获胜的概率为，乙队31获胜的概率为，乙队32获胜的概率为2.最后乙队获胜的概率为P.11挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检

23、关的概率分别是0.5,0.6,0.75，能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率；(2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X的分布列解(1)设A，B，C分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率PP(A )P(B)P( C)0.5(10.6)(10.75)(10.5)0.6(10.75)(10.5)(10.6)0.750.275.(2)甲被录取的概率为P甲0.50.60.3，同理P乙0.60.50.3，P丙0.750.40.3.甲、乙、丙每位同学被录取的概率均

24、为0.3，故可看成是独立重复试验，即XB(3,0.3)，X的可能取值为0,1,2,3，其中P(Xk)C(0.3)k(10.3)3k.故P(X0)C0.30(10.3)30.343，P(X1)C0.3(10.3)20.441，P(X2)C0.32(10.3)0.189，P(X3)C0.330.027，故X的分布列为X0123P0.3430.4410.1890.02712张先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线(如图)，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.(1)若走L1

25、路线，求最多遇到1次红灯的概率；(2)若走L2路线，求遇到红灯次数X的分布列解(1)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则P(A)C3C2.所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为.(2)依题意，X的可能取值为0,1,2.P(X0)，P(X1)，P(X2).所以随机变量X的分布列为X012P13甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的序号)P(B)；P(B|A1

26、)；事件B与事件A1相互独立；A1，A2，A3是两两互斥的事件；P(B)的值不能确定，它与A1，A2，A3中哪一个发生都有关答案解析由题意知A1，A2，A3是两两互斥的事件，P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(B|A1)，P(B|A2)，P(B|A3)，而P(B)P(A1B)P(A2B)P(A3B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3).14(2017兰州模拟)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4

27、次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率是多少？解(1)记“甲连续射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A1，则事件A1的对立事件1为“甲连续射击4次，全部击中目标”由题意知，射击4次相当于做4次独立重复试验故P(1)C4.所以P(A1)1P(1)1.所以甲连续射击4次，至少有一次未击中目标的概率为.(2)记“甲射击4次，恰好有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰好有3次击中目标”为事件B2，则P(A2)C22，P(B2)C31.由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)P(A2)P(B2).所以

28、两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件Di(i1,2,3,4,5)，则A3D5D43(2 12D1D21)，且P(Di).由于各事件相互独立，故P(A3)P(D5)P(D4)P(3)P(212D1D21).所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为.15设随机变量XB(2，p)，随机变量YB(3，p)，若P(X1)，则P(Y1)_.答案解析XB(2，p)，P(X1)1P(X0)1C(1p)2，解得p.又YB(3，p)，P(Y1)1P(Y0)1C(1p)3.16现有4个人去参加某娱乐活动，该活

29、动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记|XY|，求随机变量的分布列解(1)依题意知，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有k人去参加甲游戏”为事件Ak(k0,1,2,3,4)则P(Ak)Ck4k.故这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P(A2)C22.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则BA3A4.由于A3与A4互斥，故P(B)P(A3)P(A4)C3C4.所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(3)的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P(0)P(A2)，P(2)P(A1)P(A3)C3C3，P(4)P(A0)P(A4)C4C4.所以的分布列是024P