2020-2021学年新教材数学人教B版必修第二册教师用书（含习题测试）：6-3-4　平面向量数乘运算的坐标表示 WORD版含解析.docx

1、6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示课标解读课标要求核心素养1.会用坐标表示平面向量的数乘运算.(一般)2.掌握向量共线坐标表示的条件.(难点)1.借助数乘向量的坐标运算培养数学运算素养.2.通过用坐标表示向量共线的条件培养逻辑推理素养.首都北京的中轴线是北京的中心标志,也是世界上现存最长的城市中轴线,在北京700余年的建筑格局上,中轴线起着相当重要的作用,但是科学家们发现“中轴线”并不是“正南正北”的朝向,即它并没有和子午线重合.问题1:如何判断两条直线平行或重合呢?答案利用平行线的判定与性质.问题2:两向量是否共线又如何判断呢?答案利用平行向量定理.1.平面向量数乘运算的坐标表示文字描述符

2、号表示向量设a=(x1,y1),b=(x2,y2),b0,0数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标a=(x1,y1)共线向量共线的充要条件是存在实数,使a=bx1y2-x2y1=0特别提醒向量共线的坐标表达式极易写错,如写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不对的,因此要理解并熟记这一公式,可简记为纵横交错积相减.思考:能否写成y1x1=y2x2?提示不能,因为x1,x2有可能为0.2.线段常见的分点分点坐标线段端点设P1(x1,y1),P2(x2,y2)二等分点中点x1+x22,y1+y22三等分点靠近P12x1+x23,2y1+y23靠近P2x1+2x2

3、3,y1+2y23探究一向量数乘运算的坐标表示例1(1)已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=1a+2b,则1,2的值分别为()A.-2,1B.1,-2C.2,-1D.-1,2(2)设向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求下列各向量.3a;2a+5b;a-4b.答案(1)D解析(1)因为a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),c=1a+2b,所以(3,4)=1(1,2)+2(2,3)=(1+22,21+32),所以1+22=3,21+32=4,解得1=-1,2=2.(2)3a=3(-1,2)=(-3,6).2a+5b=2(-1,2)+5(3,-5)

4、=(-2,4)+(15,-25)=(13,-21).a-4b=(-1,2)-4(3,-5)=(-13,22).思维突破向量的坐标运算(1)主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,然后进行向量的坐标运算,要注意三角形法则及平行四边形法则的应用.(3)若是给出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.1-1设向量=(1,0),=(0,1),=(4,5),若=(3+2)+(2-),其中,R,则2+2=.答案5解析由已知可得=(3+2)+(2-)=(3+2,2-),又=(4,5),所以3+2=4,2-=5,解得=2,=-1,所

5、以2+2=5.探究二向量共线的坐标表示例2(1)已知A,B,C三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C点的横坐标为6,则C点的纵坐标为()A.-13B.9C.-913(2)已知向量a=(1,2),b=(2,3),若向量a+b与向量c=(-4,-7)共线,则=.答案(1)C(2)2解析(1)设C(6,y),ABAC,又AB=(-8,8),AC=(3,y+6),-8(y+6)-38=0,y=-9.(2)因为a=(1,2),b=(2,3),所以a+b=(,2)+(2,3)=(+2,2+3).因为向量a+b与向量c=(-4,-7)共线,所以-7(+2)+4(2+3)=0,解得=2.思维突破1.

6、向量共线的判定方法三点共线问题的实质是向量共线问题.2.利用向量的坐标运算求参数用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标,利用点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件,建立关于参数的方程(组)进行求解.2-1已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量AB与CD平行吗?直线AB平行于直线CD吗?解析根据题意知AB=(1-(-1),3-(-1)=(2,4),CD=(2-1,7-5)=(1,2).22-41=0,ABCD.又AC=(2,6),AB=(2,4),24-260,A,B,C三点不共线,AB与CD不重合,ABCD.2-2(2020 山东淄博七中高一期中)设A,B,C,D为平

7、面内的四点,且A(1,3),B(2,-2),C(4,1).(1)若AB=CD,求D点的坐标;(2)设向量a=AB,b=BC,若ka-b与a+3b平行,求实数k的值.解析(1)设D(x,y),A,B,C,D为平面内的四点,且A(1,3),B(2,-2),C(4,1),又AB=CD,(2,-2)-(1,3)=(x,y)-(4,1),(1,-5)=(x-4,y-1),x-4=1,y-1=-5,解得x=5,y=-4,D(5,-4).(2)a=AB=(1,-5),b=BC=(2,3),ka-b=k(1,-5)-(2,3)=(k,-5k)-(2,3)=(k-2,-5k-3),a+3b=(1,-5)+3(2

8、,3)=(1,-5)+(6,9)=(7,4).ka-b与a+3b平行,7(-5k-3)-4(k-2)=0,解得k=-13,实数k的值为-13.探究三向量共线的应用例3(易错题)已知点A(3,-4)与点B(-1,2),点P在直线AB上,且|AP|=2|PB|,求点P的坐标.解析设点P的坐标为(x,y),|AP|=2|PB|,P在线段AB上时,AP=2PB,(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y),x-3=-2-2x,y+4=4-2y,解得x=13,y=0,点P的坐标为13,0;当P在线段AB的延长线上时,AP=-2PB,(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y),x-3=2+2x,y+4=-

9、4+2y,解得x=-5,y=8,点P的坐标为(-5,8).综上所述,点P的坐标为13,0或(-5,8).1.(变条件)若将本例条件“|AP|=2|PB|”改为“AP=3PB”,其他条件不变,求点P的坐标.解析设点P的坐标为(x,y).因为AP=3PB,所以(x-3,y+4)=3(-1-x,2-y),所以x-3=-3-3x,y+4=6-3y,解得x=0,y=12,所以点P的坐标为0,12.2.(变条件)若将本例条件改为“经过点P(-2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A,B,且|AB|=3|AP|”,求点A,B的坐标.解析由题设知,A,B,P三点共线,且|AB|=3|AP|.设A(x,0),B(0

10、,y).点P在A,B之间,则有AB=3AP,(-x,y)=3(-2-x,3),-x=-6-3x,y=9,解得x=-3,y=9,点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,9).点P不在A,B之间,则有AB=-3AP,易得点A,B的坐标分别为-32,0,(0,-9).综上,点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,9)或-32,0,(0,-9).易错点拨常因点的位置考虑不全而造成过程性失分.在求有向线段分点坐标时,不必过分强调公式记忆,可以根据几何问题转化为向量问题后解方程(组)求解,同时应注意分类讨论.3-1已知两点P1(3,2),P2(-8,3),点P12,y满足P1P=PP2,求及y的值.解析因

11、为P1P=12-3,y-2=-52,y-2,PP2=-8-12,3-y=-172,3-y,又P1P=PP2,所以-52,y-2=-172,3-y,根据向量相等,得-52=-172,y-2=(3-y),解得=517,y=4922.1.若向量a=(3,1),b=(0,-2),则与a+2b共线的向量可以是()A.c=(3,-1)B.e=(-1,-3)C.d=(-3,-1)D.f=(-1,3)答案D因为a+2b=(3,-3)=-3(-1,3),所以向量a+2b与(-1,3)是共线向量.2.设点P是P1(1,-2),P2(-3,5)连线上一点,且P2P=-12PP1,则点P的坐标为()A.(5,-9)B

12、.(-9,5)C.(-7,12)D.(12,-7)答案C设P(x,y),P2P=-12PP1,P2是P1P的中点,-3=1+x2,5=-2+y2,解得x=-7,y=12,P(-7,12).3.(多选题)已知A(3,-6),B(-5,2),且A,B,C三点在一条直线上,则C点的坐标可能是()A.(-9,6)B.(-1,-2)C.(-7,-2)D.(6,-9)答案ABD设C(x,y),则AC=(x-3,y+6),AB=(-8,8).A,B,C三点在同一条直线上,x-3-8=y+68,即x+y+3=0,将四个选项分别代入x+y+3=0验证可知A,B,D符合要求.4.已知a=(2,1),b=(x,-1

13、),且(a-b)与b共线,则|x|=.答案2解析由题知a-b=(2-x,2),(a-b)b,(2-x)(-1)-2x=0,解得x=-2,|x|=2.5.设O是坐标原点,OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),当k为何值时,A,B,C三点共线?解析OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),AB=OB-OA=(4-k,-7),AC=OC-OA=(10-k,k-12),又A,B,C三点共线,由两向量平行的充要条件,得(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,解得k=-2或k=11,即当k=-2或k=11时,A,B,C三点共线.逻辑推理方程思想在平面几何中的应用已知

14、点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O(0,0),求直线AC与OB交点P的坐标.解析解法一:由O,P,B三点共线,得OPOB,可设OP=OB=(4,4),则AP=OP-OA=(4-4,4),AC=OC-OA=(-2,6).由A,P,C三点共线,得APAC,(4-4)6-4(-2)=0,解得=34,OP=34OB=(3,3),点P的坐标为(3,3).解法二:设点P(x,y),则OP=(x,y),OB=(4,4).P、B、O三点共线,OPOB,4x-4y=0.又A(4,0),C(2,6),O(0,0),AP=OP-OA=(x,y)-(4,0)=(x-4,y),AC=OC-OA=(2,6)-

15、(4,0)=(-2,6).P、A、C三点共线,APAC,6(x-4)+2y=0,4x-4y=0,6(x-4)+2y=0,解得x=3,y=3.点P的坐标为(3,3).素养探究:利用线段相交,得到三点共线,转化为向量共线,利用方程思想求解,过程中体现了逻辑推理核心素养.如图,在AOB中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3),OC=14OA,OD=12OB,AD与BC交于点M,求点M的坐标.解析点O(0,0),A(0,5),B(4,3),OA=(0,5),OB=(4,3).设C(x1,y1),OC=14OA=0,54,x1=0,y1=54,点C的坐标为0,54.同理可得点D的坐标为2,32

16、.设点M的坐标为(x,y),则AM=(x,y-5),AD=2,-72.且A,M,D三点共线,AMAD,-72x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.CM=x,y-54,CB=4-0,3-54=4,74.且C,M,B三点共线,CMCB,74x-4y-54=0,即7x-16y=-20.由,得x=127,y=2,点M的坐标为127,2.1.设向量a=(x,-4),b=(1,-x),若向量a与b同向,则x等于()A.-2B.2C.2D.0答案B2.已知向量a=(1,2),b=(,1),若(a+2b)(2a-2b),则的值为()A.12B.13C.1D.2答案A3.已知向量a=(1,1),b=(-1,

17、0),a+b与a-2b共线,则等于()A.12B.2C.-12D.-2答案C4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c等于()A.(1,-1)B.(-1,1)C.(-4,6)D.(4,-6)答案D因为4a,3b-2a,c对应的有向线段首尾相接能构成三角形,所以4a+3b-2a+c=0,则c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).5.如图,在ABC中,AE=15AB,EFBC,EF交AC于F,设AB=a,AC=b,则BF等于()A.-a+15bB.a-15bC.23a-13bD.13a+23b答案A

18、AE=15AB,BE=-45AB,又EFBC,EF=15BC=15(AC-AB),BF=BE+EF=-45AB+15(AC-AB)=15AC-AB=-a+15b.6.已知ABC的顶点A(2,3)和重心G(2,-1),则BC边上的中点的坐标是.答案(2,-3)解析设BC边上的中点为D(x,y),则AG=2GD,又A(2,3),G(2,-1),AG=(0,-4),GD=(x-2,y+1),2(x-2)=0,2(y+1)=-4,解得x=2,y=-3,故D(2,-3).7.已知a=(1,1),b=(x2,x+)且ab,则实数的最小值是.答案-14解析因为ab,所以x2-x-=0,即=x2-x=x-12

19、2-14-14,所以的最小值为-14.8.已知A,B,C三点共线,BA=-38AC,点A,B的纵坐标分别为2,5,则点C的纵坐标为.答案10解析设点C的纵坐标为y,A,B,C三点共线,BA=-38AC,点A,B的纵坐标分别为2,5,2-5=-38(y-2),y=10.9.已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),且AE=13AC,BF=13BC.(1)求点E,F的坐标;(2)判断EF与AB是否共线.解析(1)设E(x1,y1),F(x2,y2).依题意,得AC=(2,2),BC=(-2,3).由AE=13AC可知,(x1+1,y1)=13(2,2),x1+1=23,

20、y1=23,解得x1=-13,y1=23,点E的坐标为-13,23.由BF=13BC可知,(x2-3,y2+1)=13(-2,3),x2-3=-23,y2+1=1,解得x2=73,y2=0,点F的坐标为73,0.(2)由(1)可知,EF=73,0-13,23=83,-23,又AB=(4,-1),EF=23(4,-1)=23AB,EF与AB共线.10.已知点A(1,2),B(2,4),C(-3,5).若BP=BA+mBC,且点P在y轴上,则m=()A.-2B.15C.-15D.2答案B设P(x,y),由题意得AP=mBC,又A(1,2),B(2,4),C(-3,5),AP=(x-1,y-2),B

21、C=(-5,1),x-1=-5m,y-2=m,P(-5m+1,m+2),又点P在y轴上,-5m+1=0,m=15.11.在ABC中,已知A(2,3),B(6,-4),G(4,-1)是中线AD上一点,且|AG|=2|GD|,那么点C的坐标为()A.(-4,2)B.(-4,-2)C.(4,-2)D.(4,2)答案C设C(x,y),则有AD=12(AB+AC)=x+22,y-102.又|AG|=2|GD|,AG=23AD=x+23,y-103.A(2,3),G(4,-1),AG=(2,-4),x+23=2,y-103=-4,解得x=4,y=-2.C(4,-2).12.若AB=i+2j,DC=(3-x

22、)i+(4-y)j(其中i,j为单位向量且其方向分别与x轴,y轴正方向相同),AB与DC共线,则x,y的值可能分别为()A.1,2B.2,2C.3,2D.2,4答案Bi,j为单位向量且其方向分别与x轴,y轴正方向相同,AB=i+2j=(1,2),DC=(3-x)i+(4-y)j=(3-x,4-y),AB与DC共线,1(4-y)-2(3-x)=0,整理得2x-y=2,结合选项可知x,y的值可能分别为2,2.13.已知向量a=(-2,3),ba,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为.答案0,72或73,0解析设B(x,y),则AB=(x-1,y-2)=b.由ba,可设b=a

23、(R),又a=(-2,3),b=(-2,3).-2=x-1,3=y-2,x=1-2,y=3+2.又点B在坐标轴上,则1-2=0或3+2=0,=12或=-23,点B的坐标为0,72或73,0.14.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).若AP=AB+AC(R),试求为何值时,(1)点P在第一、三象限的角平分线上;(2)点P在第三象限内.解析设点P的坐标为(x,y),则AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),AB+AC=(5,4)-(2,3)+(7,10)-(2,3)=(3,1)+(5,7)=(3+5,1+7).AP=AB+AC(R),x-2=3+5,y-3=1+7,则x=5

24、+5,y=4+7.(1)若点P在第一、三象限的角平分线上,则5+5=4+7,=12,当=12时,点P在第一、三象限的角平分线上.(2)若点P在第三象限内,则5+50,4+70,-1,当-1时,点P在第三象限内.15.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)求满足c=ma+nb的实数m,n;(2)设d=(x,y)满足(d-c)(a+b),且|d-c|=1,求d.解析(1)因为a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),所以c=ma+nb=(3m-n,2m+2n)=(4,1),则3m-n=4,2m+2n=1,解得m=98,n=-58.(2)由d=(x,y),得d-c=(x-4,y-1),易知a+b=(2,4),又(d-c)(a+b),且|d-c|=1,所以4(x-4)-2(y-1)=0,(x-4)2+(y-1)2=1,解得x=4+55,y=1+255或x=4-55,y=1-255,所以d=4+55,1+255或d=4-55,1-255.