2020届高三文科数学总复习习题：6-2 等差数列及其前N项和 WORD版含答案.docx

1、6.2等差数列及其前n项和【考点集训】考点一等差数列的定义及通项公式1.(2018陕西咸阳12月模拟,7)张丘建算经卷上一题大意为今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最后一天织布21尺,则该女第一天共织多少布?() A.3尺B.4尺C.5尺D.6尺答案C2.(2017安徽淮南一模,15)已知数列an满足递推关系式an+1=2an+2n-1(nN*),且an+2n为等差数列,则的值是.答案-13.(2018河南开封定位考试,17)已知数列an满足a1=12,且an+1=2an2+an.(1)求证:数列1an是等差数列;(2)若bn

2、=anan+1,求数列bn的前n项和Sn.解析(1)证明:an+1=2an2+an,1an+1=2+an2an,1an+1-1an=12.数列1an是以2为首项,12为公差的等差数列.(2)由(1)知an=2n+3,bn=4(n+3)(n+4)=41n+3-1n+4,Sn=414-15+15-16+1n+3-1n+4=414-1n+4=nn+4.考点二等差数列的性质(2019届湖北宜昌模拟,6)已知数列an满足5an+1=255an,且a2+a4+a6=9,则log13(a5+a7+a9)=()A.-3B.3C.-13D.13答案A考点三等差数列的前n项和1.(2018安徽安庆调研,5)等差数

3、列an中,已知S15=90,那么a8=()A.12B.4C.3D.6答案D2.(2017河南部分重点中学二联,6)设Sn是公差不为零的等差数列an的前n项和,且a10,若S5=S9,则当Sn最大时,n=()A.6B.7C.10D.9答案B3.(2019届福建龙岩永定区模拟,10)已知等差数列an,bn的前n项和分别为Sn和Tn,且SnTn=3n2n+1,则a11b11=()A.1813B.6323C.3323D.6343答案D炼技法【方法集训】方法1等差数列的判定与证明的方法(2019届福建三明模拟,17)已知数列an中,an=2n-1.(1)证明:数列an是等差数列;(2)若数列an的前n项

4、和Sn=25,求n.解析(1)证明:an+1-an=2(n+1)-1-(2n-1)=2,a1=1,数列an是等差数列,首项为1,公差为2.(2)由(1)得数列an的前n项和Sn=n+(n-1)n22=n2,由Sn=25得n2=25,又n0,解得n=5.方法2等差数列前n项和的最值问题的解决方法1.(2019届江西高安模拟,11)已知数列an是等差数列,其前n项和为Sn,满足a1+3a2=S6,给出下列结论:(1)a7=0;(2)S13=0;(3)S7最小;(4)S5=S8.其中正确结论的个数是() A.1B.2C.3D.4答案C2.(2019届福建龙岩新罗区模拟,12)已知等差数列an的公差为

5、-2,前n项和为Sn,a3,a4,a5为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为120,若SnSm对任意的nN*恒成立,则实数m=()A.7B.6C.5D.4答案B3.(2019届福建龙岩新罗区模拟,16)等差数列an中,Sn是它的前n项和,且S6S8,给出下列结论:数列an的公差d0;S9S6;S140;S7一定是Sn中的最大值.其中正确的是(填序号).答案过专题【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一等差数列的定义及通项公式(2016课标全国,17,12分)等差数列an中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求an的通项公式;(2)设bn=an,求数列bn的前10项和,其中x表示不超过x

6、的最大整数,如0.9=0,2.6=2.解析(1)设数列an的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=25.(3分)所以an的通项公式为an=2n+35.(5分)(2)由(1)知,bn=2n+35.(6分)当n=1,2,3时,12n+352,bn=1;当n=4,5时,22n+353,bn=2;当n=6,7,8时,32n+354,bn=3;当n=9,10时,42n+350B.d0D.a1d0.设an的前n项和为Sn,a1=1,S2S3=36.(1)求d及Sn;(2)求m,k(m,kN*)的值,使得am+am+1+am+2+am+k=65.解析(1)由题意知(2a1+d

7、)(3a1+3d)=36,将a1=1代入上式解得d=2或d=-5.因为d0,所以d=2.从而an=2n-1,Sn=n2(nN*).(2)由(1)得am+am+1+am+2+am+k=(2m+k-1)(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65.由m,kN*知2m+k-1k+11,故2m+k-1=13,k+1=5,所以m=5,k=4.考点二等差数列的性质1.(2014重庆,2,5分)在等差数列an中,a1=2,a3+a5=10,则a7=()A.5B.8C.10D.14答案B2.(2015陕西,13,5分)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为.答案5考点

8、三等差数列的前n项和1.(2017浙江,6,4分)已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“S4+S62S5”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案C2.(2015安徽,13,5分)已知数列an中,a1=1,an=an-1+12(n2),则数列an的前9项和等于.答案27C组教师专用题组考点一等差数列的定义及通项公式1.(2013安徽,7,5分)设Sn为等差数列an的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=() A.-6B.-4C.-2D.2答案A2.(2014陕西,14,5分)已知f(x)=x1+x,x0,若f1(x)=

9、f(x), fn+1(x)=f(fn(x),nN+,则f2 014(x)的表达式为.答案f2 014(x)=x1+2 014x3.(2015福建,17,12分)等差数列an中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=2an-2+n,求b1+b2+b3+b10的值.解析(1)设等差数列an的公差为d.由已知得a1+d=4,(a1+3d)+(a1+6d)=15,解得a1=3,d=1.所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n.所以b1+b2+b3+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+10)=(2+22+23+210)+

10、(1+2+3+10)=2(1-210)1-2+(1+10)102=(211-2)+55=211+53=2 101.4.(2013课标,17,12分)已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.(1)求an的通项公式;(2)求数列1a2n-1a2n+1的前n项和.解析(1)设an的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)2d.由已知可得3a1+3d=0,5a1+10d=-5.解得a1=1,d=-1.故an的通项公式为an=2-n.(2)由(1)知1a2n-1a2n+1=1(3-2n)(1-2n)=1212n-3-12n-1,从而数列1a2n-1a2n+1的前n项和为121-1-11+1

11、1-13+12n-3-12n-1=n1-2n.5.(2013江西,17,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若C=23,求ab的值.解析(1)证明:由已知得sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B,因为sin B0,所以sin A+sin C=2sin B,由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差数列.(2)由C=23,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,所以ab=35.考点二等差数列的性质(2013辽

12、宁,4,5分)下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题:p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列ann是递增数列;p4:数列an+3nd是递增数列.其中的真命题为()A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4答案D考点三等差数列的前n项和1.(2014天津,5,5分)设an是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=()A.2B.-2C.12D.-12答案D2.(2014重庆,16,13分)已知an是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示an的前n项和.(1)求an及Sn;(2)设bn是首项为2的等比数列,

13、公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0.求bn的通项公式及其前n项和Tn.解析(1)因为an是首项a1=1,公差d=2的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.故Sn=1+3+(2n-1)=n(a1+an)2=n(1+2n-1)2=n2.(2)由(1)得a4=7,S4=16.因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4.又因为b1=2,bn是公比q=4的等比数列,所以bn=b1qn-1=24n-1=22n-1.从而bn的前n项和Tn=b1(1-qn)1-q=23(4n-1).3.(2013浙江,19,14分)在公差为d的等差数列an中

14、,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an;(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.解析(1)由题意得5a3a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以an=-n+11,nN*或an=4n+6,nN*.(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d0,由(1)得d=-1,an=-n+11,所以当n11时,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn=-12n2+212n.当n12时,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=-Sn+2S11=12n2-212n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=-12n2+

15、212n,n11,12n2-212n+110,n12.【三年模拟】时间:45分钟分值:60分一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018河南开封定位考试,5)等差数列an的前n项和为Sn,且a1+a5=10,S4=16,则数列an的公差为() A.1B.2C.3D.4答案B2.(2017辽宁六校协作体期中,8)已知等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若对于任意的正整数n,都有SnTn=2n-34n-1,则a3+a152(b3+b9)+a3b2+b10=()A.1943B.1740C.920D.2750答案A3.(2018云南玉溪模拟,9)若an是等差数列,公差d0,且a2 013

16、(a2 012+a2 013)0成立的最大正整数n是()A.4 027B.4 026C.4 025D.4 024答案D4.(2017广东惠州二调,7)设Sn是等差数列an的前n项和,若a6a5=911,则S11S9=()A.1B.-1C.2D.12答案A5.(2019届河北唐山模拟,8)已知数列an的前n项和Sn=2+an,且a1=1,则S5=()A.27B.5327C.3116D.31答案C6.(2019届浙江温州模拟,9)已知an,bn均为等差数列,且a2=4,a4=6,b3=3,b7=9,由an,bn的公共项组成新数列cn,则c10=()A.18B.24C.30D.36答案C7.(201

17、9届河北唐山模拟,6)设an是任意等差数列,它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是()A.2X+Z=3YB.4X+Z=4YC.2X+3Z=7YD.8X+Z=6Y答案D二、填空题(共5分)8.(2018四川德阳一模,7)我国古代数学名著张邱建算经中有“分钱问题”:今有与人钱,初一人与三钱,次一人与四钱,次一人与五钱,以次与之,转多一钱,与讫,还敛聚与均分之,人得一百钱,问人几何?意思是:将钱分给若干人,第一人给3钱,第二人给4钱,第三人给5钱,以此类推,每人比前一人多给1钱,分完后,再把钱收回平均分给各人,结果每人分得100钱,问有多少人?则题中的人数是.答

18、案195三、解答题(共20分)9.(2018广东惠州一调,17)已知等差数列an的公差不为0,前n项和为Sn(nN*),S5=25,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求an与Sn;(2)设bn=1SnSn+1,求证:b1+b2+b3+bn1.解析(1)设等差数列an的公差为d(d0),则由S5=25可得a3=5,即a1+2d=5,又S1,S2,S4成等比数列,且S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d,所以(2a1+d)2=a1(4a1+6d),整理得2a1d=d2,因为d0,所以d=2a1,联立,解得a1=1,d=2,所以an=1+2(n-1)=2n-1,Sn=n(1+2n-1)2

19、=n2.(2)证明:由(1)得bn=1n(n+1)=1n-1n+1,所以b1+b2+b3+bn=11-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1.又nN*,1-1n+11.b1+b2+b3+bn1.10.(2019届河北曲周模拟,17)等差数列an中,公差d0,a2+a6=-8,a3a5=7.(1)求an的通项公式;(2)记Tn为数列bn前n项的和,其中bn=|an|,nN*,若Tn1 464,求n的最小值.解析(1)等差数列an中,公差da5,解方程x2+8x+7=0,得a3=-1,a5=-7,a1+2d=-1,a1+4d=-7,解得a1=5,d=-3.an=5+(n-1)(-3)=-3n+8.(2)由(1)知an的前n项和Sn=5n+n(n-1)2(-3)=-32n2+132n.bn=|an|,b1=5,b2=2,b3=|-1|=1,b4=|-4|=4,当n3时,bn=|an|=3n-8.当n3时,T1=5,T2=7;当n3时,Tn=-Sn+2S2=3n22-13n2+14.Tn1 464,Tn=3n22-13n2+141 464,即(3n-100)(n+29)0,解得n1003,n的最小值为34.