2020届高考数学二轮教师用书：第八章第1节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 WORD版含解析.docx

1、第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是0，180).2斜率公式(1)若直线l的倾斜角90，则斜率ktan .(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1x2，则l的斜率k.3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax

2、ByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置( )(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率( )(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大( )(4)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程yy0k(xx0)表示( )(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示( )答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1直线xya0的倾斜角为( )A30B60C150 D120解析：B设直线的倾

3、斜角为，则tan ，0，)，.2过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )A1 B4C1或3 D1或4解析：A由题意知1(m2)，解得m1.3如果AC0且BC0，在y轴上的截距0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限4直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a_.解析：令x0，则l在y轴上的截距为2a；令y0，得直线l在x轴上的截距为1.依题意2a1，解得a1或a2.答案：1或25教材改编过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为_.解析：当纵、横截距均为0时，直线方程为3x2y0；当纵、横截距均不为0时，设直线方程为1，则1，解得a5.所以直线方

4、程为xy50.答案：3x2y0或xy50考点一直线的倾斜角与斜率(子母变式)母题 直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_. 解析如图，kAP1, kBP，k(，1，)答案(，1，)子题1若将题中P(1,0)改为P(1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围解：P(1,0)，A(2,1)，B(0，)，kAP，kBP.如图可知，直线l斜率的取值范围为.子题2若将题中条件改为“经过P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点”，求直线l的倾斜角的范围解：如图所示，kPA1，kPB1，由图可观察出：直

5、线l倾斜角的范围是.直线的斜率与倾斜角的区别与联系直线l的斜率直线l的倾斜角区别直线l垂直于x轴时l的斜率不存在直线l垂直于x轴时l的斜角是90联系直线的斜率与直线的倾斜角(90除外)为一对应关系当0，90)时，越大，l的斜率越大；当(90，180)时，越大，l的斜率越大所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率. 跟踪训练(1)直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是( )A.B.C. D.解析：B依题意，直线的斜率k1,0)，因此其倾斜角的取值范围是.(2)若经过两点A(4,2y1)，B(2，3)的直线的倾斜角为，则y等于( )A1 B3C0 D2解析：B由ktan 1，得42y2，所以

6、y3.考点二求直线方程(师生共研)典例 (1)求过点A(1,3)，斜率是直线y4x的斜率的的直线方程；(2)求经过点A(5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程解(1)设所求直线的斜率为k，依题意k4.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即4x3y130.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为1，将(5,2)代入所设方程，解得a，所以直线方程为x2y10；当直线过原点时，设直线方程为ykx，则5k2，解得k，所以直线方程为yx，即2x5y0.故所求直线方程为2x5y0或x2y10.在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件

7、若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况跟踪训练根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.解：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin (0)，从而cos ，则ktan .故所求直线方程为y(x4)即x3y40或x3y40.(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a.若a0，即l过(0,0)及(4,1)两点，l的方程为yx，即x4y0.若a0，则设l的方程为1，l过点(4,1)，1，a5，l的方程为x

8、y50.综上可知，直线l的方程为x4y0或xy50.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x50；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y10k(x5)，即kxy(105k)0.由点到直线的距离公式，得5，解得k.故所求直线方程为3x4y250.综上可知，所求直线方程为x50或3x4y250.考点三直线方程的应用(师生共研)典例过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点(1)当AOB面积最小时，求直线l的方程(2)当|OA|OB|取最小值时，求直线l的方程解设直线l：1(a0，b0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以1.(1)12，所以ab16，当且仅当a8，b

9、2时等号成立，所以当a8，b2时，AOB的面积最小，此时直线l的方程为1，即x4y80.(2)因为1，a0，b0，所以|OA|OB|ab(ab)5529，当且仅当a6，b3时等号成立，所以当|OA|OB|取最小值时，直线l的方程为1，即x2y60.与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”(3)求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解跟踪训练 (一题多解)已知直线l过

10、点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程解：法一设直线方程为1(a0，b0)，点P(3,2)代入得12，得ab24，从而SABOab12，当且仅当时等号成立，这时k，从而所求直线方程为2x3y120.法二依题意知，直线l的斜率k存在且k0.则直线l的方程为y2k(x3)(k0)，且有A，B(0,23k)，SABO(23k)(1212)12.当且仅当9k，即k时，等号成立，即ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x3y120.1倾斜角为135，在y轴上的截距为1的直线方程是( )Axy10Bxy10Cxy10 Dxy1

11、0解析：D直线的斜率为ktan 1351，所以直线方程为yx1，即xy10.2过点(2,1)，且倾斜角比直线yx1的倾斜角小的直线方程是( )Ax2 By1Cx1 Dy2解析：A直线yx1的斜率为1，则倾斜角为.依题意，所求直线的倾斜角为，斜率不存在，过点(2,1)的直线方程为x2.3已知三点A(2，3)，B(4,3)，C在同一条直线上，则k的值为( )A12 B9C12 D9或12解析：A由kABkAC，得，解得k12.故选A.4设直线axbyc0的倾斜角为，且sin cos 0，则a，b满足( )Aab1 Bab1Cab0 Dab0解析：D由sin cos 0，得1，即tan 1.又因为t

12、an ，所以1，则ab.5已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x2y40的斜率的倒数，则直线l的方程为( )Ayx2 Byx2Cyx Dyx2解析：A直线x2y40的斜率为，直线l在y轴上的截距为2，直线l的方程为yx2，故选A.6(2020豫南九校联考)若是直线l的倾斜角，且sin cos ，则l的斜率为()A B或2C.或2 D2解析：Dsin cos (sin cos )21sin 2，2sin cos ，(sin cos )2，易知sin 0，cos 0，sin cos ，由解得tan 2，即l的斜率为2，故选D.7直线x2yb0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1，那么b的

13、取值范围是( )A2,2B(，22，)C2,0)(0,2D(，)解析：C令x0，得y，令y0，得xb，所以所围三角形的面积为|b|b2，所以b21，所以b24，又由题意知b0，所以b2,0)(0,28若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为( )A. BC D.解析：B依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得从而可知直线l的斜率为.9已知三角形的三个顶点A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为_.解析：BC的中点坐标为，BC边上中线所在直线方程为，即x13y50.答案：x13y5010已知直线l过坐标原

14、点，若直线l与线段2xy8(2x3)有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_.解析：设直线l与线段2xy8(2x3)的公共点为P(x，y)则点P(x，y)在线段AB上移动，且A(2,4)，B(3,2)，设直线l的斜率为k.又kOA2，kOB.如图所示，可知k2.直线l的斜率的取值范围是.答案：11过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_.解析：若直线过原点，则k，所以yx，即4x3y0.若直线不过原点，设直线方程为1，即xya.则a3(4)1，所以直线的方程为xy10.答案：4x3y0或xy1012设直线l：(a2)x(a1)y60，则直线l恒过定点_.解析：直线l的方程变形为a(xy)2xy60，由解得所以直线l恒过定点(2，2)答案：(2，2)