2020高考数学浙江专用三轮冲刺抢分练：压轴大题突破练（四） WORD版含解析.docx

1、(四)解析几何1(2019杭州外国语学校模拟)抛物线x24y的焦点为F，直线l：y1，若A为抛物线上第一象限的一动点，过F作AF的垂线交直线l于点B，交抛物线于M，N两点(1)求证：直线AB与抛物线相切；(2)若点A满足AMAN，求此时点A的坐标(1)证明由题意得焦点F(0,1)，设A(x0，y0)(x00，y00)，直线AF的斜率为，由题意知直线BF斜率存在，则直线BF的方程为yx1，点B的坐标为，直线AB的斜率为，根据导数的几何意义得yx2在点A(x0，y0)处的切线斜率为，直线AB与抛物线相切(2)解由(1)知A(x0，y0)，直线MN的方程为yx1，由消去y整理得x2x40，由题意知，

2、0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x24，由题意得直线AM的斜率为，同理直线AN的斜率为，1，整理得y2y030，又因为A(x0，y0)在第一象限，解得y03(舍负)，代入抛物线方程得x02，所以存在点A(2，3)，使得AMAN.2.如图，已知直线y2mx2m2m与抛物线C：x2y相交于A，B两点，定点M.(1)证明：线段AB被直线yx平分；(2)求MAB面积取得最大值时m的值(1)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组得x22mx2m2m0，4m24(2m2m)0，即0m1，x1x22m，x1x22m2m，则m，m，线段AB的中点坐标为(m，m)，线段A

3、B被直线yx平分(2)解|AB|(0m1)，点M到直线AB的距离为d，MAB的面积S|AB|d|12(m2m)|(0m1)，令t，则00)于B，C两点，C是AB的中点(1)求证：点C的纵坐标是定值；(2)过点C作与直线l倾斜角互补的直线l交椭圆于M，N两点，求p的值，使得BMN的面积最大(1)证明易知A(0，1)，不妨设B，则C，把点C代入抛物线方程得22p，得t24p，yC为定值(2)解点C是AB中点，SBMNSAMN，直线l的斜率k，直线l的斜率k，直线l的方程为y，即yx2，不妨记m，则l：ymx2，代入椭圆方程整理得(2m21)x28mx60，64m224(2m21)0，即m2，设M(

4、x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|MN|x1x2|2，A到MN的距离d，所以SBMNSAMN|MN|d3.当且仅当，即m2时，等号成立，此时满足0，所以t2，p.4(2019余高、缙中、长中模拟)对于椭圆1(ab0)，有如下性质：若点P(x0，y0)是椭圆外一点，PA，PB是椭圆的两条切线，则切点A，B所在直线的方程是1.利用此结论解答下列问题：已知椭圆C：y21和点P(2，t)(tR)，过点P作椭圆C的两条切线，切点是A，B，记点A，B到直线PO(O是坐标原点)的距离是d1，d2.(1)当t0时，求线段AB的长；(2)求的最大值解(1)因为点P(2，t)，直线AB的方程

5、是2x2ty2，即xty1，当t0时，直线AB的方程是x1，此时|AB|.(2)由(1)知直线AB的方程是xty1，直线PO的方程是tx2y0，联立得(t22)y22ty10，0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(tx12y1)(tx22y1)b0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C过点(0，)，T为直线x4上的动点，过点T作椭圆C的切线TA，TB，A，B为切点(1)求证：A，F2，B三点共线；(2)过点F2作一条直线与曲线C交于P，Q两点，过P，Q作直线x4的垂线，垂足依次为M，N.求证：直线PN与MQ交于定点证明(1)由已知得，b，又a2b2c2，解得a2，b，所以椭圆

6、C的方程为1.设T(4，t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线TA，TB的方程分别为1，1，由于切线TA，TB过点T(4，t)，所以x11，x21，即x1y11，x2y21，所以直线AB的方程为xy1.易知直线AB过点F2(1,0)，所以A，F2，B三点共线(2)当直线PQ的斜率存在时，设过点F2的直线为yk(x1)(k0)，联立得(34k2)x28k2x4k2120，则(8k2)24(34k2)(4k212)0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2，则x1x2，x1x2，过P，Q作直线x4的垂线，垂足依次为M，N，则M(4，y1)，N(4，y2)，则直线PN：yy2(x4

7、)，令y0，则x，直线MQ：yy1(x4)，令y0，得x，因为2x1x285(x1x2)80，所以.因此直线PN与MQ交于定点D.当PQx轴即直线PQ的斜率不存在时，可得PN与MQ交于点.故直线PN与MQ交于定点D.6.如图，过椭圆M：y21的右焦点F作直线交椭圆于A，C两点(1)当A，C变化时，在x轴上求定点Q，使得AQFCQF；(2)在(1)的条件下，设直线QA交椭圆M的另一个交点为B，连接BF并延长交椭圆于点D，当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线AC的方程解(1)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，Q(q,0)，当A，C不在x轴上时，设直线AC的方程为xty1，代入椭圆M的方程

8、，可得(2t2)y22ty10.由题意知，0，则y1y2，y1y2，由意题知kAQkCQ0，即2ty1y2(1q)(y1y2)0，整理得2t2t(1q)0，由题意知无论t取何值，上式恒成立，则q2，当A，C在x轴上时，定点Q(2,0)依然可使AQFCQF成立，所以点Q的坐标是(2,0)(2)由(1)知AQFCQF，即BQFCQF.所以BQ，CQ关于x轴对称，所以BD，CA关于x轴对称，所以B，C关于x轴对称，A，D关于x轴对称，所以四边形ABCD是一个等腰梯形则四边形ABCD的面积S(t)|x1x2|y1y2|t|y1y2|28.由对称性不妨设t0，求导可得S(t)8，令S(t)0，可得t2，由于S(t)在上单调递增，在上单调递减，所以当t2时，四边形ABCD的面积S取得最大值此时，直线AC的方程是xy1.