2021-2022学年数学北师大版选择性必修第二册测评：第二章　导数及其应用 测评 WORD版含解析.docx

1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数y=x4-2x2+5的单调递减区间是()A.(-,-1)和(0,1)B.(-1,0)和(1,+)C.(-1,1)D.(-,-1)和(1,+)答案A解析y=4x3-4x=4x(x2-1),令y0),f(x)在区间(1,+)内单调递增,f(x)0在区间(1,+)内恒成立,ax2在区间(1,+)内恒成立,x1时,x21,a1,故选D.7.设函数f(x)=13x-ln x(x0),则y=f(x)()A.在区间1e,1,(1,e)内均有零点B.在区间1e

2、,1,(1,e)内均无零点C.在区间1e,1内无零点,在区间(1,e)内有零点D.在区间1e,1内有零点,在区间(1,e)内无零点答案C解析由题意得f(x)=x-33x(x0),令f(x)0,得x3;令f(x)0,得0x3;令f(x)=0,得x=3,故知函数f(x)在区间(0,3)内单调递减,在区间(3,+)内单调递增,在点x=3处有极小值1-ln30,f(e)=e3-10,所以f(x)在区间1e,1内无零点,在区间(1,e)内有零点.8.设f(x),g(x)在a,b上可导,且f(x)g(x),则当axg(x)B.f(x)g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)g(x)+f(b)答案C解析f(

3、x)g(x),f(x)-g(x)0,h(x)=f(x)-g(x)在a,b内单调递增,f(x)-g(x)f(a)-g(a),f(x)+g(a)g(x)+f(a).二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.若函数f(x)=13x3+x2-23在区间(a-1,a+4)上存在最小值,则整数a可以取()A.-3B.-2C.-1D.0答案BCD解析由题意,得f(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-,-2),(0,+)内单调递增,在(-2,0)内单调递减,作出其大致图象如图所示,令13x3+x

4、2-23=-23,得x=0或x=-3,则结合图象可知,-3a-10,解得a-2,1),又aZ,所以,a可以取-2,-1,0.10.下列结论中不正确的是()A.若y=cos1x,则y=-1xsin1xB.若y=sin x2,则y=2xcos x2C.若y=cos 5x,则y=-sin 5xD.若y=12xsin 2x,则y=xsin 2x答案ACD解析y=cos1x,则y=-1x2sin1x,故A错误;y=sinx2,则y=2xcosx2,故B正确;y=cos5x,则y=-5sin5x,故C错误;y=12xsin2x,则y=12sin2x+xcos2x,故D错误.故选ACD.11.已知ln x1

5、-x1-y1+2=0,x2+2y2-4-2ln 2=0,记M=(x1-x2)2+(y1-y2)2,则下列说法正确的是()A.M的最小值为25B.当M最小时,x2=125C.M的最小值为45D.当M最小时,x2=65答案BC解析由lnx1-x1-y1+2=0得y1=lnx1-x1+2,(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值可转化为函数y=lnx-x+2图象上的点到直线x+2y-4-2ln2=0上的点的距离的最小值的平方,由y=lnx-x+2得y=1x-1,与直线x+2y-4-2ln2=0平行且与曲线y=lnx-x+2相切的直线的斜率为-12,则令1x-1=-12,解得x=2.切点坐标为(2,

6、ln2).(2,ln2)到直线x+2y-4-2ln2=0的距离d=|2+2ln2-4-2ln2|1+4=255,即函数y=lnx-x+2上的点到直线x+2y-4-2ln2=0上的点的距离的最小值为255,(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为d2=45.过(2,ln2)与x+2y-4-2ln2=0垂直的直线为y-ln2=2(x-2),即2x-y-4+ln2=0,由x+2y-4-2ln2=0,2x-y-4+ln2=0,解得x=125,即当M最小时,x2=125,故选BC.12.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质,下列函数中

7、具有T性质的是()A.y=cos xB.y=ln xC.y=exD.y=x2答案AD解析由题意函数y=f(x)具有T性质,则存在x1,x2,使得f(x1)f(x2)=-1.y=cosx的导数为y=-sinx,存在x1=2,x2=-2,使得f(x1)f(x2)=-1;y=lnx的导数为y=1x0,不存在x1,x2,使得f(x1)f(x2)=-1;y=ex的导数y=ex0,不存在x1,x2,使得f(x1)f(x2)=-1;y=x2的导数为y=2x,存在x1=1,x2=-14,使得f(x1)f(x2)=-1.综上,具有性质T的函数为AD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在平面直

8、角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为.答案(-2,15)解析令y=3x2-10=2,得x=2,又点P在第二象限内,x=-2,得点P的坐标为(-2,15).14.若曲线y=ax2-ln(x+1)在点(1,b)处的切线平行于x轴,则a=.答案14解析由题意得y=2ax-1x+1,曲线在点(1,b)处的切线平行于x轴,2a-12=0,a=14.15.已知函数y=xf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),给出以下说法:函数f(x)在区间(1,+)内是增函数;函数f(x)在区间(-1,1)上无单调

9、性;函数f(x)在x=-12处取得极大值;函数f(x)在x=1处取得极小值.其中正确的说法有.(填序号)答案解析从图象上可以发现,当x(1,+)时,xf(x)0,于是f(x)0,故f(x)在区间(1,+)内单调递增,故正确;当x(-1,1)时,f(x)0,所以函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,错误,也错误;f(x)在区间(0,1)内单调递减,而在区间(1,+)内单调递增,所以函数f(x)在x=1处取得极小值,故正确.16.定义方程f(x)=f(x)的实数根x0叫作函数f(x)的“新驻点”.设f(x)=sin x,则f(x)在(0,)上的“新驻点”为.如果函数g(x)=ln(x+1)与h

10、(x)=x+ex的“新驻点”分别为,那么和的大小关系是.答案4解析f(x)=cosx,令sinx=cosx,即tanx=1,因为x(0,),故x=4.g(x)=11+x,由题意可得,g()=g(),即11+=ln(1+),设H(x)=11+x-ln(1+x),则易得H(x)在(-1,+)内单调递减且H(1)=12-ln2=lne20,故1,h(x)=1+ex,由1+e=+e,故=1,所以0).(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(0,1上的最大值为12,求a的值.解(1)函数f(x)的定义域为(0,2),f(x)=1x-12-x+a.当a=1时,f(x)=-x2+2x(2

11、-x),所以f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,2).(2)当x(0,1时,f(x)=2-2xx(2-x)+a0,即f(x)在(0,1上单调递增,故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)=a,因此a=12.19.(12分)已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程;(2)若当x(1,+)时,f(x)0,求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0,+),当a=4时,f(x)=(x+1)lnx-4(x-1),f(x)=lnx+1x-3,f(1)=-2,f(1)=0,曲线y=f(x)在(1,f(1)处的

12、切线方程为y=-2(x-1),即2x+y-2=0.(2)当x(1,+)时,f(x)0等价于lnx-a(x-1)x+10,设g(x)=lnx-a(x-1)x+1,则g(x)=1x-2a(x+1)2=x2+2(1-a)x+1x(x+1)2,且g(1)=0.当a2,x(1,+)时,x2+2(1-a)x+1x2-2x+10,故g(x)0,g(x)在(1,+)内单调递增,因此g(x)0;当a2时,令g(x)=0得,x1=a-1-(a-1)2-1,x2=a-1+(a-1)2-1.由x21和x1x2=1得x11,故当x(1,x2)时,g(x)0,g(x)在(1,x2)内单调递减,因此g(x)1时,x(0,1

13、)时,y0,所以函数y=16-x-4x+1在(0,1)内单调递增;x(1,a)时,y1时,促销费用投入1万元,厂家的利润最大;当a1时,促销费用投入a万元,厂家的利润最大.21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0,若x=23时,y=f(x)有极值.(1)求a,b,c的值;(2)求y=f(x)在-3,1上的最大值和最小值.解(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f(x)=3x2+2ax+b.由题意,f(1)=3,可得2a+b=0.当x=23时,y=f(x)有极值,则f23=0,可得4a+3b+4=0.由解得a=2,b

14、=-4,又f(1)=4,1+a+b+c=4,c=5.故a=2,b=-4,c=5.(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,f(x)=3x2+4x-4.令f(x)=0,得x1=-2,x2=23.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-3(-3,-2)-2-2,232323,11f(x)+0-0+f(x)81395274f(x)max=13,f(x)min=9527.22.(12分)设函数f(x)=x3+bx+c,曲线y=f(x)在点12,f12处的切线与y轴垂直.(1)求b;(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于1.(1)解f(x

15、)=3x2+b,依题意得f12=0,即34+b=0.故b=-34.(2)证明由(1)知f(x)=x3-34x+c,f(x)=3x2-34.令f(x)=0,解得x=-12或x=12.f(x)与f(x)的情况为:x-,-12-12-12,121212,+f(x)+0-0+f(x)c+14c-14因为f(1)=f-12=c+14,所以当c14时,f(x)只有小于-1的零点.由题设可知-14c14.当c=-14时,f(x)只有两个零点-12和1.当c=14时,f(x)只有两个零点-1和12.当-14c14时,f(x)有三个零点x1,x2,x3,且x1-1,-12,x2-12,12,x312,1.综上,若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,则f(x)所有零点的绝对值都不大于1.