2021-2022学年高中数学 第二章 数列 2.docx

1、第二章数列2.5等比数列的前n项和第2课时等比数列前n项和的性质及应用课后篇巩固提升基础巩固1.在各项都为正数的等比数列an中,首项a1=3,前3项和为21,则a3+a4+a5等于()A.33B.72C.84D.189解析由S3=a1(1+q+q2)=21,且a1=3,得q+q2-6=0.因为q0,所以q=2.故a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22S3=84.答案C2.已知数列an的前n项和Sn=an-1(a是不为零且不等于1的常数),则数列an()A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不是等差数列,也不是等比数列解析因为Sn=an-1符合Sn

2、=-Aqn+A的形式,且a0,a1,所以数列an一定是等比数列.答案B3.已知等比数列an的前10项中,所有奇数项之和为85,所有偶数项之和为170,则S=a3+a6+a9+a12的值为()A.580B.585C.590D.595解析设等比数列an的公比为q,则由题意有S=a3+a6+a9+a12=a3(1+q3+q6+q9)=a1q2=585.答案B4.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯”.意思是:一座七层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.2盏B.3盏C.5盏D.6盏解析

3、设第七层有a盏灯,由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项,以2为公比的等比数列,由等比数列的求和公式可得=381,解得a=3,故顶层有3盏灯.答案B5.已知一个等比数列共有3m项,若前2m项之和为15,后2m项之和为60,则这个等比数列的所有项的和为()A.63B.72C.75D.87解析由已知S2m=15,S3m-Sm=60,又(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)=Sm(Sm+60-S2m),解得Sm=3,所以S3m=60+3=63.答案A6.已知等比数列an的前n项和为Sn,若a2a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为,则S5=()A.35B.33C.31D.29解析设

4、数列an的公比为q,则a2a3=q3=2a1,a1q3=2,即a4=2.又a4与2a7的等差中项为,2+2a7=2,a7=,q3=,q=,a1=16.S5=321-=31.答案C7.已知数列an满足a1=1,an+1an=2n(nN*),则S2 018=.解析an+1an=2n(nN*),a1=1,a2=2,a3=2.又an+2an+1=2n+1,=2,数列an的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2,首项分别为1,2.S2018=(a1+a3+a2017)+(a2+a4+a2018)=321009-3.答案321 009-38.已知一件家用电器的现价是2 000元,如果实行分期付款,一年后还

5、清,购买后一个月第一次付款,以后每月付款一次,每次付款数相同,共付12次,月利率为0.7%,并按复利计算,那么每期应付款元.(参考数据:1.007111.080,1.007121.087,1.07112.105,1.07122.252)解析设每期应付款x元,第n期付款后欠款An元,则A1=2000(1+0.007)-x=20001.007-x,A2=(20001.007-x)1.007-x=20001.0072-1.007x-x,A12=20001.00712-(1.00711+1.00710+1)x,因为A12=0,所以20001.00712-(1.00711+1.00710+1)x=0,解

6、得x=175,即每期应付款175元.答案1759.在等差数列an中,a2+a7=-23,a3+a8=-29.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列an+bn是首项为1,公比为|a2|的等比数列,求bn的前n项和Sn.解(1)设等差数列an的公差为d,依题意得a3+a8-(a2+a7)=2d=-6,从而d=-3.所以a2+a7=2a1+7d=-23,解得a1=-1.所以数列an的通项公式为an=-3n+2.(2)由(1)得a2=-4,所以|a2|=4.而数列an+bn是首项为1,公比为4的等比数列.所以an+bn=4n-1,即-3n+2+bn=4n-1,所以bn=3n-2+4n-1,于是Sn=

7、1+4+7+(3n-2)+(1+4+42+4n-1)=.10.已知数列an的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=Sn,nN*,求:(1)a2,a3,a4的值及数列an的通项公式;(2)a2+a4+a6+a2n的值.解(1)由a1=1,an+1=Sn,n=1,2,3,得a2=S1=a1=,a3=S2=(a1+a2)=,a4=S3=(a1+a2+a3)=.由an+1-an=(Sn-Sn-1)=an(n2),得an+1=an(n2),a2=,an=(n2).数列an的通项公式为an=(2)由(1)可知,a2,a4,a2n是首项为,公比为,项数为n的等比数列,a2+a4+a6+a2n=.能力提升1.

8、在等比数列an中,a1+a2+a3+a4+a5=3,=15,则a1-a2+a3-a4+a5的值是()A.3B.C.-D.5解析由题意可知等比数列an的公比q1,则a1+a2+a5=3,+=15,=5,a1-a2+a3-a4+a5=5.答案D2.已知某公司今年获利5 000万元,如果以后每年的利润都比上一年增加10%,那么总利润达3亿元大约还需要()(参考数据:lg 1.010.004,lg 1.060.025,lg 1.10.041,lg 1.60.204)A.4年B.7年C.12年D.50年解析根据题意知每年的利润构成一个等比数列an,其中首项a1=5000,公比q=1+10%=1.1,Sn

9、=30000.于是得到=30000,整理得1.1n=1.6,两边取对数,得nlg1.1=lg1.6,解得n=5,故还需要4年.答案A3.等比数列an中,a1-a3=3,前n项和为Sn,S1,S3,S2成等差数列,则Sn的最大值为()A.3B.4C.5D.6解析设公比为q,由解得当n为奇数时,Sn=4,当n为偶数时,Sn=.综上,Sn的最大值为4.答案B4.已知等比数列an,其前n项和为Sn,若S30=13S10,S10+S30=140,则S20等于.解析易知q1(否则S30=3S10),由所以q20+q10-12=0,所以q10=3(负值舍去),故S20=S10(1+q10)=10(1+3)=

10、40.答案405.设等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则q的值为.解析当q=1时,Sn=na1,Sn+1=(n+1)a1,Sn+2=(n+2)a1,不符合2Sn=Sn+1+Sn+2,所以q1;当q1时,Sn=,Sn+1=,Sn+2=,由2Sn=Sn+1+Sn+2得q2+q-2=0,解得q=-2.答案-26.如图,作边长为3的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后作新三角形的内切圆,如此下去,则前n个内切圆的面积和为.解析根据题意知第一个内切圆的半径为3=,面积为,第二个内切圆的半径为,面积为,这些内切圆的面积组成一个等比数列,首项为,公比为

11、,故前n个内切圆的面积之和为.答案7.已知正项等差数列an的公差不为0,a2,a5,a14恰好是等比数列bn的前三项,a2=3.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)记数列bn的前n项和为Tn,若对任意的nN*,k3n-6恒成立,求实数k的取值范围.解(1)设公差为d,根据题意知d0,a2=a1+d,a5=a1+4d,a14=a1+13d.(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d),a1+d=3,3d2-6d=0,d=2(d=0舍去).又a2=3,d=2,a1=1,an=2n-1.b1=a2=3,b2=a5=9,b3=a14=27,bn=3n.(2)由(1)知b1=3,q=3.Tn=,k

12、3n-6对nN*恒成立.Tn0,k对nN*恒成立.令cn=,cn-cn-1=,当n3时,cncn-1,当n4时,cncn-1,(cn)max=c3=,故实数k的取值范围为,+.8.已知等差数列an的前n项和为Sn,且a2=8,S4=40.数列bn的前n项和为Tn,且Tn-2bn+3=0,nN*.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn=求数列cn的前2n+1项和P2n+1.解(1)由题意知,解得an=4n.Tn-2bn+3=0,当n=1时,b1=3,当n2时,Tn-1-2bn-1+3=0,两式相减,得bn=2bn-1(n2),故数列bn为等比数列,且bn=32n-1.(2)由(1)知cn=P2n+1=(a1+a3+a2n+1)+(b2+b4+b2n)=22n+1+4n2+8n+2.