2024年高考数学二轮复习：立体几何大题（学生版）.pdf

1、1立体几何大题1.空间中的平行关系（1）线线平行（2）线面平行的判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行（3）线面平行的性质定理若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行（4）面面平行的判定定理判定定理 1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行判定定理 2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行（5）面面平行的性质定理性质定理 1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面性质定理 2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行6.空间中的垂直关系（1）线线垂直（2）线面垂直的判定定理一直线与平面

2、内两条相交直线垂直，则线面垂直（3）线面垂直的性质定理性质定理 1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线性质定理 2：垂直于同一个平面的两条直线平行（4）面面垂直的判定定理一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直(或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直)（5）面面垂直的性质定理两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面6.异面直线所成角cos=cos a,b=|a b|a|b|=|x1x2+y1y2+z1z2|x12+y12+z12 x22+y22+z22(其中(0 90)为异面直线 a,b 所成角，a,b分别表示异面直线 a

3、,b 的方向向量)7.直线 AB 与平面所成角，sin=AB m|AB|m|(m 为平面 的法向量).8.二面角 -l-的平面角cos=m n|m|n|(m，n 为平面，的法向量).9.点 B 到平面 的距离d=|AB n|n|(n 为平面 的法向量，AB 是经过面 的一条斜线，A ).2模拟训练一、解答题1(2223 下湖南二模)如图，在直三棱柱 ABC-ABC 中，ABC=120,AB=BC=2,AC=BB，点 D 为棱 BB 的中点，AE=13 AC (1)求 DE 的长度；(2)求平面 CDE 与平面 BDE 夹角的余弦值2(2223 下绍兴二模)如图，在多面体 ABCDE 中，DE

4、平面 BCD,ABC 为正三角形，BCD 为等腰 Rt,BDC=90,AB=2,DE=2.(1)求证：AE BC；(2)若 AE 平面 BCD，求直线 BE 与平面 ABC 所成的线面角的正弦值.33(2223张家口三模)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形，CBB1=60，AB=BC=2，AC=AB1=2.(1)证明：平面 ACB1 平面 BB1C1C；(2)求平面 ACC1A1与平面 A1B1C1夹角的余弦值.4(2223湛江二模)如图 1，在五边形 ABCDE 中，四边形 ABCE 为正方形，CD DE，CD=DE，如图 2，将 ABE 沿 BE 折起，使得

5、 A 至 A1处，且 A1B A1D (1)证明：DE 平面 A1BE；(2)求二面角 C-A1E-D 的余弦值45(2223 下长沙三模)如图，在多面体 ABCDE 中，平面 ACD 平面 ABC，BE 平面 ABC，ABC 和 ACD 均为正三角形，AC=4，BE=3，点 F 在 AC 上.(1)若 BF 平面 CDE，求 CF；(2)若 F 是 AC 的中点，求二面角 F-DE-C 的正弦值.6(2223 下湖北二模)如图，S 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 内接于 O,AC BC,AC=BC=3 22，AM=2MS,AS=3,PQ 为 O 的一条弦，且 SB 平面 PMQ.

6、(1)求 PQ 的最小值；(2)若 SA PQ，求直线 PQ 与平面 BCM 所成角的正弦值.57(2223深圳二模)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA 平面 ABCD,PA=AD=2AB，点 M 是 PD 的中点.(1)证明：AM PC；(2)设 AC 的中点为 O，点 N 在棱 PC 上(异于点 P，C)，且 ON=OA，求直线 AN 与平面 ACM 所成角的正弦值.8(2223 下温州二模)已知三棱锥 D-ABC 中，BCD 是边长为 3 的正三角形，AB=AC=AD,AD 与平面 BCD 所成角的余弦值为33(1)求证：AD BC；(2)求二面角 D-AC-

7、B 的平面角的正弦值69(2223 下浙江二模)如图，四面体 ABCD,AD CD,AD=CD,AC=2,AB=3,CAB=60，E 为AB 上的点，且 AC DE,DE 与平面 ABC 所成角为 30，(1)求三棱锥 D-BCE 的体积；(2)求二面角 B-CD-E 的余弦值.10(2223 下襄阳三模)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧面 BB1C1C 为矩形，BAC=90，AB=AC=2，AA1=4，A1在底面 ABC 的射影为 BC 的中点 N，M 为 B1C1的中点.(1)求证：平面 A1MNA 平面 A1BC；(2)求平面 A1B1BA 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值.

8、711(2223唐山二模)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，ABC 是等边三角形，侧面 ACC1A1 底面ABC，且 AA1=AC，AA1C1=120，M 是 CC1的中点 (1)证明：A1C BM(2)求二面角 A1-BC-M 的正弦值12(2223 下盐城三模)如图，该几何体是由等高的半个圆柱和 14 个圆柱拼接而成，点 G 为弧 CD 的中点，且 C，E，D，G 四点共面.(1)证明：平面 BDF 平面 BCG；(2)若平面 BDF 与平面 ABG 所成二面角的余弦值为155，且线段 AB 长度为 2，求点 G 到直线 DF 的距离.813(2223 下江苏三模)如图，圆锥 DO

9、中，AE 为底面圆 O 的直径，AE=AD，ABC 为底面圆 O 的内接正三角形，圆锥的高 DO=18，点 P 为线段 DO 上一个动点.(1)当 PO=3 6 时，证明：PA 平面 PBC；(2)当 P 点在什么位置时，直线 PE 和平面 PBC 所成角的正弦值最大.14(2223 下镇江三模)如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，ABC=60，四边形 PACQ 为矩形，PA=1，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).BP,DP 与平面 ABCD 所成角相等；三棱锥 P-ABD 体积为33；cosBPA=55 (1)平面 PA

10、CQ 平面 ABCD；(2)求二面角 B-PQ-D 的大小；(3)求点 C 到平面 BPQ 的距离.915(2223 下江苏一模)在三棱柱 ABC-A1B1C1中，平面 A1B1BA 平面 ABC，侧面 A1B1BA 为菱形，ABB1=3，AB1 AC，AB=AC=2，E 是 AC 的中点.(1)求证：A1B 平面 AB1C；(2)点 P 在线段 A1E 上(异于点 A1，E)，AP 与平面 A1BE 所成角为 4，求 EPEA1的值.16(2223 下河北三模)如图，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是菱形，其对角线 AC,BD 交于点 O，且 PO 平面 ABCD,OC=1,OD=O

11、P=2,M 是 PD 的中点，N 是线段 CD 上一动点 (1)当平面 OMN 平面 PBC 时，试确定点 N 的位置，并说明理由；(2)在(1)的前提下，点 Q 在直线 MN 上，以 PQ 为直径的球的表面积为 214 以 O 为原点，OC,OD,OP的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 O-xyz，求点 Q 的坐标1017(2223汕头三模)如图，圆台 O1O2的轴截面为等腰梯形 A1ACC1，AC=2AA1=2A1C1=4,B 为底面圆周上异于 A,C 的点.(1)在平面 BCC1内，过 C1作一条直线与平面 A1AB 平行，并说明理由；(2)若四棱锥 B-A1

12、ACC1的体积为 2 3，设平面 A1AB 平面 C1CB=l,Q l，求 CQ的最小值.18(1920 下临沂二模)如图，在 RtABC 中，B 为直角，AB=BC=6，EF BC，AE=2，沿 EF将 AEF 折起，使 AEB=3，得到如图的几何体，点 D 在线段 AC 上 (1)求证：平面 AEF 平面 ABC；(2)若 AE 平面 BDF，求直线 AF 与平面 BDF 所成角的正弦值1119(2223 下广州三模)如图，四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形，AB=AP=2，PA 平面ABCD，E,F 分别是线段 PB,PD 的中点，G 是线段 PC 上的一点.(1)求证：平面 EFG

13、平面 PAC；(2)若直线 AG 与平面 AEF 所成角的正弦值为 13，且 G 点不是线段 PC 的中点，求三棱锥 E-ABG 体积.20(2223 下长沙一模)斜三棱柱 ABC-A1B1C1的各棱长都为 2，A1AB=60，点 A1在下底面 ABC的投影为 AB 的中点 O(1)在棱 BB1(含端点)上是否存在一点 D 使 A1D AC1？若存在，求出 BD 的长；若不存在，请说明理由；(2)求点 A1到平面 BCC1B1的距离1221(2223 下长沙三模)如图，三棱台 ABC-A1B1C1，AB BC，AC BB1，平面 ABB1A1 平面ABC，AB=6,BC=4，BB1=2，AC1

14、与 A1C 相交于点 D，AE=2EB，且 DE 平面 BCC1B1.(1)求三棱锥 C-A1B1C1的体积；(2)平面 A1B1C 与平面 ABC 所成角为，CC1与平面 A1B1C 所成角为，求证：+=4.22(2223衡水一模)如图所示，A,B,C,D 四点共面，其中 BAD=ADC=90，AB=12 AD，点 P,Q 在平面 ABCD 的同侧，且 PA 平面 ABCD，CQ 平面 ABCD.(1)若直线 l 平面 PAB，求证：l 平面 CDQ；(2)若 PQ AC，ABP=DAC=45，平面 BPQ 平面 CDQ=m，求锐二面角 B-m-C 的余弦值.1323(2223 下湖北三模)

15、已知平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为 2，且有 AA1D1=AA1B1=D1A1B1=60(1)求证：平面 AA1C1C 平面 A1B1C1D1；(2)求直线 B1D 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值24(2223 下武汉三模)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA 平面 ABCD，PA=AB=2，E 为线段 PB 的中点，F 为线段 BC 上的动点.(1)求证：平面 AEF 平面 PBC；(2)求平面 AEF 与平面 PDC 夹角的最小值.1425(2223 下黄冈三模)如图 1，在四边形 ABCD 中，BC CD，

16、AE CD,AE=BE=2CD=2,CE=3将四边形 AECD 沿 AE 折起，使得 BC=3，得到如图 2 所示的几何体 (1)若 G 为 AB 的中点，证明：DG 平面 ABE；(2)若 F 为 BE 上一动点，且二面角 B-AD-F 的余弦值为63，求 EFEB 的值26(2223德州三模)图 1 是直角梯形 ABCD，AB CD，D=90，AD=3，AB=2，CD=3，四边形 ABCE 为平行四边形，以 BE 为折痕将 BCE 折起，使点 C 到达 C1的位置，且 AC1=6，如图 2 (1)求证：平面 BC1E 平面 ABED；(2)在线段 BE 上存在点 P 使得 PA 与平面 A

17、BC1的正弦值为365，求平面 BAC1与 PAC1所成角的余弦值1527(2223山东二模)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA 平面 ABCD，AB CD，AB BC，PA=AB=BC=2，CD=4 (1)证明：AD PC；(2)若 M 为线段 PB 的靠近 B 点的四等分点，判断直线 AM 与平面 PDC 是否相交？如果相交，求出 P 到交点 H 的距离，如果不相交，说明理由28(2223黄山三模)如图，在直角梯形 ABCD 中，AD BC，AD CD，四边形 CDEF 为平行四边形，对角线 CE 和 DF 相交于点 H，平面 CDEF 平面 ABCD，BC=2AD，DCF=60，G

18、是线段 BE 上一动点(不含端点)(1)当点 G 为线段 BE 的中点时，证明：AG 平面 CDEF；(2)若 AD=1,CD=DE=2，且直线 DG 与平面 CDEF 成 45 角，求二面角 E-DG-F 的正弦值1629(2223菏泽三模)已知在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，其中 AA1=2AC=4,AB=BC,F 为 BB1的中点，点 E 是 CC1上靠近 C1的四等分点，A1F 与底面 ABC 所成角的余弦值为22 (1)求证：平面 AFC 平面 A1EF；(2)在线段 A1F 上是否存在一点 N，使得平面 AFC 与平面 NB1C1所成的锐二面角的余弦值为 2 77，若存在，确定

19、点 N 的位置，若不存在，请说明理由30(2223福州三模)如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA 底面 ABC，PA=2，AB=AC=1，将PAB 绕着 PA 逆时针旋转 3 到 PAD 的位置，得到如图所示的组合体，M 为 PD 的中点.(1)当 BAC 为何值时，该组合体的体积最大，并求出最大值；(2)当 PC 平面 MAB 时，求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦值.1731(2223福州二模)如图 1，在 ABC 中，AB=AC=2,BAC=23,E 为 BC 的中点，F 为 AB 上一点，且 EF AB.将 BEF 沿 EF 翻折到 BEF 的位置，如图 2.(1)当 AB=2

20、 时，证明：平面 BAE 平面 ABC；(2)已知二面角 B-EF-A 的大小为 4，棱 AC 上是否存在点 M，使得直线 BE 与平面 BMF 所成角的正弦值为1010？若存在，确定 M 的位置；若不存在，请说明理由.32(2223三明三模)如图，平面五边形 ABCDE 由等边三角形 ADE 与直角梯形 ABCD 组成，其中AD BC，AD DC，AD=2BC=2，CD=3，将 ADE 沿 AD 折起，使点 E 到达点 M 的位置，且 BM=a.(1)当 a=6 时，证明 AD BM 并求四棱锥 M-ABCD 的体积；(2)已知点 P 为棱 CM 上靠近点 C 的三等分点，当 a=3 时，求

21、平面 PBD 与平面 ABCD 夹角的余弦值.1833(2223宁德一模)如图在平行四边形 ABCD 中，AE DC，AD=4，AB=3，ADE=60，将ADE 沿 AE 折起，使平面 ADE 平面 ABCE，得到图所示几何体(1)若 M 为 BD 的中点，求四棱锥 M-ABCE 的体积 VM-ABCE；(2)在线段 DB 上，是否存在一点 M，使得平面 MAC 与平面 ABCE 所成锐二面角的余弦值为 2 35，如果存在，求出 DMDB 的值，如果不存在，说明理由34(2223龙岩二模)三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB AC，AB=AC=2，侧面 A1ACC1为矩形，A1AB=23，三棱

22、锥 C1-ABC 的体积为 2 33 (1)求侧棱 AA1的长；(2)侧棱 CC1上是否存在点 E，使得直线 AE 与平面 A1BC 所成角的正弦值为55？若存在，求出线段 C1E的长；若不存在，请说明理由1935(2223 下浙江二模)如图，在多面体 ABC-A1B1C1中，AA1 BB1 CC1，AA1 平面 A1B1C1，A1B1C1为等边三角形，A1B1=BB1=2，AA1=3，CC1=1，点 M 是 AC 的中点(1)若点 G 是 A1B1C1的重心，证明；点 G 在平面 BB1M 内；(2)求二面角 B1-BM-C1的正弦值36(2223 下浙江三模)如图，三棱台 ABC-A1B1

23、C1中，A1C1=4，AC=6，D 为线段 AC 上靠近 C 的三等分点.(1)线段 BC 上是否存在点 E，使得 A1B 平面 C1DE，若不存在，请说明理由；若存在，请求出 BEBC 的值；(2)若 A1A=AB=4，A1AC=BAC=3，点 A1到平面 ABC 的距离为 3，且点 A1在底面 ABC 的射影落在 ABC 内部，求直线 B1D 与平面 ACC1A1所成角的正弦值.2037(2223 下苏州三模)如图，在三棱锥 P-ABC 中，ABC 是边长为 6 2 的等边三角形，且 PA=PB=PC=6，PD 平面 ABC，垂足为 D,DE 平面 PAB，垂足为 E，连接 PE 并延长交

24、 AB 于点 G.(1)求二面角 P-AB-C 的余弦值；(2)在平面 PAC 内找一点 F，使得 EF 平面 PAC，说明作法及理由，并求四面体 PDEF 的体积.38(2223沧州三模)如图，该几何体是由等高的半个圆柱和 14 个圆柱拼接而成.C,E,D,G 在同一平面内，且 CG=DG.(1)证明：平面 BFD 平面 BCG；(2)若直线 GC 与平面 ABG 所成角的正弦值为105，求平面 BFD 与平面 ABG 所成角的余弦值.2139(2324 上永州一模)如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧面 PAD 为正三角形，且 AD=2AB=4,M、N 分别为 PD、BC 的中点，H 在线段 PC 上，且 PC=3PH (1)求证：MN 平面 PAB；(2)当 AM PC 时，求平面 AMN 与平面 HMN 的夹角的余弦值40(2223潍坊三模)如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD 为底面圆 O 的内接正三角形，且边长为3，点 E 在母线 PC 上，且 AE=3，CE=1 (1)求证：PO 平面 BDE；(2)求证：平面 BED 平面 ABD(3)若点 M 为线段 PO 上的动点当直线 DM 与平面 ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点 M 到平面ABE 的距离