2021新高考2版数学一轮讲义：第二章 第八节　函数与方程 WORD版含解析.docx

1、第八节函数与方程命题导航考试要点命题预测(1)结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.(2)根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.1.考向预测:主要考查确定函数零点的个数及其所在的区间,利用零点解决参数问题.2.学科素养:主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.1.函数零点的定义(1)对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.2.函数零点的判定(零点存在性定理)一般地,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象

2、是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系0=00)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个无4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步,确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精确度.第二步,求区间(a,b)的中点x1.第三步,计算f(x1):(i)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;(ii)若f(a)f(x1)0,则令b=x1(此时零点x0(a,x1);(iii)若f(x1)f(b)0,则令a=x1(此时零点x0(x1,b).第四步,判断是否达到精确度:若|a-b|,则得到零点近似值a(或b);否则,重复第二、三、

3、四步.知识拓展(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.(2)图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.(4)在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点.(5)若周期函数存在零点,则必有无穷个零点.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)f(b)0.()(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.()(4)若函数f(x)在(a,b)

4、上的图象是连续的,且函数在(a,b)上单调,且f(a)f(b)0, f(2)=122-2-23=-70,即f(1)f(2)0,f(x)在区间(1,2)内存在零点,且是唯一零点.x0(1,2).故选B.方法技巧确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,然后看求得的根是否落在给定区间上.(2)图象法:把方程转化为两个函数,看图象的交点所在区间.(3)利用函数零点存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间(a,b)上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(4)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴

5、在给定区间上是否有交点来判断.1-1函数f(x)=ln x-2x2的零点所在的区间为() A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案B易知f(x)=ln x-2x2在定义域(0,+)上是增函数,又f(1)=-20.根据零点存在性定理,可知函数f(x)=ln x-2x2有唯一零点,且在区间(1,2)内.故选B.1-2若x0是方程12x=x13的解,则x0属于区间()A.23,1B.12,23C.13,12D.0,13答案C令g(x)=12x, f(x)=x13,则g(0)=1f(0)=0,g12=1212f13=1313,13x00,则关于x的方程f(x)=x的解的个数是()A

6、.1B.2C.3D.4答案(1)D(2)C解析(1)由f(x)=0得3sin 2x=log12x,在同一平面直角坐标系内画出函数y=3sin 2x和y=log12x的图象,如图所示,从图象上看,两个函数的图象有5个交点,所以原函数有5个零点,故选D.(2)由已知,得lg x=4-x,10x=4-x.在同一平面直角坐标系中作出y=10x,y=lg x以及y=4-x的图象,其中y=10x,y=lg x的图象关于直线y=x对称,直线y=x与y=4-x的交点为(2,2),所以a+b=4,所以f(x)=x2+4x+2,x0,2,x0.当x0时,由x2+4x+2=x,得x=-1或x=-2;当x0时,x=2

7、,所以方程f(x)=x的解的个数是3.2-1函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4答案B易知函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数方程|log0.5x|=12x=12x的根的个数函数y1=|log0.5x|与y2=12x的图象的交点个数.作出两个函数的图象如图所示,由图可知两个函数图象有两个交点,故选B.2-2已知函数f(x)=x+1,x0,log2x,x0,则函数y=f(f(x)+1的零点个数是()A.4B.3C.2D.1答案A由f(f(x)+1=0,得f(f(x)=-1,由f(-2)=f12=-1,得f(x)=-2或f(x)=12.若f

8、(x)=-2,则x=-3或x=14;若f(x)=12,则x=-12或x=2.综上可得函数y=f(f(x)+1的零点个数是4,故选A.命题方向二求零点典例3已知函数f(x)=ex-1-1,x2,log3x2-13,x2,则f(x)的零点为()A.1,2B.1,-2C.2,-2D.1,2,-2答案A解析当x0,x2-x-2,x0,则其零点为.答案1,-1解析当x0时,由f(x)=0,即xln x=0得ln x=0,解得x=1;当x0时,由f(x)=0,即x2-x-2=0,解得x=-1或x=2(舍).综上,函数的零点为1,-1.函数零点的应用典例4(1)若函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间

9、(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)(2)若函数f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是.答案(1)C(2)14,12解析(1)因为函数f(x)=2x-2x-a在区间(1,2)上单调递增,又函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则有f(1)f(2)0,所以(-a)(4-1-a)0,即a(a-3)0,解得0a3.(2)依题意,结合函数f(x)的图象分析可知m需满足m2,f(-1)f(0)0,f(1)f(2)0,即m2,m-2-m+(2m+1)(2m

10、+1)0,m-2+m+(2m+1)4(m-2)+2m+(2m+1)0,解得14m-2.3-2m为何值时,函数f(x)=x2+2mx+3m+4:(1)在(-1,3)上有两个零点?(2)有两个零点且均比-1大?解析(1)-1-m0,f(3)0,0-3m0,9+6m+3m+40,4m2-4(3m+4)0m-139,-1.(2)设f(x)的两个零点分别为x1,x2,由题意得-b2a-1,f(-1)0,0-m-1,1-2m+3m+40,0m(-5,-1).1.若函数f(x)=(m-2)x2+mx+2m+1的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是.答案14,12解析依题意,可知

11、m需满足m2,f(-1)f(0)0,f(1)f(2)0,即m2,(m-2-m+2m+1)(2m+1)0,(m-2+m+2m+1)4(m-2)+2m+2m+10,解得14m12.2.已知f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大,一个零点比1小,求实数a的取值范围.解析解法一:设方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的两根分别为x1,x2(x1x2),则(x1-1)(x2-1)0,x1x2-(x1+x2)+10,又易知x1+x2=1-a2,x1x2=a-2,a-2+a2-1+10,即a2+a-20,解得-2a1.解法二:函数f(x)的大致图象如图所示,则有f(1)0,即1+a2

12、-1+a-20,解得-2a1,故实数a的取值范围是(-2,1).A组基础题组1.下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是() A.y=log12xB.y=2x-1C.y=x2-12D.y=-x3答案B2.已知f(x)=x2+6x+c有零点,但不能用二分法求出,则c的值是()A.9B.8C.7D.6答案A函数f(x)=x2+6x+c有零点,但不能用二分法求出,说明此二次函数图象与x轴只有一个交点,即=36-4c=0,解得c=9,故选A.3.函数f(x)=x2-1x-1在区间(k,k+1)(kN)内有零点,则k=()A.1B.2C.3D.0答案A因为kN时,函数f(x)=x2-1x-1在区

13、间(k,k+1)上单调递增,且f(1)=12-11-1=-10,所以函数f(x)=x2-1x-1在区间(1,2)上有零点,即k=1,故选A.4.已知函数f(x)=15x-log3x,若x0是函数y=f(x)的零点,且0x1x0,则f(x1)的值()A.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于0答案A由题意,可得函数f(x)=15x-log3x在(0,+)上是减函数,当0x1f(x0).又x0是函数f(x)的零点,因此f(x0)=0,所以f(x1)0,即f(x1)的值恒为正值,故选A.5.已知函数f(x)=6x-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C

14、.(2,4)D.(4,+)答案C因为f(1)=6-log21=60, f(2)=3-log22=20, f(4)=32-log24=-120),y=ln x(x0)的图象,如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.7.方程2x+3x=k的解在1,2)内,则k的取值范围是.答案5,10)解析令f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时, f(1)f(2)0,即(5-k)(10-k)0,解得5k10.当f(1)=0时,k=5.综上,k的取值范围是5,10).8.函数f(x)=ex+12x-2的零点有个.答案1解析f(x)在R上单调递增

15、,又f(0)=1-20,函数f(x)有且只有一个零点.9.已知关于x的方程2kx2-2x-5k-2=0的两个实数根一个小于1,另一个大于1,则实数k的取值范围是.答案-,-43(0,+)解析关于x的方程2kx2-2x-5k-2=0的两个实数根一个小于1,另一个大于1.则k0.根据函数的零点存在性定理知,当k0时,只需满足f(1)=-3k-4-43,即k0,当k0k0有3个不同的零点,则实数a的取值范围是.答案49,1解析依题意,要使函数f(x)有三个不同的零点,则当x0时,方程2x-a=0,即2x=a必有一个根,此时00时,方程x2-3ax+a=0有两个不等的实根,即方程x2-3ax+a=0有

16、两个不等的正实根,于是有=9a2-4a0,3a0,a0,解得a49,因此,满足题意的实数a需满足049,即49a1.B组提升题组1.设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则() A.g(a)0f(b)B.f(b)0g(a)C.0g(a)f(b)D.f(b)g(a)0答案A因为函数f(x)=ex+x-2在R上单调递增,且f(0)=1-20,所以f(a)=0时,a(0,1).又g(x)=ln x+x2-3在(0,+)上单调递增,且g(1)=-20,所以g(a)0,所以g(b)=0时,b(1,2),又f(1)=e-10,所以f(b)0

17、.综上可知,g(a)0f(b).2.已知函数f(x)=2x+log2x,g(x)=2-x+log2x,h(x)=2xlog2x-1的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为()A.bacB.cbaC.cabD.abc答案D令f(x)=2x+log2x=0,则log2x=-2x.令g(x)=2-x-log12x=0,则log2x=-2-x.令h(x)=2xlog2x-1=0,则2xlog2x=1,log2x=12x=2-x.所以函数f(x)=2x+log2x,g(x)=2-x+log2x,h(x)=2xlog2x-1的零点可以转化为求函数y=log2x与函数y=-2x,y=-2-x,y=2

18、-x的图象的交点,如图所示,可知0ab1,ab0),且关于x的方程g(x)=m+f(x)在1,2上有解,求m的取值范围.解析(1)证明:任取x1,x2(-,+),且令x1x2,则f(x1)-f(x2)=log2(2x1+1)-log2(2x2+1)=log2 2x1+12x2+1,x1x2,02x1+12x2+11,log2 2x1+12x2+10,f(x1)f(x2),函数f(x)在(-,+)上单调递增.(2)g(x)=m+f(x),m=g(x)-f(x)=log2(2x-1)-log2(2x+1)=log2 2x-12x+1=log2 1-22x+1,1x2,22x4,log2 13log

19、21-22x+1log2 35,故m的取值范围为log213,log235.素养拓展5.(多选)下列选项中,关于函数f(x)=14x+2的性质的说法正确的是()A.函数f(x)的定义域为RB.函数f(x)的值域为(0,+)C.方程f(x)=x有且只有一个实根D.函数f(x)的图象是中心对称图形答案ACD6.已知R,函数f(x)=x-4,x,x2-4x+3,x.当=2时,不等式f(x)0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则的取值范围是.答案(1,4);(1,3(4,+)解析当=2时,不等式f(x)0等价于x2,x-40或x2,x2-4x+30,即2x4或1x2,故不等式f(x)4.两个零点为1,4,此时13.综上,的取值范围是(1,3(4,+).