《名校》北京市第四中学2022届高三下学期（三模）保温练习数学试卷 PDF版含解析.pdf

1、20212022 学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷 共 4 页1数学试卷（试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分1.若集合02 xxA，集合12 xxB,则BA（A）,2（B）2,0（C）2,（D）R2在复平面内，复数1 2iiz对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3如图，向量ab等于（A）213ee（B）2142ee（C）2124ee（D）213ee 4.在251()xx的展开式中，x 的系数为 A10B 10 C20D 205.已知,m n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是

2、（A）若/,/mn，则/mn（B）若m，mn，则/n（C）若 m，n，则mn（D）若/m，mn，则n6.已知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|54x0，则 x0A.1 B.2 C.4 D.82e1eba20212022 学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷 共 4 页27.已知双曲线)0(14222ayax的一条渐近线与圆8)322yx（相交于NM,两点，且4MN，则此双曲线的离心率为（A）5（B）5 33（C）5（D）3 558.已知数列 na的通项为22nann，则“0”是“*1,nnnN aa”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）

3、充要条件（D）既不充分也不必要条件9.京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，摩天轮直径 88 米，最高点 A 距离地面 100 米，匀速运行一圈的时间是 18 分钟.由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过 34 米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为（A）10 分钟（B）12 分钟（C）14 分钟（D）16 分钟10.在正方体1111ABCDA B C D中，E 是棱 CC1 的中点，F 是侧面 BCC1B1内的动点，且 A1F 与平面 D1AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是A点 F 的轨迹是一条线段 BA1F 与 BE 是异面直线CA

4、1F 与 D1E 不可能平行 D三棱锥 F-ABD1 的体积为定值第 10 题图34100A20212022 学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷 共 4 页3二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分11若点4,tan 在函数2logyx的图象上，则sincos=_来源:Z_xx_k.Com12已知三点，则外接圆的圆心到原点的距离为_13.已知函数)(xf是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当10 x时,xxf1)(，则_)0()25(ff.14为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间t（小时）

5、成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay（a 为常数），如图所示据图中提供的信息，回答下列问题：（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为；（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室15.直线1x 与抛物线 C：24yx交于,M N 两点，点 P 是抛物线 C 准线上的一点，记OPaOMbON（,a bR），其中O 为抛物线C 的顶点.给出下列命题：0,a 使得OP与ON 平行；0a 且0b，使得OP 与ON 垂直；PMN不可能是等

6、边三角形；无论点 P 在准线上如何运动，1ab 总成立.其中，所有正确命题的序号是_ (1,0),(0,3),(2,3)ABCABC（毫克）（小时）20212022 学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷 共 4 页4三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分16.（本小题 13 分）已知如图，在四棱锥 PABCD中，PA 平面 ABCD，2PAADCD，3BC，2 3PC，E 为 PB 中点，/BC平面 PAD.（）求证：四边形 ABCD是直角梯形；（）求直线 AE 与平面 PCD所成角的正弦值.17.（本小题 13 分）已知函数 32cossin032f xxx，求函数 f x 在区

7、间6 6，上的值域.若122f xf x，则12xx的最小值为 2；函数 f x 图像的两条相邻对称轴之间的距离为 2；若 120f xf x，则12xx的最小值为 2；从以上三个条件中任选一个，补充在横线上并作答.EDCBAP20212022 学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷 共 4 页518.（本小题 14 分）某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国 70 周年”的知识竞赛从这两个年级各随机抽取了 40 名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表 高一 高二规定成绩不低于 90 分为“优秀”（）估计高一年级知识竞赛的优秀率；（）将

8、成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率在高一、高二年级学生中各选出1 名学生，记这 2 名学生中成绩优秀的人数为，求随机变量 的分布列；（）在高一、高二年级各随机选取 1 名学生，用,X Y 分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数写出方差 DX,DY 的大小关系（只需写出结论）19（本小题 15 分）已知函数21()sincos2f xxxxax，0,x.（）当0a时，求()f x 的单调区间；（）当0a 时，讨论()f x 的零点个数.成绩分组频数75，80)280，85)685，90)1690，95)1495，1002频率/组距75 80 85 90 95 100 成绩/分0.

9、060.050.040.030.0220212022 学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷 共 4 页620.（本小题 15 分）已知椭圆C 的中心在原点O，焦点在 x 轴上，离心率为 12，右焦点到右顶点的距离为1（）求椭圆C 的标准方程；（）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l：()ykxm kR，使得22OAOBOAOB成立？若存在，求出实数 m 的取值范围，若不存在，请说明理由.21.（本小题 15 分）有限数列12:,.(3)nnAa aan同时满足下列两个条件：对于任意的,i j（1ijn），ijaa；对于任意的,i j k（1ijkn），ija a，jka a，ik

10、a a 三个数中至少有一个数是数列nA中的项.（）若4n，且11a ，22a，3aa，46a，求 a 的值；（）证明：2,3,5不可能同时是数列nA 中的项；（）求 n 的最大值.20212022 学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷参考答案 共 4 页1参考答案一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分BCABC ADABC二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分11121314152521320.110,00.11,0.116tttyt 0.6三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分（16）证明：（）因为 PA 平面 ABCD，所以 PAA

11、D，PACD.1 分 因为2PAADCD，所以2 2PD.因为2 3PC，所以222CDPDPC.所以CDPD 2 分 因为 PAPDP，所以平面.所以CDAD.4 分 因为平面，平面，平面平面，所以.5 分 又3,2,BCADBCAD.所以四边形 ABCD是直角梯形.6 分（）在平面 ABCD内，过作的垂线交于点.因为 PA 平面 ABCD，所以.所以,AP AD AM 三条直线两两垂直.7 分 如图建立空间直角坐标系.8 分 则，(2,1,0)B 因为为中点，所以.CD PAD/BCPADBC ABCDPAD=ABCD AD/BCADAADBCM,PAAM PAADAxyz(0,0,0),

12、(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)ACDPEPB1(1,1)2EMzyxPABCDE20212022 学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷参考答案 共 4 页2所以.9 分 设平面的法向量为，则 即 10 分 令则.于是.11 分 设直线与平面所成的角为，所以sin|cos,|n AEn AEnAE 1 1 1 1223622 12 分 所以直线与平面所成角的正弦值为.13 分（17）（本小题 14 分）解：32cossin32f xxx 1332cossincos222xxx 1 分 23sincos3cos2xxx 13sin 2cos222xx 3 分 sin 23x.

13、4 分 若选条件：因为 sin 21,13f xx，122f xf x为使得，当且仅当 12f xf x，一个是函数的最大值，一个是函数的最小值；又12xx的最小值为 2，即函数 f x 相邻两个最值点之间距离为 2，即=22T，所以函数 f x 的最小正周期=T .5 分 1(1,1),(2,2,2),(0,2,2)2AEPCPDPCD(,)nx y z0,0.n PCn PD 2220,220.xyzyz1,y 1,0zx(0,1,1)n AEPCDAEPCD2620212022 学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷参考答案 共 4 页3若选条件：函数 f x 图像的两条相邻对称轴之

14、间的距离为 2，故=22T，所以函数 f x 的最小正周期=T .5 分 若选条件：若 12120f xf xxx，的最小值为 2，即函数 f x 相邻的两个零点间距离为 2，故=22T，所以函数 f x 的最小正周期=T .5 分 又=1222T，所以.7 分 所以 sin 23f xx.8 分 当66x时，22033x，10 分 所以 1sin 203x，12 分 即 f x 的值域为1,0.13 分 （18）解：（）高一年级知识竞赛的优秀率为(0.040.02)50.3.4 分所以高一年级知识竞赛的优秀率为30%.（）在高一年级学生中选中成绩优秀学生的概率为0.3，选中成绩不优秀学生的概

15、率为0.7；在高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率为0.4，选中成绩不优秀学生的概率为0.6.的所有可能取值为 0，1，2；6 分(0)0.7 0.60.42P ；(1)0.3 0.60.7 0.40.46P ；(2)0.3 0.40.12P .9 分所以随机变量 的分布列为：20212022 学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷参考答案 共 4 页40120.420.460.12 10 分（）DXDY.13 分（19）（共 15 分）解：（I）当0a 时，()sincosf xxxx，0,x.()sincossincosfxxxxxxx.当 x 在区间0,上变化时，()fx，()f x

16、 的变化如下表x0(0,)22(,)2()fx00()f x极小值1极大值 21所以()f x 的单调增区间为(0,)2；()f x 的单调减区间为(,)2 .5 分（II）()cos(cos)fxaxxxx ax.当1a 时，cos0ax在0,)上恒成立，所以0,)x时，()0fx.所以()f x 在0,上单调递增.又因为(0)1f，所以()f x 在0,上有 0 个零点.当01a 时，令()0fx，得cos xa .由 10a 可知存在唯一0(,)2x 使得0cos xa .所以当00,)xx时，()0fx，()f x 单调递增；P20212022 学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试

17、卷参考答案 共 4 页5当0(,)xx 时，()0fx，()f x 单调递减.因为(0)1f，0()1f x，21()12fa.当21102 a ，即221a 时，()f x 在0,上有 0 个零点.当21102 a ，即220a时，()f x 在0,上有 1 个零点.综上，当220a时，()f x 有 2 个零点；当22a时，()f x 有 0 个零点.（20）（）设椭圆C 的方程为22221xyab 0ab，半焦距为c.依题意12cea，由右焦点到右顶点的距离为1，得1ac 解得1c ，2a 所以2223bac 所以椭圆C 的标准方程是22143xy 4 分（）解：存在直线l，使得22OA

18、OBOAOB成立.理由如下：由22,1,43ykxmxy得222(34)84120kxkmxm222(8)4(34)(412)0kmkm，化简得2234km设1122(,),(,)A x yB xy，则122834kmxxk ，212241234mx xk若22OAOBOAOB成立，即2222OAOBOAOB，等价于0OA OB所以12120 x xy y1212()()0 x xkxm kxm，221 212(1)()0kx xkm xxm，20212022 学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷参考答案 共 4 页6222224128(1)03434mkmkkmmkk,化简得，2271

19、2 12mk将227112km 代入2234km中，22734(1)12 mm，解得，234m 又由22712 1212mk，2127m，从而2127m，2217m 或2217m 所以实数 m 的取值范围是22(,2121,)77 （21）解：（）由，得 26a.由，当2i，3j，4k 时.2a,6a,12中至少有一个是数列1，2，a，6 中的项，但66a，126，故 26a，解得3a .经检验，当3a 时，符合题意.3 分（）假设 2,3,5是数列nA 中的项，由可知：6，10，15 中至少有一个是数列nA 中的项，则有限数列nA 的最后一项5na，且4n.由，1231nnnnaaaa.4

20、分 对于数21,nnnaaa，由可知：21nnnaaa；对于数31,nnnaaa，由可知：31nnnaaa.6 分 所以 23nnaa，这与矛盾.所以 2,3,5不可能是数列nA 中的项.7 分（）n 的最大值为9，证明如下：8 分 （1）令9111:4,2,1,0,1,2242A，则9A 符合、.11 分（2）设12:,(3)nnAa aa n符合、，则：（）nA 中至多有三项，其绝对值大于 1.20212022 学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷参考答案 共 4 页7假设nA 中至少有四项，其绝对值大于 1，不妨设ia，ja，ka，la 是nA 中绝对值最大的四项，其中1|ijklaaaa.则对ia，ka，la 有|illa aa，|klla aa，故ila a，kla a 均不是数列nA 中的项，即ika a是数列nA 中的项.同理：jka a 也是数列nA 中的项.但|ikka aa，|jkka aa.所以ikjkla aa aa.所以ijaa，这与矛盾.（）nA 中至多有三项，其绝对值大于 0 且小于 1.假设nA 中至少有四项，其绝对值大于 0 且小于 1，类似（）得出矛盾.（）nA 中至多有两项绝对值等于 1.（）nA 中至多有一项等于 0.综合（），（），（），（）可知nA 中至多有 9 项.14 分由（1），（2）可得，n 的最大值为 9.