2021高考数学理科（全国版）一轮复习教师用书：第四章第一讲　三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式 WORD版含解析.docx

1、第四章三角函数、解三角形第一讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式1.2020湖南耒阳二中模拟给出下列命题:第二象限角大于第一象限角;不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关;若sin =sin ,则与的终边相同;若cos 0,则是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是()A.1B.2 C.3 D.42.2020百校联考已知点P(cos 300,sin 300)是角终边上一点,则sin - cos =()A.32+12 B. - 32+12 C.32-12D. - 32-123.2019湖南衡阳三模若sin 0,则下列三角函数的值恒为负数的是()A.c

2、os B.tan C.cos2 D.tan24.2019全国卷,7,5分 tan 255=()A. - 2 - 3 B. - 2+3C.2 - 3 D.2+35.2020山西大同高三调研已知sin +cos =12,(0,),则1-tan1+tan=()A. - 7B.7C.3D. - 36.2019河南郑州三测已知cos(20192+)=12,(2,),则cos =()A.12B. - 12C. - 32D.327.2019北京,8,5分如图4 - 1 - 1,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,APB是锐角,大小为.图中阴影区域的面积的最大值为()A.4+4cos B.4+4

3、sin C.2+2cos D.2+2sin 8.2018全国卷,11,5分已知角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2=23,则|a - b|=()A.15B.55C.255D.1考法1三角函数定义的应用1已知角的终边上一点P( - 3,m)(m0),且sin =2m4,则cos =,tan =.由sin=2m4,结合三角函数的定义建立关于参数m的方程,求出m的值,再根据定义求cos,tan的值.设P(x,y).由题设知x= - 3,y=m,所以R2=OP2=( - 3)2+m2(O为原点),即R=3+m2,所以sin=mr=2m4=m

4、22,所以R=3+m2=22,即3+m2=8,解得m=5.当m=5时,cos=-322= - 64,tan= - 153;当m= - 5时,cos=-322= - 64,tan=153.2如图4 - 1 - 3,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为.求解本题的关键是确定点P转过的弧长,可借助三角函数的定义寻找点P的坐标,进而得OP的坐标.如图4 - 1 - 4所示,设滚动后的圆的圆心为C,点P的坐标为(xP,yP),过点C作x轴的垂线,垂足为A,过点P作x轴的垂线与过

5、点C所作y轴的垂线交于点B.图4 - 1 - 4因为圆心移动的距离为2,所以劣弧PA=2,即圆心角PCA=2,则PCB=2 - 2,所以PB=sin(2 - 2)= - cos2,CB=cos(2 - 2)=sin2,所以xP=2 - CB=2 - sin2,yP=1+PB=1 - cos2,所以OP=(2 - sin2,1 - cos2).1.(1)2019四川攀枝花三诊已知角=83,且角的终边经过点P(x,23),则x的值为()A.2B.2C. - 2D. - 4(2)2017北京,12,5分理在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin =13,则si

6、n =.考法2 同角三角函数关系的应用命题角度1公式的应用3已知sin+3cos3cos-sin=5,则sin2 - sin cos =.解法一由已知可得sin+3cos=5(3cos - sin),即6sin=12cos,也就是sin=2cos,代入sin2+cos2=1,得cos2=15,(运用平方关系:sin2+cos2=1)从而sin2 - sincos=4cos2 - 2cos2=2cos2=25.解法二由已知可得sin+3cos3cos-sin=sin+3coscos3cos-sincos=tan+33-tan=5,(弦化切)整理得tan=2.从而sin2 - sincos=sin

7、2-sincossin2+cos2=(利用sin2+cos2代换分母1)sin2-sincoscos2sin2+cos2cos2=tan2-tantan2+1=22-222+1=25.命题角度2sin cos 与sin cos 关系的应用42019四川成都二诊已知为第二象限角,且sin +cos =15,则cos - sin =A.75B. - 75C.75D. - 15观察已知式sin+cos=15与待求式cos - sin的特征,可以求出sincos的值,整体代入求解即可;或利用换元法,令cos - sin=t,结合已知条件和同角三角函数的基本关系求解;或根据sin2+cos2=1及sin

8、+cos=15求出sincos= - 1225,结合方程的根与系数的关系求出sin,cos的值,从而使问题得解.解法一(整体代入法)由sin+cos=15两边同时平方,得1+2sincos=125,则2sincos= - 2425,所以(cos - sin)2=1 - 2sincos=1+2425=4925.(配凑出关于sincos 的式子,整体代入)因为为第二象限角,所以cos - sin= - 75.(三角函数值的符号由角所在的象限决定)故选B.解法二(换元法)已知sin+cos=15,令cos - sin=t.(整体换元)由2+2,得2sin2+2cos2=125+t2,即2=125+t

9、2,(利用同角三角函数的平方关系求值)整理得t2=2 - 125=4925,解得t=75.因为为第二象限角,所以cos - sin0,故cos - sin= - 75.(检验,舍去不满足题意的值)故选B.解法三(列方程法)由sin+cos=15两边同时平方,得1+2sincos=125,则2sincos= - 2425,即sincos= - 1225.所以sin,cos是方程x2 - 15x - 1225=0的两根,解方程得x1= - 35,x2=45.因为是第二象限角,所以sin=45,cos= - 35,所以cos - sin= - 75.故选B.B2.(1)2017全国卷,4,5分已知s

10、in - cos =43,则sin 2=()A. - 79B. - 29C.29D.79(2)2016全国卷,5,5分理若tan =34,则cos2+2sin 2=()A.6425B.4825C.1D.1625考法3诱导公式的应用5(1)2016四川,11,5分 sin 750=.(2)已知cos(6 - )=33,则cos(56+) - sin2( - 6)=.(1)利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可得出结论;(2)利用(6 - )+(56+)=和 - 6= - (6 - ),将待求式中的角进行转化即可求解.(1)sin750=sin(2360+30)=sin30=12.(2)因为cos(

11、56+)=cos - (6 - )= - cos(6 - )= - 33,sin2( - 6)=sin2 - (6 - )=sin2(6 - )=1 - cos2(6 - )=1 - (33)2=23,所以cos(56+) - sin2( - 6)= - 33-23= - 2+33.3.(1)2017全国卷,6,5分函数f (x)=15sin(x+3)+cos(x - 6)的最大值为()A.65B.1C.35D.15(2)设f ()=2sin(+)cos(-)-cos(+)1+sin2+cos(32+)-sin2(2+)(1+2sin 0),则f ( - 236)=.考法4同角三角函数基本关系

12、与诱导公式的综合应用6 2016全国卷,14,5分已知是第四象限角,且sin(+4)=35,则tan( - 4)=.解法一因为sin(+4)=35,所以cos( - 4)=sin2+( - 4)=sin(+4)=35.因为为第四象限角,所以 - 2+2k2k,kZ,所以 - 34+2k - 42k - 4,kZ,所以sin( - 4)= - 1-(35)2= - 45,所以tan( - 4)=sin(-4)cos(-4)= - 43.解法二因为是第四象限角,且sin(+4)=35,所以+4为第一象限角,所以cos(+4)=45,所以tan(- 4)=sin(-4)cos(-4)=-cos2+(

13、-4)sin2+(-4)= - cos(+4)sin(+4)= - 43.4.已知tan =2,则cos(52+2)=()A.35B.45C. - 35D. - 45易错三角函数求值时忽略隐含条件致错7已知(0,),sin +cos =3-12,则tan 的值为.解法一将sin+cos=3-12两边同时平方,得1+2sincos=1 - 32,即sincos= - 34,易知2.故sincos=sincossin2+cos2=tantan2+1= - 34,解得tan= - 3或tan=- 33. (0,),sincos= - 340可知sin - cos,即|sin|cos|,故(2,34)

14、,则tan - 1,tan= - 3.解法二(本题若利用sincos与sincos之间的关系,就会得到更为便捷的解法)由sin+cos=3-12,得sincos= - 340,cos0.又(sin - cos)2=1 - 2sincos=1+32=(3+1)24,sin - cos=3+12.联立,解得sin=32,cos=-12,tan= - 3.素养探源核心素养考查途径素养水平逻辑推理弦切互化,角的限制条件的挖掘,判断三角函数值的符号.二数学运算求三角函数值.一易错警示本题易错的地方是忽略对隐含条件“|sin|cos|”的挖掘,从而得到错误答案:tan= - 3或tan= - 33.有些关

15、于三角函数的条件求值问题,表面上角的范围不受条件限制,实际上只要对已知式稍加变形,就会推出三角函数值间的限制关系,这种限制关系本身就隐含了角的取值范围.解题时,如果忽略了对已知条件中三角函数值间限制关系的挖掘,就很可能出错.5.2019安徽师大附中模拟已知角终边上一点P的坐标为(sin10,cos 9 10),则角是()A.10B.25C. - 10D. - 25思想方法分类讨论思想在三角函数化简求值中的应用8在ABC中,若sin(2 - A)= - 2sin( - B),3cos A= - 2cos( - B),则C=.利用同角三角函数基本关系式的平方关系时,要对开方的结果进行分类讨论.由已

16、知得-sinA=-2sinB,3cosA=2cosB,2+2,得2cos2A=1,即cosA=22.当cosA=22时,cosB=32,又A,B是三角形的内角,所以A=4,B=6,所以C= - (A+B)=712.当cosA= - 22时,cosB= - 32,又A,B是三角形的内角,所以A=34,B=56不符合题意,舍去.综上可得C=712.素养探源核心素养考查途径素养水平逻辑推理利用同角三角函数的基本关系和诱导公式恒等变形,分类讨论.二数学运算三角恒等变换,求角A,B和C.二解后反思(1)本题在三角函数的化简求值过程中,应用了分类讨论思想,即使讨论的某种情况不符合题意,也不能省略讨论的步骤

17、,需提升数学思维的严谨性.(2)求解三角形中的三角函数问题时,要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用.6.已知A=sin(k+)sin+cos(k+)cos(kZ),则A的值构成的集合是.2821.A举反例:第一象限角370不小于第二象限角100,故错;易知正确;由于sin 6=sin 56,但6与56的终边不相同,故错;当=时,cos = - 1,此时既不是第二象限角,也不是第三象限角,故错.综上可知只有正确.2.D由点P(cos 300,sin 300)是角终边上一点,可得sin - cos =sin 300 - cos 300= - 32 - 12.3.D由sin 0,得2k+2

18、k+2(kZ),故k+22k+(kZ),即2是第二或第四象限角,所以tan20.易知cos ,tan ,cos 2均不恒小于0,故选D.4.D由正切函数的周期性可知,tan 255=tan(180+75)=tan 75=tan(30+45)=33+11 - 33=2+3,故选D.5.Asin +cos =12等号两边同时平方得1+2sin cos =14,所以sin cos = - 380,则cos 0.因为(sin - cos )2=1 - 2sin cos =74,所以sin - cos =72.所以1 - tan1+tan=1 - sincos1+sincos=cos - sincos+

19、sin= - 7212= - 7,故选A.6.C由题意知,cos(20192+)=cos(32+)=sin =12,又(2,),所以cos = - 1 - sin2= - 32.故选C.7.B如图D 4 - 1 - 1,设点O为圆心,连接PO,OA,OB,AB,在劣弧AB上取一点C,图D 4 - 1 - 1则阴影区域面积为ABP和弓形ACB的面积和.因为A,B是圆周上的定点,所以弓形ACB的面积为定值,故当ABP的面积最大时,阴影区域面积最大.又AB的长为定值,故当点P为优弧AB的中点时,点P到弦AB的距离最大,此时ABP面积最大,即当点P为优弧AB的中点时,阴影区域面积最大.下面计算当点P为

20、优弧AB的中点时阴影区域的面积.因为APB为锐角,且APB=,所以AOB=2,AOP=BOP=180 - ,则阴影区域的面积S=SAOP+SBOP+S扇形OAB=21222sin(180 - )+12222=4+4sin ,故选B.8.B由题意知cos 0.因为cos 2=2cos2 - 1=23,所以cos =56,sin =16,则|tan |=55.由题意知|tan |=|a - b1 - 2|,所以|a - b|=55.1.(1)C由题意知tan =tan83=tan(2+23)=tan 23=tan( - 3)= - tan3= - 3.因为角的终边经过点P(x,23),所以tan

21、=23x.所以 - 3=23x,解得x= - 2.故选C.(2) - 79解法一因为角与角的终边关于y轴对称,所以+=2k+,kZ,所以cos( - )=cos(2k+ - 2)= - cos 2= - (1 - 2sin2)= - 1 - 2(13)2= - 79.解法二因为sin =130,所以角为第一象限角或第二象限角.当角为第一象限角时,可取其终边上一点(22,1),则cos =223,又点(22,1)关于y轴对称的点( - 22,1)在角的终边上,所以sin =13,cos = - 223,此时cos( - )=cos cos +sin sin =223( - 223)+1313=

22、- 79;当角为第二象限角时,可取其终边上一点( - 22,1),则cos = - 223,因为点( - 22,1)关于y轴对称的点(22,1)在角的终边上,所以sin =13,cos =223,此时cos( - )=cos cos +sin sin =( - 223)223+1313= - 79.综上可得,cos( - )= - 79.2.(1)A将sin - cos =43的两边同时平方,得sin2 - 2sin cos +cos2=169,即sin 2= - 79,故选A.(2)A解法一由tan =sincos=34,cos2+sin2=1,得sin=35,cos=45或sin= - 3

23、5,cos= - 45,则sin 2=2sin cos =2425,则cos2+2sin 2=1625+4825=6425.故选A.解法二cos2+2sin 2=cos2+4sincoscos2+sin2=1+4tan1+tan2=1+31+916=6425.故选A.3.(1)A因为cos(x - 6)=cos(x+3) - 2=sin(x+3),所以f (x)=65sin(x+3),于是f (x)的最大值为65,故选A.(2)3因为f ()=( - 2sin)( - cos)+cos1+sin2+sin - cos2=2sincos+cos2sin2+sin=cos(1+2sin)sin(1

24、+2sin)=1tan,所以f ( - 236)=1tan( - 236)=1tan( - 4+6)=1tan6=3.4.D由诱导公式可得,cos(52+2)=cos2+(2+2)=cos(2+2)= - sin 2= - 2sincossin2+cos2= - 2sincoscos2sin2+cos2cos2= - 2tantan2+1= - 2222+1= - 45.故选D.5.D本题考查三角函数的定义.角终边上一点P的坐标为(sin10,cos910),且sin10=cos(2-10)=cos25=cos( - 25),cos910=cos( - 10)= - cos10= - sin(2-10)=sin( - 25),即P(cos( - 25),sin( - 25),则角是 - 25,故选D.6.2, - 2当k为偶数时,A=sinsin+coscos=2;当k为奇数时,A= - sinsin-coscos= - 2.所以A的值构成的集合是2, - 2.