专题01 集合与常用逻辑用语（教师版）.docx

1、专题01 集合与常用逻辑用语（核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布集合5年考情考题示例考点分析关联考点2019年全国I，第1题,5分集合的交集一元二次不等式的解法2019年全国II，第1题,5分集合的交集一元二次不等式的解法2019年全国III，第1题,5分集合的交集一元二次不等式的解法2020年全国I，第2题,5分集合的交集一元二次不等式的解法、含参不等式2020年全国II，第1题,5分集合的并集、补集无2020年全国III，第1题,5分集合的交集、点集无2021年全国甲，第1题,5分集合的交集无2021年全国乙，第2题,5分集合的交集、子集无2022年全国甲，第1题,5分集合的并集、补

2、集解一元二次方程2022年全国乙，第3题,5分集合的补集无2023年全国甲，第1题,5分集合的并集、补集整数、余数2023年全国乙，第2题,5分集合的交集、并集、补集无常用的逻辑用语5年考情考题示例考点分析关联考点2021年全国甲，第7题,5分充分性、必要性数列的增减性2021年全国乙，第3题,5分“或”、“且”、“非”命题的真假三角函数、指数函数2023年全国甲，第7题,5分充分性、必要性三角函数的平方关系2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容集合是全国卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分；常用的逻辑用语偶尔考查。【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集

3、合与集合的关系 2.能正确处理含参的讨论问题，掌握集合的交、并、补运算和性质 3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合的计算问题 4.会解一元二次不等式、一元二次方程、简单的分式不等式、简单的含绝对值的不等式 5.掌握充分条件、必要条件的判断；命题的真假判断；“或”、“且”、“非”的应用【命题预测】本节内容是全国卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后通过集合的运算得出答案。 知识讲解一、集合与元素1.集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.元素的互异性,即集合中不能出现相同的元素,此性质常用于求解含参数的集合问题.2.集合与元素的关系是属

4、于或不属于的关系,用符号“”或“”表示.3.集合的表示法:列举法、描述法、图示法.4.常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集 有理数集实数集符号正整数集与自然数集的区别：比少一个元素二、集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素xAxBAB或BA真子集集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不属于集合AAB,且xB,xA或相等集合A,B的元素完全相同AB,且BAA=B空集空集是任何集合的子集空集是任何非空集合的真子集在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如AB，则要考虑和两种可能.若为有限集合，含有n个元素

5、的集合有2n个子集,有2n-1个非空子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集.三、集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于集合A且属于集合B的元素组成的集合x|xA,且xBAB并集属于集合A或属于集合B的元素组成的集合x|xA或xBAB补集全集U中不属于集合A的元素组成的集合x|xU,且xA三种集合运算的性质(1)并集的性质：；.(2)交集的性质：；.(3)补集的性质：；.【思考】 集合，相等吗?提示不相等.，是抛物线上的点组成的集合.四、常用的逻辑用语1、命题用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫作命题,其中判断为真的语句叫作真命题,判断为假的语句叫作假命

6、题.2、充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件pq且q/ pp是q的充分不必要条件p/ q且qpp是q的必要不充分条件pqp是q的充要条件p/ q且q/ pp是q的既不充分也不必要条件3、全称量词和存在量词（1）全称量词:短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫作全称量词,用符号“”表示.（2）存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫作存在量词,用符号“”表示.4、全称量词命题、存在量词命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称量词命题对M中任意一个x,有p(x)成立xM,p(x)xM,p(x)存在量词命题存在M中的一个x,使p(

7、x)成立xM,p(x)xM,p(x)5、四种命题（1）四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假（2）四种命题的真假性之间的关系：两个命题互为逆否命题，它们有 相同的 真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系6、联结词“且”、“或”、“非”（1）用联结词“且”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作当、都是真命题时，是 真命题 ；当、两个命题中有一个命题是假命题时，是假命题（2）用联结词“或”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作当、两个命题中有一个命题是真命题时，是真命题；当、两个命题 都是假命题 时，是假命题（3）对一个命题全盘否定

8、，得到一个新命题，记作若是真命题，则必是 假命题 ；若是 假命题 ，则必是真命题考点一、集合与元素1（2023年全国高考甲卷数学（文）第1题）设全集，集合，则（ ）ABCD【命题意图】本题考察有限集合中，求补集，求并集，难度：容易【答案】A【详解】因为全集，集合，所以，又，所以2（2020年全国统一高考新课标数学（理）第1题）已知集合，则中元素的个数为（）A2B3C4D6【答案】C【分析】采用列举法列举出中元素的即可.【详解】由题意，中的元素满足，且，由，得，所以满足的有，故中元素的个数为4. 3（2020年全国统一高考新课标数学（理）第2题）设集合A=x|，B=x|，且，则（ ）A4B2C2

9、D4【答案】B【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数的值.【详解】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.1已知集合，下列表示正确的是（ ）ABCD【答案】B【分析】先写出集合,然后逐项验证即可【详解】由题知,对比选项知，正确,错误 2已知集合,则中所含元素的个数为（ ）ABCD【答案】D【详解】列举法得出集合，共含个元素3已知集合，若，则（）A3B4C5D6【答案】B【分析】根据交集结果得到，或，检验后得到答案.【详解】因为，所

10、以，或，当时，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当时，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当时，满足集合元素互异性，满足要求.考点二、集合间的基本关系1（2021年全国高考乙卷数学（理） 第2题）已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【分析】分析可得，由此可得出结论.【详解】任取，则，其中，所以，故，因此，.2（2013年全国统一考试新课标1卷数学（理）改编）已知集合Ax|x22x0，Bx|x，则（ ）AABBABRCBADAB【答案】D【详解】依题意Ax|0x2，又因为Bx|x，所以AB.1设集合，则（ ）A B C D【答案】A【分析】根据集合的描述确定、的元素，进而判断它们的包含关系即可.【详解】由

11、且，即，而，所以为的子集，则.2已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（ ）ABCD【答案】B【详解】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以DA，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以BA，CA，正方形是矩形，所以CB考点三、集合的基本运算1（2023年全国甲卷数学（理） 第1题）设集合，U为整数集，（ ）ABCD【命题意图】本题考察对整数形式的无限集合的理解，求并集，求补集，难度：容易【答案】A【详解】因为整数集，所以，2（河北省石家庄市2023届高三三模数学试题）如图，集合均为的子集，表示的区域为（ ）AIBIICIIIDIV【答案】D【分析】由补集和交集的概念求解即可.【详解

12、】由补集的概念，表示的区域如下图所示阴影区域，表示的区域为下图所示阴影区域，即为图中的区域 .3（河北省2023届高三模拟（三）数学试题）已知集合，若，且，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】先求出集合，然后根据的关系，结合进行分析即可.【详解】因为或，所以或，由，所以当时，不成立，所以集合为空集，满足题意，当时，由，所以，所以有，综上所述实数的取值范围是，1已知集合，则（）ABCD【答案】B【分析】解不等式可求得集合，由交集定义可得结果.【详解】由得：，解得：，即，又，.2已知集合，则下图中阴影部分表示的集合为（）ABCD【答案】C【分析】根据给定条件，用列举法表示集合A，再结

13、合韦恩图列式求解作答.【详解】依题意，而阴影部分表示的集合是（），又，则 ，所以（）.3已知集合，若（），则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】先求出集合，然后根据（）的关系，进行分析即可.【详解】依题意，由（），得考点四、常用的逻辑用语1（2023年全国甲卷数学（理） 第7题）“”是“”的（ ）A充分条件但不是必要条件B必要条件但不是充分条件C充要条件D既不是充分条件也不是必要条件【命题意图】本题考察同角三角函数的平方关系，以及充分条件、必要条件的概念，难度：较易【答案】B【详解】当时，例如但，即推不出；当时，即能推出.综上可知，是成立的必要不充分条件.2（2021年全国高考乙卷

14、数学（文）试题）已知命题命题，则下列命题中为真命题的是（）ABCD【答案】A【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于，所以命题为真命题；由于在上为增函数，所以，所以命题为真命题；所以为真命题，、为假命题.1设，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为可得：当时，充分性成立；当时，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.2命题：，命题：，则（）A真真B假假C假真D真假【答案】D【分析】对于命题：根据

15、特称命题结合二次函数分析判断；对于命题：根据存在命题结合二次函数的判别式分析判断.【详解】对于命题：令，则开口向上，对称轴为，且，则，所以，即命题为真命题；对于命题：因为，所以方程无解，即命题为假命题；3已知命题恒成立；命题在上单调递增，若为真命题，则实数m的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】首先求出命题、为真时参数的取值范围，依题意为真命题且为真命题，求出其公共部分，即可得解.【详解】因为命题恒成立，若命题为真命题，则，解得，命题在上单调递增，若命题为真命题，则对称轴，解得，因为为真命题，所以为真命题且为真命题，所以，解得，即实数m的取值范围是.【基础过关】1（2021年北京市高考数学

16、试题）已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【详解】由题意可得：.2（2021年浙江省高考数学试题）设集合，则（ ）A BC D【答案】D【分析】由题意结合交集的定义可得结果.【详解】由交集的定义结合题意可得：.3（2020年天津市高考数学试卷）设全集，集合，则（）=（ ）ABCD【答案】C【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知： ，则（）=.4（贵州省遵义市2023届高三第三次统一考试数学（理）试题）已知集合，集合，则（ ）ABCD【答案】A【分析】先求出集合，再根据并集的运算即可求出【详解】因

17、为，而，所以5（2023届四川省名校联考高考仿真测试（五）理科数学试题）已知集合集合，则（ ）ABCD【答案】B【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合.【详解】因为，故，因此，.6（黑龙江省哈尔滨市第四中学校2023届高三下学期最后一模考试数学试题）已知集合，则（）ABCDR【答案】A【分析】根据直线位置关系判断即可.【详解】因为直线与平行，所以.7（江西省100所名校最新模拟示范卷2023届高三全国统一考试数学试题（四）已知集合，若，则（）ABC2D6【答案】A【分析】根据给定条件，利用交集运算的结果求解作答.【详解】因为集合，且，则有，所以.8（2010年普通高等学校招生全国统

18、一考试理科数学全国新课标）已知集合,则（ ）A（0,2）B0,2C（0,2D0,1,2【答案】D【详解】试题分析：=,=，所以0,1,2.9（真题改编）设全集，集合，则（ ）A B C D【答案】D【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意，所以,所以.10（重庆市2023届高三临门一卷（三）数学试题）已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【分析】根据指数函数单调性求集合A，再根据交集运算求解.【详解】因为在定义域内单调递增，则，所以.11（2021年天津高考数学试题）已知，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析

19、】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若，则，故充分性成立；若，则或，推不出，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.12（2021年北京市高考数学试题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，【能力提升

20、】1（四川省2023届名校联考高考仿真测试（一）理科数学试题）已知集合，则（）ABCD【答案】A【分析】根据列举法求解集合和求解一元二次不等式的解法即可求解.【详解】，若要，则需，所以解得所以，所以.2（江西省上饶一中、上饶中学2023届高三高考仿真模拟数学（理）试题）设集合，则（ ）ABCD【答案】C【分析】解出对数不等式，化简集合A和集合B即可.【详解】由题可得=，所以，3（广东省深圳市龙岗区德琳学校2023届高三二模数学试题）已知，则（ ）A BC D【答案】D【分析】根据题意，将集合，分别化简，然后结合交集的运算即可得到结果.【详解】因为，则.4（江西省景德镇一中2019-2020学年

21、高一上学期期中考试数学试题）若集合则（ ）A BC D【答案】D【详解】集合，.5（改编）已知集合，若，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【分析】考察交集的性质：，根据关系即可得解.【详解】，.6（改编）已知集合，若，由的取值组成的集合是（ ）A B C D【答案】D【分析】考察并集的性质：，讨论集合B是否为空集，根据关系即可得解.【详解】当时，当时，.【名师点睛】当集合中出现参数表示取值或者表示范围时，重点考虑集合是否为空集7（改编）已知集合，若，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【分析】解不等式求出集合A，讨论集合B是否为空集，根据关系即可得解.【详解】由题意，当时，当

22、时，由得，综上所述.【名师点睛】当集合中出现参数表示取值或者表示范围时，重点考虑集合是否为空集8（四川省广安市邻水实验学校2017-2018学年高二上学期第一次月考数学试题）已知集合，则中元素的个数为（ ）A3B2C1D0【答案】B【详解】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，则中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有

23、字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.9“”是“方程表示双曲线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用方程为表示双曲线的条件，求得的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义判断条件和结论的关系.【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或，因为由可推出或，但是由或，不能推出，所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，10设，是非零向量，“”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案

24、.【详解】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出，由表示同向且模相等，则，所以“”是“”的必要而不充分条件.【真题感知】1（2022年全国高考乙卷数学（理）第3题）设全集，集合M满足 ，则（ ）ABCD【答案】A【分析】先写出集合,然后逐项验证即可【详解】由题知,对比选项知，正确,错误 2（2019年全国统一高考新课标数学（理）第1题）已知集合，则（ ）ABCD【答案】A【分析】先求出集合B再求出交集.【详解】，则，【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.3（2020年全国统一高考新课标数学（理）第1题）已知集合U=2，1，0，1，2，3，A=1，0，1，B=1，

25、2，则（ ）A2，3B2，2，3C2，1，0，3D2，1，0，2，3【答案】A【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得：，则.4（2021年全国高考甲卷数学（理）第1题）设集合，则（）A BC D【答案】B【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为，所以,【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.5（2022年全国高考甲卷数学（理）第1题）设全集，集合，则（）ABCD【答案】D【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意，所以,所以.6（2017年全国统一考试新课标2卷数学（理）第1题）设集合，若，则()

26、ABCD【答案】C【详解】 集合，是方程的解，即 ，故选C7（2018年全国统一考试全国卷II数学（理）第1题）已知集合，则中元素的个数为（）A9B8C5D4【答案】A【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.【详解】当时，；当时，；当时，；所以共有9个，【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.8（2021年全国甲卷数学（理）第7题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（）A甲是乙的充分条件但不是必要条件 B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案【详解】由题，当数列为时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程