2021高考数学理科（全国版）一轮复习考点考法精练：第七章第三讲基本不等式 WORD版含解析.docx

1、第三讲基本不等式1.已知ab0,则a+4a+b+1a - b的最小值为()A.3102B.4 C.23D.322.2020四省八校联考若a0,b0,ab =2,则a+2b的最小值为()A.22B.4C.42D.63.已知关于x的不等式x2-4ax+3a20(a54,则函数y =4x+14x - 5的最小值为.7.2020合肥市调研检测若直线l:ax-by+2 =0(a0,b0)经过圆x2+y2+2x-4y+1 =0的圆心,则1a+1b的最小值为()A.22B.2C.22+1D.2+328.2019福建宁德市、福鼎市三校联考已知正数a,b,c满足4a-2b+25c =0,则lg a+lg c-2

2、lg b的最大值为()A.-2B.2C.-1D.19.直线ax+by+1 =0与圆x2+y2 =1相切,则a+b+ab的最大值为()A.1B. - 1C.2+12D.2+110.2020湖南师大附中高三摸底测试已知正项等比数列an满足a7 =a6+2a5,若存在两项am,an,使得aman =16a12,则1m+9n的最小值为.11.2020四川天府名校第一轮联考已知实数abc0,若不等式1a - b+1b - c+kc - a0恒成立,则k的最大值是.12.2019湖南五市十校联考已知正实数a,b,c满足a2-2ab+9b2-c =0,则当abc取最大值时,3a+1b-12c的最大值为.13

3、.已知函数f (x) =2x - 12x+1+x+sin x,若正实数a,b满足f (4a)+f (b-3) =0,则1a+1b的最小值为.14.2019湖南湘潭模拟某单位有员工1 000名,平均每人每年创造利润10万元,为了增加企业竞争力,该单位决定优化产业结构,调整出x(xN*)名员工从事第三产业,调整后从事第三产业的员工平均每人每年创造的利润为10(a-0.8x%)(a0)万元,剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高0.4x%.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?(2)在保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1

4、000名员工创造的年总利润的条件下,若要求调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,求a的取值范围.第三讲基本不等式1.D因为ab0,所以a+4a+b+1a - b=12(a+b+8a+b+a - b+2a - b)(a+b)8a+b+(a - b)2a - b=22+2=32,当且仅当a+b=8a+b,a - b=2a - b,即a=322,b=22时等号成立.故选D.2.B因为a0,b0,ab=2,所以a+2b22ab=4,当且仅当a=2b,ab=2,即a=2,b=1时取等号.故选B.3.D不等式x2 - 4ax+3a20(a0)的解集为(x1,x2), 在方程x2 -

5、4ax+3a2=0中,由根与系数的关系知x1x2=3a2,x1+x2=4a,则x1+x2+ax1x2=4a+13a. a0,y0,所以1x+2y=(1x+2y)(x+y2)=2+y2x+2xy2+2y2x2xy=4,当且仅当y2x=2xy,即x=12,y=1时等号成立,所以1x+2y的最小值为4,此时x=12.5.263,53由(x+2y)(y+z)=4yz,得xy+2y2+xz=2yz,z=xy+2y22y - x3x.又x,y,z为正数,所以2y - x0,xy+2y26xy - 3x2,所以3x2+2y25xy.因为3x2+2y226xy,当且仅当3x=2y时等号成立,所以3x2+2y2

6、3xy5xy3xy=53,3x2+2y23xy26xy3xy=263,所以3x2+2y23xy的取值范围为263,53.6.7解法一当x54时,y=4x+14x - 5=4x - 5+14x - 5+52+5=7,当且仅当4x - 5=14x - 5,即x=32时取等号,故y=4x+14x - 5的最小值为7.解法二由题意得y =4 - 4(4x - 5)2,x54.令y =0,得x=32.当54x32时,y 32时,y 0,函数y=4x+14x - 5单调递增.所以当x=32时,函数y=4x+14x - 5取得最小值,即ymin=432+1432 - 5=7.7.D直线ax - by+2=0

7、(a0,b0)经过圆x2+y2+2x - 4y+1=0的圆心,所以圆x2+y2+2x - 4y+1=0的圆心( - 1,2)在直线ax - by+2=0上,可得 - a - 2b+2=0,即a+2b=2,所以1a+1b=12(a+2b)(1a+1b)=32+12(2ba+ab)32+2baab=32+2,当且仅当2ba=ab,即a=22 - 2,b=2 - 2时等号成立,所以1a+1b的最小值为32+2,故选D.8.A由4a - 2b+25c=0,变形为4a+25c=2b.4a+25c2100ac,当且仅当4a=25c时等号成立,2b2100ac,即b2100ac.lg a+lg c - 2l

8、g b=lgacb2lg 10 - 2= - 2,故选A.9.C直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切,圆心O(0,0)到直线ax+by+1=0的距离等于半径,即1a2+b2=1,a2+b2=1.易知a+b+ab的最大值一定在a0,b0时取得,a+b+ab=(a+b)2+ab=1+2ab+ab.令1+2ab=t,则ab=t2 - 12.aba2+b22=12(当且仅当a=b=22时取“=”)且ab0,10,由a7=a6+2a5,得a1q6=a1q5+2a1q4,即q2 - q - 2=0,解得q=2.由aman=16a12,得qm+n - 2=16,所以2m+n - 2=24,得m+n=

9、6.1m+9n=m+n6(1m+9n)=16(1+nm+9mn+9)10+2nm9mn6=83,当且仅当nm=9mn,m+n=6,即m=32,n=92时取等号,因为m,n为正整数,所以等号不成立,所以1m+9n83.验证可得当m=2,n=4时,1m+9n取得最小值,最小值为114.11.4因为abc0,所以a - b0,b - c0,a - c0,由不等式1a - b+1b - c+kc - a0恒成立,得ka - ca - b+a - cb - c=a - b+b - ca - b+a - b+b - cb - c=1+b - ca - b+1+a - bb - c恒成立.因为b - ca

10、- b+a - bb - c2b - ca - ba - bb - c=2,当且仅当b - c=a - b时取等号,所以k的最大值是4.12.1因为a2 - 2ab+9b2 - c=0,a2+9b26ab,当且仅当a=3b时等号成立,所以6ab - 2ab - c0,即4abc,所以abc14,所以当abc取最大值时,c=12b2.所以3a+1b - 12c=2b - 1b2= - (1b - 1)2+11,所以3a+1b - 12c的最大值为1.13.3f (x)=2x - 12x+1+x+sin x,f ( - x)=2 - x - 12 - x+1 - x+sin( - x)=1 - 2

11、x1+2x - x - sin x= - f (x),函数f (x)是R上的奇函数.易知f (x)=2x - 12x+1+x+sin x=1+x+sin x - 22x+1在其定义域上是增函数.f (4a)+f (b - 3)=0,f (4a)= - f (b - 3)=f (3 - b),4a+b - 3=0,故4a+b=3.a0,b0,1a+1b=13(1a+1b)(4a+b)=13(5+ba+4ab)13(5+4)=3,当且仅当ba=4ab且4a+b=3,即a=12,b=1时等号成立.14.(1)由题意得10(1 000 - x)(1+0.4x%)101 000,即x2 - 750x0,又x0,所以00,所以0a7,故a的取值范围是a|0a7.