2021高考文科数学（北师大版）一轮复习课时规范练36空间几何体的表面积与体积 WORD版含解析.docx

1、课时规范练36空间几何体的表面积与体积课时规范练B册第21页 基础巩固组1.一个三棱锥的主视图和左视图如图所示(均为直角三角形),则该三棱锥的体积为()A.4B.8C.16D.24答案 B解析由三视图知三棱锥的侧棱AO与底OCB垂直,其直观图如图,可得其俯视图是直角三角形,直角边长为2,4,OA=6,棱锥的体积V=1312246=8,故选B.2.在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为()A.12512B.1259C.1256D.1253答案C解析设矩形对角线的交点为O,则由矩形对角线互相平分,可知OA=OB=OC

2、=OD.点O到四面体的四个顶点A,B,C,D的距离相等,即点O为四面体的外接球的球心,如图所示.外接球的半径R=OA=52.故V球=43R3=1256.选C.3.(2019广东深圳外国语学校一模)一个几何体的三视图如图所示(其中主视图的弧线为四分之一圆周),则该几何体的表面积为()A.72+6B.72+4C.48+6D.48+4答案A解析由三视图知,该几何体由一个正方体的34部分与一个圆柱的14部分组合而成,其表面积为162+(16-4+)2+4(2+2+)=72+6,故选A.4.(2019湖北元月调研,6)某几何体的三视图如图所示,图中正方形的边长为2,四条用虚线表示的线段长度均相等,则该几

3、何体的体积为()A.8-23B.8-2C.8-83D.8-8答案A解析根据几何体的三视图,几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1,高为2的圆锥构成的不规则的几何体.所以V=23-13122=8-23.故选A.5.(2019黑龙江红岗期末)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都是a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A.a2B.73a2C.113a2D.5a2答案 B解析由题意可知,三棱柱为正三棱柱,上下底面中心连线的中点即为球心,如图,M,N分别为三棱柱上、下底面的中心,O为MN的中点,则OA为球的半径,AN=23AD=2332a=33a.所以r=OA=ON2+AN2=a24+

4、a23=7a212,所以S=4r2=73a2.6.(2019山东栖霞模拟)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球半径为()A.2B.3C.5D.22答案C解析由三视图可知三棱锥的直观图如图:由三视图可知底面三角形是边长为2,顶角120的三角形,所以外接圆半径可由正弦定理得2r=2sin30=4,由侧面为两等腰直角三角形,可确定出外接圆圆心,利用球的几何性质可确定出球心,且球心到底面的距离d=1,所以球半径R=d2+r2=5,故选C.7.(2019宁夏银川一中一模,9)一个四棱锥的三视图如图所示,其主视图和左视图为全等的等腰直角三角形,俯视图是边长为62的正方形,该几何体的所有顶点都在

5、同一个球面上,则该球的表面积为()A.B.2C.3D.6答案 C解析由三视图可知,该几何体为底面边长为62,侧棱长为62的正四棱锥,如图所示:设底面四边形ABCD对角线交点为O,球心为O,球的半径为R,则PO=PA2-OA2=32-34=32,即OO=32-R,在直角三角形AOO中,OA2+OO2=OA2,即322+32-R2=R2,解得R=32,球的表面积为4R2=3.8.(2019山西太原一模)如图是某几何体的三视图,其中网格纸上小正方形的边长为1,则该几何体的体积为()A.12B.15C.403D.503答案D解析由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥,其高h为5,底面四边形为正

6、方形去掉两个直角三角形,面积S=16-1242-1222=10.体积V=13Sh=503.故选D.9.(2019安徽定远中学仿真考)已知半径为2的球内有一个内接圆柱,若圆柱的高为2,则球的体积与圆柱的体积的比为()A.43B.916C.34D.169答案D解析设圆柱的底面圆半径为r,则r=22-12=3,所以圆柱的体积V1=(3)22=6.又球的体积V2=4323=323,所以球的体积与圆柱的体积的比V2V1=3236=169,故选D.10.(2019北京,文12)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为.答案40解析在正

7、方体中还原该几何体,如图所示.该几何体的体积V=43-12(2+4)24=40.11.(2019天津,文12)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.答案4解析由底面边长为2,可得OC=1.设M为VC的中点,O1M=12OC=12,O1O=12VO,VO=VC2-OC2=2,O1O=1.V柱=O1M2O1O=1221=4.综合提升组12.(2019浙江,4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其

8、中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是()A.158B.162C.182D.324答案B解析由三视图得该棱柱的高为6,底面五边形可以看作是由两个直角梯形组合而成,其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为2+623+4+6236=162.13.(2019四川宜宾诊断三)如图,边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,则四面体P-AEF的高为()A.13B.23C.34D.1答案

9、 B解析如图,由题意可知PA,PE,PF两两垂直,PA平面PEF,VA-PEF=13SPEFPA=1312112=13,设P到平面AEF的距离为h,又SAEF=22-1212-1212-1211=32,VP-AEF=1332h=h2,h2=13,故h=23,故选B.14.(2019四川宜宾二模,9)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在半径为2的球面上,AB=BC=CA=22,PA平面ABC,则三棱锥P-ABC的体积为()A.6B.22C.94D.83答案D解析如图,取BC中点D,连接AD,设三角形ABC的中心为G,球的半径R=OA=2.AD=3222=6,则AG=263,则OG=OA2-AG2=

10、22-2632=233,则PA=2OG=433.三棱锥P-ABC的体积为V=1312226433=83.故选D.15.(2019广东深圳高级中学考前模拟)在三棱锥P-ABC中,平面PAB平面ABC,ABC是边长为6的等边三角形,PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形,则该三棱锥外接球的表面积为.答案48解析如图,在等边三角形ABC中,取AB的中点F,设等边三角形ABC的中心为O,连接PF,CF,OP.由AB=6,得AO=BO=CO=23CF=23,OF=3.PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形,PFAB,又平面PAB平面ABC,PF平面ABC,PFOF,OP=OF2+PF2=23,则O为棱锥P-

11、ABC的外接球球心,外接球半径R=OC=23,该三棱锥外接球的表面积为4(23)2=48.创新应用组16.(2019福建泉州质检,12)已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上,AD平面ABC,BAC=90,AD=2,若球O的表面积为29,则三棱锥A-BCD的侧面积的最大值为()A.52+254B.52+5414C.63+272D.102+254答案A解析设球O的半径为R,AB=x,AC=y,由4R2=29,得4R2=29.又x2+y2+22=(2R)2,得x2+y2=25.三棱锥A-BCD的侧面积:S=SABD+SACD+SABC=122x+122y+12xy.由x2+y22xy,得x

12、y252,当且仅当x=y=522时取等号,由(x+y)2=x2+2xy+y22(x2+y2),得x+y52,当且仅当x=y=522时取等号,S52+12252=52+254,当且仅当x=y=522时取等号.三棱锥A-BCD的侧面积的最大值为52+254.故选A.17.(2019全国3,文16)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质

13、量为g.答案118.8解析由题意得,四棱锥O-EFGH的底面积为46-41223=12(cm2),点O到平面BB1C1C的距离为3 cm,则此四棱锥的体积为V1=13123=12(cm3).又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2=466=144(cm3),则该模型的体积为V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其质量为0.9132=118.8(g).18.(2019河北衡水中学四调,16)三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,ABC为正三角形,外接球表面积为12,则三棱锥P-ABC的体积VP-ABC的最大值为.答案3解析如图所示,令AB=a,PD=DA=OO=h,则BO=AO=DO=33a,在RtPDO中,DO2+DP2=PO2,即33a2+h2=(3)2,即13a2+h2=3,得a2=9-3h2.VP-ABC=13SABCPA=1334a22h=36a2h=36(9-3h2)h=32(3h-h3).令f(h)=3h-h3,f(h)=3-3h2,f(h)在(0,1)单调递增,在(1,+)单调递减,所以h=1时,VP-ABCmax=3.