安徽省六校教育研究会2020届高三数学第二次素质测试试题 理 答案及评分标准.pdf

1、理科数学答案第 1 页（共 3 页）安徽六校教育研究会 2020 届高三第二次素质测试理科数学参考答案一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。123456789101112DABDCBCBAACD11提示：考虑函数ln1(0)yaxx与24(0)yxaxx的图象，不难知它们有公共的零点t 时，()0f x 恒成立于是，24eatt，解得e4ea 12提示：取 AC 中点 E，过 M 作 MF 面1111A B C D，则APMAEM，故 PMEM，而对固定的点 M，当11MNB C时，MN 最小此时由 MF 面1111

2、A B C D，可知MFN为等腰直角三角形，22MFMN，故12222()2222PMMNPMMNEMMFAA（）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13123214 16015 4 108 166(0,)316提示：不难知，圆2221xya 上任意一点向椭圆 C 所引的两条切线互相垂直，因此当直线34100 xy与圆2221xya 相离时，APB恒为锐角，故2214ad，213a，从而离心率2161(0,)3ea三、解答题：共 70 分。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）【解析】（1）由题，222sin2cos2coscos22ABABAB1cos()1co

3、s()2coscosABABAB 22cos()22cosABC1，解得1cos2C，所以60C（6 分）（2）由余弦定理，22216cabab，再由222|38CACBabab，解得2227ab，11ab，所以2()49ab，7ab，故ABC的周长为11（12 分）18（12 分）【解析】（1）因为 BC 平面 PAB，PA 平面 PAB，所以 BCPA，由PAB为等腰直角三角形，所以 PAPB，又 PBBCB，故 PA 平面 PBC（5 分）理科数学答案第 2 页（共 3 页）（2）取 AB 的中点O，连接,OP OD，因为 PAPB，ADBD，所以 POAB，DOAB，因为 BC 平面

4、PAB，所以 PAB 平面 ABCD，所以 PO 平面 ABCD，POOD，如图，以O 为坐标原点，,OD OB OP 分别为,x y z 正半轴建立空间直角坐标系Oxyz，则1AOBOPO，222DOADAO，又 BCAB，DOPA，所以/ODBC 且ODBC，于是(0,0,1)P，(0,1,0)A，(2,0,0)D，(2,1,0)C，(2,1,1)PC，(0,1,1)AP，(2,1,0)AD，设平面 PAD 的法向量为(,)nx y z，则020n APyzn ADxy ，令1x 得平面 PAD 的一个法向量(1,2,2)n，设直线 PC 与平面 PAD 所成的角为，则26sincos,9

5、|6 3PC nPC nPCn （12 分）19（12 分）【解析】（1）由题，(1,0)F，若线段 AF 与抛物线C 没有公共点，即94a 时，设点 P 在抛物线准线1x 上的射影为 D，则,D P A 三点共线时，|PAPF的最小值为|(1)5ADa，此时4a；若线段 AF 与抛物线C 有公共点，即94a 时，则,A P F 三点共线时，|PAPF的最小值为22|(1)35PFa，此时3a 综上，实数 a 的值为 3 或 4（6 分）（2）因为MOAMAOAOF ，所以 MAx 轴且 MOMAMP，设(,3)M t，则(2,6)Pt，代入抛物线C 的方程解得 29t，于是3 132MOMA

6、MP，所以19 1322POPASMA y（12 分）20（12 分）【解析】（1）2()2(sincos)xxf xeexx，(0)2f，(0)f，所以直线l 方程为(2)yx，即(2)(1)2yx，恒过点(1,2)（5 分）（2）将(1,6)代入直线l 方程，得2 考虑方程()0f x，即22cos10 xxexe，等价于2cos0 xxeex，记()2cosxxg xeex，则()2sin22sin22sin0 xxxxg xeexeexx，于是函数()g x 在 R 上单调递增，又22()02gee，(0)20g，所以函数()g x 在区间(,0)2上存在唯一零点，即函数()f x 存

7、在唯一零点（12 分）DPABCOyxz理科数学答案第 3 页（共 3 页）21（12 分）【解析】（1）由题，X 的可能取值为 1k和1kk，1()(1)kP Xpk，1()1(1)kkP Xpk，故 X 的分布列为X1k1kkP(1)kp1(1)kp111()(1)1(1)1(1)kkkkE Xpppkkk（5 分）（2）（）由（1），记1()1(1)kf ppk，因为0k，所以()f p 在(0,1)p上单调递增，故 p 越小，()f p 越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理（8 分）（）记11()1(1)10.9kkg kpkk ，当()1g k 且取最小值时，该方案最合理，因为

8、(1)1.1,(2)0.69,(3)0.604,(4)0.594,(5)0.61ggggg，所以4k 时平均检验次数最少，约为10000.594594次（12 分）（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）【解析】（1）曲线2C 的方程化成直角坐标方程为228xyy即22(4)16xy，圆心2(0,4)C，半径4r，曲线1C 为过定点(2,2)P的直线，易知(2,2)P在圆2C 内，当2PCAB时，线段 AB 长最小为222222|2 16(20)(24)4 2rPC（5 分）（2）当点 M

9、 与点 P 不重合时，设(,)M x y，2C MPM，2(2)(4)(4)0C M PMx xyy，化简得：22(1)(3)2xy，当点 M 与点 P 重合时，也满足上式，故点 M 的轨迹方程为22(1)(3)2xy（10 分）23选修 45：不等式选讲（10 分）【解析】（1）332222(22)()()2()aba babab aabbab ab22()()ab aabb223()()24babab ab，0ab，又223()024bab，332222aba bab（5 分）（2）2211()baabab，即3322babaa bab，即2222babaa bab（*）当0ab 时，（*）即221bababaabab 恒成立，22bab aaba b（当且仅当 ab时取等号），故3 当0ab 时，（*）即221bababaabab 恒成立，()()2()()2bababaababab （当且仅当 ab 时取等号），故1 综上，1,3 （10 分）