小学数学讲义暑假六年级超常第8讲整数裂项与通项归纳.pdf

1、1第 11 级上超常体系教师版第八讲五年级春季比较与估算六年级暑期分数裂项六年级暑期整数裂项与通项归纳六年级寒假计算模块综合选讲一六年级春季计算模块综合选讲二掌握整数裂项技巧；灵活运用通项归纳的技巧进行巧算漫画释义知识站牌第八讲 整数裂项与通项归纳2第 11 级上超常体系教师版在第一讲我们学过分数裂项，也就是大家看到的下面的题目：111111 33 5577999 101.但是如果来了一个怪兽，它非常喜欢吃分数，尤其喜欢吃分数的分子，结果这个怪兽就把上题的分子吃掉了，只剩下1 33 5577999 101 了，此时还可以用我们的法宝（裂项）计算吗？也许是因为怪兽只吃到了分数的皮毛，分数没有受到

2、很大的伤害，因此法宝还可以继续使用，这就是我们今天要学习的整数裂项.1.掌握整数裂项的技巧，并能理解整数裂项与分数裂项的联系和区别2.灵活运用通项归纳的技巧进行巧算一、整数裂项 11 2231123 nnnnn例如：12+23+34+91011 21 230 1 23 ；1232341 233 ；1343452343 ；19 109 10 118 9 103 ；那么，原式=（123-012+234-123+91011-8910）13=（91011-012）13=330二、通项归纳一些计算题目中，如果题目中给出数字很有规律，而且题目又很长，那么我们通常就可以采取把这个规律用字母总结成公式的形式，

3、然后对公式进行计算，找到非常简单的运算技巧，最后把简单运算技巧运用到每一项最终达到简算的目的，这就是通项归纳的技巧课堂引入经典精讲教学目标3第 11 级上超常体系教师版第八讲模块一：裂项例 1：因数差 1 的整数裂项例 2：因数差不是 1 的整数裂项例 3：多个因数乘积的整数裂项例 4：整数裂项的应用模块二：通项归纳例 5：整数裂项中的通项归纳例 6：平方差公式中的通项归纳模块三：综合运用例 7：通项归纳的灵活运用例 8：裂项的综合运用计算：1 2231920 _ 4556675960 _（学案对应：超常 1，带号 1）【分析】本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对

4、于项数较多的情况显然不能这样进行计算对于项数较多的情况，可以进行如下变形：12111111211333n nnnn nn nn nnnn n，所以原式：1=1920210 1 2=26603 原式7196054361605931.计算：3 55733 35 _1 4477 104952 =_（学案对应：超常 2）【分析】（1）原式 712053137353361（2）原式15572741555249914例 2例题思路例 14第 11 级上超常体系教师版计算：1 232343459 10 11 1 234234534569 10 11 12 1 23423453456(1)(2)(3)n nn

5、n 3 575791921 23 1 3 573 579579 111921 2325 （学案对应：带号 2）【分析】111212311244n nnn nnnnn nn，原式19 10 11 120 1 234 19 10 11 124 2970从中还可以看出，11 23234345121234n nnn nnn 1112(3)123(4)112(3)55n nnnn nnnnnn nnn，原式19 10 11 12 130 1 2345 19 10 11 12 135 308881 23423 45345612(3)n nnn 1123(4)5 n nnnn原式11921 23251 3

6、578 28665原式1105(1921 2325271 3 579)10 619458计算：1!32!43!54!62012!20142013!【分析】观察下面的规律：1!31!(12)1!2!，2!42!(13)2!3!原式1!2!2!3!3!4!4!5!2011!2012!2012!2013!2013!1例 4例 35第 11 级上超常体系教师版第八讲11111 21 2231 223341 223349 10 【分析】由于11 2231123nnn nn ，则131 223112nnn nn ，原式33331 232343459 10 11 311111121 22323349 101

7、0 1131121 210 1181110大约 1500 年前，欧洲的数学家们是不会用“0”的.他们使用罗马数字.罗马数字是用几个表示数的符号，按照一定规则，把它们组合起来表示不同的数目.在这种数字的运用里，不需要使用“0”.后来，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“0”这个符号.有了“0”，进行数学运算方便极了，他非常高兴，还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍.过了一段时间，这件事被教皇知道了.当时是欧洲的中世纪，教会的势力非常大，教皇的权力更是远远超过皇帝.教皇非常恼怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”这个怪物，如今谁要把它给引进来，谁就是亵渎上帝！于是，

8、教皇就下令，把这位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，使他两手残废，再也不能握笔写字.就这样，“0”被那个愚昧、残忍的教皇明令禁止了.虽然“0”被禁止使用，但是罗马的数学家们还是不管禁令，在数学研究中仍然秘密地使用“0”，并做出了很多贡献.后来“0”终于在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了.例 56第 11 级上超常体系教师版计算：22222222246201231517120131（学案对应：超常 3，带号 3）【分析】通项归纳：222222221211nnnnnnnn原式=1231006123410071007计算：22222222122320122013201320141 223201

9、2201320132014（学案对应：超常 4，带号 4）【分析】（法 1）：可先来分析一下它的通项情况，2222(1)(1)1(1)(1)(1)1nnnnnnnannnnnnnn原式=213243542013201220142013()()()()()()1223344520122013201320142013201320132402620142014（法 2）：22222(1)2211122(1)(1)nnnnnannnnnnnn原式111122221 2232012201320132014120132(1)2014201340262014计算：1 2345699 10023459899

10、【分析】设原式=BA3333002101011009931 AB500099252322AB原式=BA 3283338350003333005000333300ABABABAB例 6例 7例 87第 11 级上超常体系教师版第八讲1.计算：1 234234517 18 1920 【分析】原式117 18 1920210 1 2345 4883762.计算：3 5757931 33 35 【分析】原式131 33 35 371 3 578 1655853.计算111111111335192124_111111111111123234345192021【分析】利用裂和的方法可以将每一项展开原式11

11、111111335191242111111111111111111111111112312323423434534519202119202111111111111111111111111123123423453420211920231 2342345342021 1920 兔妈妈买来 10 个萝卜，准备分给四个小宝宝.她把 10 个萝卜分成 4 份从左到右分别是 1 个、2 个、3 个、4 个.小黑闹着要吃那份最多的.妈妈说：“你如果能只移动 1 个萝卜，使 4 份萝卜的排列顺序倒过来，从左到右分别是 4 个、3个、2 个、1 个，那就给你最多的.”大家能帮帮小黑吗？答案：把第四堆的第三个萝卜

12、移到第一堆和第二堆之间.附加题8第 11 级上超常体系教师版=（12+23+1920）+（23+34+2021）通过整数裂项方法得到结果原式11192021(2021 221 23)573833 4.14747464746454746452 15252515251 505251 50495251 504965【分析】首先把每项分数约分1474746474645432 15252515251 505251 50495251 504948 再将原式各项的分母都通分为 5251 504948，则各项的分子依次为51 504948，50494847，49484746，432 1 计算中可以应用下面的公

13、式：1 23423 45123n nnn 112345n nnnn根据上面的公式，分子的和为148495051 525，与分母约分，结果为155.222222222222233333333333331121231234122611212312341226【分析】先找通项公式：2222223333(1)(21)1232212116()(1)1233(1)314nnnnnnannnnnnn，所以，原式2111111113122334262721521327816.计算 1100+299+398+983+992+1001=.【分析】通项公式2(101)101nannnn，所以原式1101(1 100

14、)1002100 101 2016=1717007.计算：2323233（共 2013条分数线）【分析】322721333219第 11 级上超常体系教师版第八讲4326152133277213354214312133215152132332122132213233nn，所以2013条分数线的话，答案应该为201520142121一、整数裂项11 22334(1)(1)(1)3nnnnn 11 23234345(2)(1)(2)(1)(1)4nnnnnnn 110 11 11 1212 1399 100(99 100 1019 10 11)3 二、通项归纳解题步骤1.找规律，归纳第 n 项公式

15、2.将归纳出的公式用到每一项，进行计算1.请计算：1 223344950 =_【分析】原式4165021051504931.2.请计算：24462426 _【分析】原式2912420282624613.计算：2464686 8 10222426 【分析】原式家庭作业知识点总结10第 11 级上超常体系教师版12224262802468 480484.计算：2013!(1!2!23!34!42011!20112012!2012)【分析】观察下面的规律：1!11!(21)2!1!2!22!(3 1)3!2!原式2013!(2!1!3!2!4!3!2012!2011!2013!2012!)2013!

16、(2013!1!)15.计算：11111 21 2231 223341 2233499 100 【分析】由于11 2231123nnn nn ，则131 223112nnn nn ，原式33331 2323434599 100 101 311111121 223233499 100100 10131121 2100 10115147202006.计算：22222223992131991【分析】通项公式：22111 11 12nnnannn n ，原式223 34498 989999(21)(21)(31)(3 1)(41)(41)(981)(981)(991)(991)223 3445 598

17、 9899993 142536499971009822334498989999132435979998100299991100507.计算：22221 22318 191920【分析】方法一：2(1)(1)(2)1(1)(2)(1)nan nn nnn nnn n原式1 23 1 22342318 192018 19192021 1920 1 2323418 1920192021(1 22318 191920)11第 11 级上超常体系教师版第八讲11192021 221920214341230方法二：分拆(21)232222，(3 1)232333再用公式原式323232333222(22)

18、(33)(2020)(12320)(12320)221120212021 4141230468.计算：1 2343456567817 18 1920 （提示：2333211214nnn）【分析】一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算记原式为 A，再设23454567678 916 17 18 19B ，则1 2342345345617 18 1920AB 1 17 18 1920214883765，现在知道 A 与 B 的和了，如果能再求出 A 与 B 的差，那么 A、B 的值就都可以求出来了1 23423453456456756781

19、7 18 1920AB 4(1 23345567.17 18 19)222242(21)4(41)6(61)18(181)33334(24618)4(24618)22114 8910420942 64440所以，488376644402276408A【超常班学案1】计算：34455619202021 233445100 101 【分析】134=345-2343 （）；145=56-3453 （4）；156=67-4563 （5）；12021=21 22-1920213（20）；原式=15-234+56-35+2021 22-1920213 （3444）超常班学案12第 11 级上超常体系教师版

20、=12021 22-2343（）=3072原式(2341 23)(345234)(100 101 10299 100 101)3 1100 101 1021 233 343398本题也可直接采用结论：11 2231123nnn nn，则原式1 22 3344 5100 1011 2 1 100 101 10223343398【超常班学案2】请计算：（1）255 88 116265 _；（2）3 77 11 11 1563 67 _【分析】（1）原式11062656825 8304509 ；（2）原式12163 67713 7 112497612 .【超常班学案3】计算：121231234123

21、502232342350【分析】通项公式为：1121231212n nnnnnnnnn，（n 从 2 开始）原式324354515014253649523507515226【超常班学案4】计算：22222212231001011 223100 101【分析】方法一：通过代数式进行通项归纳或者找规律，可知：2222(1)2112(1)(1)(1)nnnnnnannn nn n，所以原式=1111001002222002001 223100 101101101方法二：原式=22222132()()1 21 22 32 322101100()100 101100 101213210110012231

22、00101上式为若干组同分母分数的和，而且这些和都是 2，所以原式101100200101100100213第 11 级上超常体系教师版第八讲【超常123班学案1】请计算：（1）34455667788 99 1010 11 11 1212 13 _；（2）4556674950 _【分析】（1）原式112 13 142347203 ；（2）原式1495051345416303 .【超常123班学案2】S=123+234+345+201020112012，试求出 4S（201020112012）的值【分析】11 23=1 234-0 1 234 （）；1234=345-1 2344 （2）；134

23、5=456-23454 （3）；120102011 201220102011 20122013-200920102011 20124（）原式=120102011 201220130 1 23420102011 20124 （）（）=2013【超常123班学案3】222111111213120131【分析】22221(1)(1)111(1)1(1)1(2)2nnnnnannnnnn 原式223320132013132420122014220132013120141007【超常123班学案4】计算：22222222212323489103353517【分析】原式2222222222221232348910213191通项归纳，22222221132551133111211nnnnnnnnn原式51113 8122910 292242799123 班学案