小学数学讲义秋季四年级第10讲超常体系.pdf

1、1第 8 级下 超常版教师版第 10 讲漫画释义三年级春季简易方程三年级春季简易方程的应用四年级秋季列方程解应用题四年级春季方程与方程组五年级春季列方程组解应用题掌握列方程解应用题的一般步骤，会用列方程的方法解答应用题知识站牌第十讲列方程解应用题2第 8 级下超常版教师版目前为止我们已经学过了很多类型的应用题，和差倍，年龄，盈亏，鸡兔同笼，相遇追及等等，不同的题型思路灵活多变，解法巧妙新颖，比如线段图法，假设法，对应法，年龄轴等等，方法是多种多样的，那有没有一种统一的方法去解决这些问题呢？当然有了，这就是“方程”.我们学了方程之后，就可以利用方程的“顺向思维”很容易地找到题中的等量关系列出方程

2、，把复杂的思路转化为简单的方程等式，进而求解.今天我们就来学习如何用方程来解应用题，学完之后你就可以用方程这个“万能”的工具来面对各种应用题啦!1.掌握列方程解应用题的一般步骤，会用列方程的方法解答应用题；2.掌握根据题意找出数量间相等关系（等量关系）的方法；3.培养根据等量关系列方程的习惯.1.等式的性质（1）等式的两边同时加上或者是减去同一个数，等式依然成立.（2）等式的两边同时乘以或者除以同一个非零的数，等式依然成立.2.解方程步骤：去括号、移项、合并同类项、化未知数系数为 1.（1）去括号：式子里面含有括号的时候，运算之前要先去括号，去括号的原则“遇减变号”.（2）移项（过桥）：根据等

3、式的基本性质可以把方程的某一项从等号的一边移到另一边，但一定要注意改变原来的符号.这就是我们常说“过桥变号”.为了避免学生在移项(过桥)的过程中出现不够减的情况,可以给孩子们总结一下这样的移项的技巧：移小不移大、移减不移加.（3）合并同类项：把同一侧含未知数的项或纯数的项加起来.（4）将字母系数化为1.3.列方程解应用题列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知数的值，从而解出应用题的办法这个含有未知数的等式就是方程列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算解这类应用题的核心是正确找出等量关系，然后根据等量关系列出合适的方程.经典精讲教学目标课堂引

4、入3第 8 级下 超常版教师版第 10 讲一般步骤如下：（1）审题：找出已知量和未知量审题找出题目中的已知量和未知量，并且找到涉及到的各个量中的关键未知量，这个关键未知量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系.（2）设未知数：找关键量找准这个关键量之后设这个量为 x，用含 x 的代数式来表示题目中的其他量.设元的方法包括 直接设元：问什么设什么.题目中最后问的是哪个量我们就设哪个量为 x.间接设元：设小不设大，设少不设多.题目中最后让求的这个未知量不便于我们列出方程来，就要在题目中去寻找其他的未知量，这个未知量要是一个关键的量,能够通过一次运算就将其他的未知量用字母表示出来.寻找这个关键量的

5、一般原则是：设小不设大，设少不设多，设部分不设整体.这样的话也可以避免出现减法或除法运算，可以减少运算的难度.（3）找等量关系（列方程解应用题的核心）根据语言描述：“比多（少）”、“是”、“共”、“等（于）”、“总”、“和”、“差”、“倍”、“一样多”出现这样的关键字的时候，那么这句话呈现的就可能是一个等量关系.公式法：行程、工程、几何等公式也可作为等量关系存在.（4）列方程，根据等量关系列方程.（5）解方程.（6）检验，检验答案正确与否.标准：结果是否符合实际生活，比如说我们不能得出1.5 个人的结果.最后结果还要代入方程里面，检验等式是否成立.1、等量代换.(1)【分析】6(2)+=24，

6、+=30，+=36=_=_ =_.【分析】(243036)245，所以表示的数为：45369，表示的数为：452421，表示的数为：453015(3)1只猴子的体重等于 3 只猫的体重，3 只狗的体重等于9 只猫的体重如果1只猴子重 3 千克，请问1只狗重多少千克？【分析】由3 只狗的体重=9 只猫的体重，得1 只狗的体重=3 只猫的体重又1只猴子的体重=3 只猫的体重，1只狗的体重=1只猴子的体重1只猴子重3 千克，1只狗重 3千克知识点回顾4第 8 级下超常版教师版2、解方程.(1)+3=8x56x 5=100 x5=10 x【分析】5x；11x；20 x；50 x.(2)10-5-=17

7、xx3 2+1+5=14x【分析】2x;1x(3)4(1)3(1)23xxx【分析】443323xxx723xx732xx4x 模块一：文字题（例1）模块二：直接梳理数量关系的应用题（例2例4）模块三：间接梳理数量关系的应用题（例5例8）（1）一个数 x 与 4 的差的 5 倍比这个数大 24，求这个数.（学案对应：超常 1，带号 1）【分析】根据题意得到方程 5424xx,解得11x.（2）一个数 x 与 5 的和的 3 倍比这个数的 5 倍小 3，求这个数.【分析】根据题意得到方程(5)353xx ，解得9x（3）一个数 x 与 5 的差的 6 倍加 4 后除以 2 所得的商比它与 3 的

8、差的 8 倍少 4，求这个数.【分析】根据题意得到方程5)6+42(3)84xx(，解得3x（4）一个数 x 与 7 的和的 3 倍再减 9 后除以 5 所得到的商比这个数的 2 倍多 1，求这个数.【分析】根据题意得到方程(+7)3952+1xx，解得1x（5）有三个连续的偶数，已知最小数的三倍加上中间数比最大数的 3 倍多 36，求这三个连续偶数.【分析】设最小的偶数为 x，另外的两个数为2x，4x，根据题意列出方程：3+23(4)36xxx（）46x 因此这三个数是 46，48，50例 1例题思路5第 8 级下 超常版教师版第 10 讲唐代大诗人李白诗写得好，而且很爱喝酒，杜甫曾称赞他“

9、李白斗酒诗百篇”.关于李白喝酒还有一道数学趣题：李白好喝酒，提壶街上走.遇店加一倍，逢花喝一斗.三遇店和花，还剩一斗酒.请问此壶中，原有多少酒.（学案对应：超常2）【分析】设壶中原有酒 x 斗，列方程得 2 2(21)1 1 1x 解得1x ，所以壶中原有酒1斗.方程的由来方程是含有未知数的等式，使等式成立的未知数的值是方程的解.中国古代九章算术是世界古代著名数学著作之一，其中的“线性方程组解法和正负术”是具有世界先驱意义的首创.十六世纪，随著各种数学符号的相继出现，特别是法国数学家韦达创立了较系统的表示未知量和已知量的符号以后，“含有未知数的等式”这一专门概念出现了，当时拉丁语称它为“aeq

10、uatio”，英文为“equation”.十七世纪前后，欧洲代数首次传进中国，当时译“equation”为“相等式”.由于那时我国古代文化的势力还较强，西方近代科学文化未能及时在我国广泛传播和产生影响，因此“代数学”连同“相等式”等这些学科或概念都只是在极少数人中学习和研究.十九世纪中叶，近代西方数学再次传入我国.1859 年，李善兰和英国传教士伟烈亚力将英国数学家德 摩尔根的代数初步译出.李、伟两人很注重数学名词的正确翻译，他们借用或创设了近四百个数学的汉译名词，许多一直沿用至今.其中，“equation”的译名就是借用了我国古代的“方程”一词.这样，“方程”一词首次意为“含有未知数的等式”

11、.1873 年，我国近代又一个西方科学的传播者华蘅芳，与英国传教士兰雅合译英国渥里斯的代数学，他们则把“equation”译为“方程式”，他们的意思是，“方程”与“方程式”应该区别开来，方程仍指九章算术中的意思，而方程式是指“含有未知数的等式”.华、兰的主张在很长时间被广泛采纳.直到1934 年，中国数学学会对名词进行一一审查，确定“方程”与“方程式”两者意义相通.广义上，它们是指一元 n 次方程以及由几个方程联立起来的方程组，狭义上则专指一元 n 次方程.既然“方程”与“方程式”同义，那么“方程”就显得更为简洁明了了.例 26第 8 级下超常版教师版灰太狼年轻的时候曾经看着羊村的羊这样说：“

12、我如果有这些羊，再加上这些羊，然后加上这些羊的一半，再加上这些羊一半的一半，最后再加上我家里的那只，一共就有100只羊，可以凑够聘礼向红太狼求婚了”你知道这时候羊村的羊共有多少只吗？（学案对应：超常3，带号2）【分析】设羊村的羊有 x只，那么有等量关系0.50.251001xxxx，解得36x 即羊村的羊一共有36 只.一个月黑风高的夜晚，羊村的哨塔被雷击塌了一角，为了不被灰太狼乘虚而入，需要小羊们紧急搬砖垒塔.已知喜羊羊搬砖的数量是懒羊羊搬砖数量的 4 倍，美羊羊搬砖的数量比懒羊羊搬砖的数量多 20块.如果懒羊羊搬了a 块砖，喜羊羊搬了_块砖;美羊羊搬了_块砖;他们三个一共搬了_块砖.喜羊羊

13、、美羊羊、懒羊羊总共搬了140块砖，请根据题意列出方程.喜羊羊搬砖的数量是美羊羊搬砖数量的 3 倍，请根据题意列出方程.喜羊羊搬砖的数量是美羊羊搬砖数量的 2 倍多 20 块,请根据题意列出方程.（学案对应：超常 4，带号 3）【分析】（1）喜羊羊搬了4a 块砖，美羊羊搬了20a 块砖，他们三个一共搬了 620a 块砖.（2）根据题意列出方程：+4+20=140aa a.（3）根据题意列出方程：4320aa.（4）根据题意列出方程：422020aa.老师给学生买了一批铅笔作为儿童节的礼物，如果男生每人10支，女生每人8支，那么就会剩下6支铅笔.如果男生每人8支，女生每人10支，就会剩下2支铅笔

14、.又知一共有30个学生，（1）假设男生有a 人，那么女生有_人；男生第一次一共分得_支；女生第一次一共分得_支;男生第二次一共分得_支；女生第二次一共分得_支;第一次分得的铅笔总数是_.（2）男女生各有多少人？（3）共有多少支铅笔？【分析】（1）女生有30a人；男生第一次分得10a 支，女生分得830)a（支；男生第二次分得8a 支，女生分得1030)a（支；第一次总数是108(30)6aa（2）108(30)6=810(30)2aaaa ，解得14a，即男生14人，女生16人（3）共有铅笔1014+816+6=274（支）北京某小学四年级有四个班，已知四（1）班、四（2）班共有81人，四（2

15、）班、四（3）班共有83人，四（3）班、四（4）班共86人，四（1）班比四（4）班多2人，问四个班各有多少人？【分析】设四（1）班有 x 人，则四（2）班有 81x人，四（3）班有83(81)2xx人，四（4）班有2x 人，则有2)(2)86xx（，解得43x，故有四个班分别 43 人，38 人，45人，41 人.例 6例 5例 4例 37第 8 级下 超常版教师版第 10 讲箱子里面有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的3 倍多两个，每次从箱子里取出7 个白球，15 个红球.如果经过若干次以后，箱子里只剩下 3 个白球，53 个红球，那么，箱子里原有红球比白球多多少个?（学案对应：带号 4）【

16、分析】设取球的次数为 x次，那么原有的白球数为（37x），红球数为（53 15x）；根据条件“红球数比白球数的 3 倍多两个”，列方程得53 153(37)2xx，解得7x；所以原有红球53 15 7158个，原有白球37752个，红球比白球多15852106个.六张大小不同的正方形纸片拼成如图所示的图形，已知最小的正方形面积是 1，问：图中？所在的正方形的面积是多少？【分析】已知最小的正方形面积是 1，即图中空白正方形面积是 1，从而它的边长是 1，设正方形 A的边长是 x，则正方形 B 的边长是1x ，正方形 C 的边长是2x，正方形 D 的边长是3x ，从而有1)?(2)(3)xxxx（

17、，即？所在正方形的边长=4，故？所在的正方形的面积是 44=16知识点总结一天小明和小强跑到了实验室，他们看到桌子上有两个一模一样的杯子里面分别装满水和酒精，于是他们做了这样的一个实验：先从装水的 A 杯中倒一些水到装酒精的 B杯，然后从 B 杯中倒同样多混合液到 A 杯，再从 A 杯中倒一些混合液到 B 杯如此进行下去，一直进行了 100 次.你能判断此时是 A 杯剩下的水多还是 B杯剩下的酒精多吗？【答案】一样多！例 8例 7DCBA？8第 8 级下超常版教师版1.解方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化1.2.列方程解应用题的步骤：（1）审题;（2）设元;（3）找等量关系;（4）根

18、据等量关系列方程;（5）解方程;（6）检验，答题.1.根据题意列方程求解:(1)A的5倍与20的和是9的15倍，求 A.(2)从50里面减去 X 的2倍的差与 X 的3倍加5的和相等，求 X.【分析】根据题意得到方程5+20=9 15A解得：23A(2)据题意得到方程50-235XX解得：9X 2.有三个连续的奇数，已知最小数的 3 倍加上中间数的 4 倍，再加上最大数的 2 倍的和是 43，求这三个连续的奇数.【分析】设最小的奇数 x，另外的两个奇数为+2x，+4x根据题意列出方程为：3422443xxx3482843916439273xxxxxx3.一人看见山上有一群羊，他自言自语道：“我

19、如果有这些羊，再加上我家里的10 只羊，然后再多一倍，又加上我刚买回来的15 只，一共有91只羊”山上的羊群共有多少只？【分析】设山上的羊群有 x只羊，得到方程 2101591x，解得28x，因此山上有28 只羊.4.甲乙两人一起学外语，甲每天比乙多记 11 个单词，40 天中甲因事停学 15 天，结果所记的单词还是乙的 2 倍.假设乙每天记 x 个单词，那么甲每天记_个单词.甲一共记了_单词.乙一共记了_个单词.(1)乙每天实际上记了多少个单词？(2)40天中甲比乙多记多少个单词？【分析】甲每天记11x 个单词，甲一共记了2511x个单词，乙一共记了40 x 个单词.(1)2511240 x

20、x 解得：5x(2)25 1640 5200(个)5.五年级一班同学参加学校植树活动，派男、女生共 12 人去取树苗，男同学每人拿 3 棵，女同学家庭作业9第 8 级下 超常版教师版第 10 讲每人拿 2 棵，正好全部取完；如果男、女生人数调换一下，则还差 2 棵不能取回问：原来男、女生人数各是多少？【分析】设原来男生有 x 人，女生有(12)x人，依题意列方程：32(12)23(12)2xxxx，解得7x，即男生有7 人，则女生有1275人.所以原来男生有7 人，女生有5 人6.四个自然数，每次取其中的三个相加，得到四个和，分别为 22，24，27 和 20，求这四个数各是多少？【分析】设这

21、四个数的总和为 x，那么这四个数分别为22x，24x，27x 和20 x，那么22242720 xxxxx493xx31x 所以这四个数分别为31229、31247、31274、312011.7.四年级学生去秋游，要分成 15 个组，一部分由 8 人组成一个小组，另一部分由 5 个人组成一个小组，8 人组成小组的总人数比 5 人组成小组的总人数多 3 人，求四年级共有多少名同学参加秋游？【分析】解：设 8 人小组有 x 组，则 5 人小组有 15x（）组85 15385 155313786xxxxxx（）8 6515693（）（名）答：共有 93 名同学参加秋游8.一个长方形的水池周长是 56

22、 米，并且它的长比宽的 3 倍少 4 米，请问这个长方形的长是多少，宽是多少？【分析】长方形的宽为 x 米，则长方形的长为34x 米根据题意列出方程为：2+2 34=56xx 解得：=8x长方形的宽是 8 米，长为 3 8420 米.【超常班学案 1】有三个连续的偶数，已知最小数的 3 倍加上中间数的 4 倍，正好是最大数的 5 倍，求这三个连续的偶数.【分析】设 最 小 数 是 x，中 间 数 是 2x，最 大 数 是 4x，根 据 题 意 可 得 到 方 程34254xxx，解得6x，因此这三个连续偶数是 6,8,10.【超常班学案 2】实验室中培养了一种奇特的植物，它生长得非常迅速，每天

23、都会生长到昨天质量的 2 倍还多3千克培养了3 天后，植物的质量达到 45千克，求这株植物原来有多少千克？【分析】设这株植物原来有 x 千克，根据题意得：超常班学案10第 8 级下超常版教师版22(23)3345x 解得：3x 所以这株植物原来有 3 千克【超常班学案3】一群大雁在天空中飞翔，迎面遇到一只大雁，这只大雁对着这群大雁喊道：“喂，你们有多少只呀？”领头的大雁答道：“我们的头数加只数，只数减头数，只数除头数，头数乘以7，把这四个数相加恰好是100”.请问这群大雁有多少只？【分析】设这群大雁有 x 只，列方程：7100 xxxxxxx得11x【超常班学案 4】甲、乙、丙三位同学每人得到

24、相同数目的果汁糖甲花了若干天将糖吃完，乙每天吃 3 块，比甲晚 1 天吃完；丙每天吃 4 块，比甲早 2 天吃完，问：他们每人得到多少果汁糖？【分析】由于题目中乙、丙吃完糖所用的时间均与甲所用的时间有关，故不妨设甲用 x 天将糖吃完又根据三位同学有相同数目的糖建立方程，则3(1)4(2)xx，解得11x 由 3(11 1)36或4(112)36，可知他们每人得到 36 块果汁糖.【超常 123 学案 1】甲、乙、丙共有 100 本课外书甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是 5，而且余数也都是 1乙有书多少本？【分析】设乙有课外书 x 本，则甲有课外书 51x（）本，丙有课外书5

25、511256xx（）（本），于是有 51256100 xxx（）（），即3193x，解得3x【123班学案2】一群天鹅在天空中飞翔，迎面遇到一只天鹅，这只天鹅对着这群天鹅喊道：“喂，你们有多少只呀？”领头的鹅答道：“我们的头数加只数，头数减只数，头数乘只数，头数除只数，把这四个数相加恰好是100”.请问这群天鹅有多少只？【分析】设这群天鹅有 x 只，则有)()100 xxxxxxxx （，即2x+2 x=99，因 x必为整数，故实验得9x【123班学案3】一群小朋友去郊游，男孩戴红帽子，女孩戴黄帽子.在每个男孩看来，红帽子数是黄帽子数的3倍；在每个女孩看来，红帽子数是黄帽子数的4倍.问：共有多

26、少个小朋友参加郊游？【分析】只要分别求出男孩和女孩各有多少人即可.由于每个人不能看到自己头上的帽子，所以男孩所看到的红帽子数比男孩数少1，女孩所看到的黄帽子数比女孩数少1.设女孩有 x人，则男孩有 4(1)x人，依题意列方程：4(1)13xx，解得：5x，即女孩有 5 人，则男孩有4(5 1)16人，所以共有5 1621人.【123班学案4】有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出8个给乙堆后，甲乙两堆的石子数就相等了；再从乙堆中取出6个给丙堆，乙丙两堆的石子数也相等；此时又从丙堆中取2个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的2倍，问：原来甲堆有多少个石子？【分析】设甲堆原来有 x 个石子，那么甲堆取出8个给乙堆后，甲乙两堆都是8x（）个石子；再从乙堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数都变成（86x）个石子；此时又从丙堆中取2个给甲堆，那么甲堆石子数变成（82x）个，丙堆石子数变成（862x）个，有超常 123 学案11第 8 级下 超常版教师版第 10 讲6216xx（），解得26x