2022年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷 新高考Ⅱ卷（含答案）（参考版）.docx

1、2022年普通高等学校招生全国统一考试 新高考卷数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则( )A.B.C.D.2.( )A.B.C.D.3.图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代

2、建筑屋顶截面的示意图.其中，是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，.已知，成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则( )A.0.75B.0.8C.0.85D.0.94.已知向量，若，则实数( )A.-6B.-5C.5D.65.甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有( )A.12种B.24种C.36种D.48种6.角，满足，则( )A.B.C.D.7.正三棱台高为1，上下底边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是( )A.100B.128C.144D.1928.若函数的定义域为R，且，则( )A.-3B.-2C.0D.1

3、二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.函数的图象以中心对称，则( )A.在单调递减B.在有2个极值点C.直线是一条对称轴D.直线是一条切线10.已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点，若，则( )A.直线AB的斜率为B.C.D.11.如图，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，记三棱锥，的体积分别为，则( )A.B.C.D.12.对任意x，y，则( )A.B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知随机变量X服从正态分布，

4、若，则_.14.写出曲线过坐标原点的切线方程：_，_.15.已知点，若直线AB关于的对称直线与圆存在公共点，则实数a的取值范围为_.16.已知椭圆，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则直线l的方程为_.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且.（1）证明：；（2）求集合中元素个数.18.（12分）记的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知，.（1）求的面积；（2）若，求b.19.（12分）在某地区进

5、行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图.（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间的概率；（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的16%，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间，求此人患该种疾病的概率.（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）20.（12分）如图，PO是三棱锥的高，E是PB的中点.（1）求证：平面PAC；（2）若，求二面角正余弦值.21.（12分）设双曲线的右焦点为

6、，渐近线方程为.（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点，在C上，且，.过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，请从下面中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：M在AB上；.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.22.（12分）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，求a的取值范围；（3）设，证明：.参考答案1.答案：B解析：通解：由，得，解得，所以，所以，故选B.优解：因为，所以，故排除C，D；又，所以，故排除A.故选B.2.答案：D解析：，故选D.3.答案：D解析：如图，连接OA，延长与x轴交于点，则.因为，成公差为0.1的等差

7、数列，所以，所以，即，.又，所以，所以，所以，解得，故选D.4.答案：C解析：由题意，得，所以，.因为，所以，即，即，解得，故选C.5.答案：B解析：先将丙和丁捆在一起有种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有种排列方式，最后将甲插入中间两空，有种排列方式，所以不同的排列方式共有种，故选B.6.答案：C解析：由题意得，整理，得，即，所以，故选C.7.答案：A解析：由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为，.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为，连接，则，其外接球的球心O在直线上.设球O的半径为R，当球心O在线段上时，解得（舍去）；当球心O不在线段上时，解得，所以，所以该球的表面积为.8.

8、答案：A解析：因为，所以在中，令，得，所以，所以.由相加，得，故，所以，所以，所以函数的一个周期为6.在中，令，得，所以.令，得，所以.由，得，所以，根据函数的周期性知，故选A.9.答案：AD解析：解法一由，得.因为函数的图象关于点中心对称，所以，即，结合，得，所以.解法二因为函数的图象关于点中心对称，所以，可得，结合，得，所以.对于A，解法一由，得，当时，.因为，所以函数在区间单调递减，故A正确；解法二当时，所以函数在区间单调递减，故A正确；对于B，解法一由，得，当时，当时，当时，时，所以函数在区间只有一个极值点，故B不正确；解法二当时，所以函数在区间只有一个极值点，故B不正确；对于C，解法

9、一由选项B解法一的分析知，函数图象的对称轴方程为，而方程无解，故C不正确；解法二因为，所以不是曲线的对称轴，故C不正确；对于D，因为，若直线为曲线的切线，则由，得，所以或.当时，则由，解得；当时，方程无解.综上所述，直线为曲线的切线，故D正确.综上所述，选AD.10.答案：ACD解析：对于A，由题意，得.因为，且，所以，将其代入抛物线方程，得，所以，所以直线AB的斜率，故A正确；对于B，由选项A的分析，知直线AB的方程为，代入，得，解得或，所以，所以，所以，故B不正确；对于C，由抛物线的定义及选项A,B的分析，得，即，故C正确；对于D，易知，则，所以，所以，故D正确.综上所述，选ACD.11.

10、答案：CD解析：如图，连接BD交AC于O，连接OE，OF.设，.因为平面ABCD，所以平面ABCD，所以，.因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又，且，平面BDEF，所以平面BDEF.因为平面BDEF，所以，.易知，所以，所以，又，平面ACE，所以平面ACE，所以，所以，所以选项A,B不正确，选项C,D正确，故选CD.12.答案：BC解析：对于A，B：由，得，又，所以，即，所以，所以A不正确，B正确；对于C，D：由，得，当且仅当时取等号，所以，所以C正确，D不正确.综上可知，选BC.13.答案：0.14解析：因为，所以，所以.14.答案：，解析：先求当时，曲线过原点的切线方程，设切点为，则由

11、，得切线斜率为，又切线的斜率为，所以，解得，代入，得，所以切线斜率为，切线方程为.同理可求得当时的切线方程为.综上可知，两条切线方程为，.15.答案：解析：解法一由题意知点关于直线的对称点为，所以，所以直线的方程为，即.由题意知直线与圆有公共点，易知圆心为，半径为1，所以，整理得，解得，所以实数a的取值范是.解法二易知关于y轴对称的圆的方程为，由题意知该对称圆与直线AB有公共点.直线AB的方程为，即，又对称圆的圆心为，半径为1，所以，整理得，解得，所以实数a的取值范围是.解法三易知关于y轴对称的圆的方程为，由题意知该对称圆与直线AB有公共点.设直线AB的方程为，即，因为对称圆的圆心为，半径为1

12、，所以，解得，又，所以，解得，所以实数a的取值范围是.16.答案：解析：通解：设直线l的方程为，分别令，得点，.设，.由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，所以，即.因为，所以.将，代入椭圆方程，得，相减得，由题意知，所以，即，整理得.又，所以由勾股定理，得，由并结合，得，所以直线l的方程为，即.优解：设直线l的方程为，分别令，得点，.由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，设为Q，则，则，.由椭圆中点弦的性质知，即，以下同通解.17.答案：（1）证明见解析（2）9解析：（1）设等差数列的公差为d，由，得，即，由得，即，将代入，得，即.（2）由（1）知，由得，由得，由题知，所以，所以，10，

13、共9个数，即集合中元素的个数为9.18.答案：（1）（2）解析：（1）由，得，即，又，所以.由，得或（舍去），所以，则的面积.（2）由，及正弦定理知，即，得.19.答案：（1）47.9岁（2）0.89（3）0.0014解析：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄.（2）解法一由于患者的年龄位于区间是由患者的年龄位于区间，组成的，且相互独立，所以所求概率.解法二由于患者的年龄位于区间是由患者的年龄位于区间，组成的，且相互独立，所以所求概率.（3）设从该地区任选一人，年龄位于区间为事件A，患这种疾病为事件B，则，由频率分布直方图知这种疾病患者年龄位于区间的概率为，结合该地区这种疾病的患病率为0.1

14、%，可得，所以从该地区任选一人，若年龄位于区间，则此人患这种疾病的概率为.20.答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.因为，所以.因为PO为三棱锥的高，所以平面ABC，因为平面ABC，所以.又平面POD，且，所以平面POD.因为平面POD，所以，又，所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.因为D，E分别为BA，BP的中点，所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.又平面ODE，所以平面平面PAC.又平面ODE，所以平面PAC.（2）连接OA，因为平面ABC，平面ABC，所以，所以.易得在中，所以，又，所以在中，.以A为坐标原点，A

15、B，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，设平面AEC的法向量为，则，即，令，则.设平面AEB的法向量为，则，即，令，则.所以.设二面角的大小为，则.21.答案：（1）（2）见解析解析：（1）由题意得.因为双曲线的渐近线方程为，所以.又，所以联立得，所以双曲线C的方程为：.（2）由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为，将直线PQ的方程代入C的方程，整理得，则，所以，所以.设点M的坐标为，则，两式相减，得，又，所以，解得；两式相加，得，又，所以，解得.因此，点M的轨迹为直线，其中k为直线PQ的斜率.若选择：因为，所以直线

16、AB的方程为，设，不妨令点A在直线上，则由，解得，同理可得，所以，.点M的坐标满足，得，故M为AB的中点，即.若选择：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点，此时M不在直线上，矛盾.当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，不妨令点A在直线上，则由，解得，同理可得，因为M在AB上，且，所以，又点M在直线上，所以，解得，因此.若选择：因为，所以直线AB的方程为，设，不妨令点A在直线上，则由，解得，同理可得，.设AB的中点为，则，.因为，所以M在AB的垂直平分线上，即点M在直线，即上，与联立，得，即点M恰为AB的中点，故点M在直线AB上.22.答案：（1）的减区间为，增区

17、间为（2）（3）证明见解析解析：解：（1）当时，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减.（2），当时，在上单调递增，与题意矛盾.当时，.在上单调递减，满足题意.当时，设，则，在上单调递减，在上单调递减，满足题意.当时，令，则，易知为减函数，又，时，使，且当时，在上单调递增，此时，当时，在上单调递增，与题意矛盾.综上，实数a的取值范围为.（3）解法一先证不等式成立.不等式成立（其申），构造函数，则.当时，所以函数在上单调递减，从而不等式成立.令，则有，整理可得，故，即成立.解法二用数学归纳法证明.当时，左边成立.假设当时，不等式成立，即，则当时，欲证原不等式成立，即证成立.以下证明此式成立，因为，所以欲证，需证，即需证成立，令，则，则需证，令，即需证，.构造函数，则.当时，所以函数在上单调递减，故，从而不等式成立上，综上，不等式成立.